 |
| Aturan Sinus |
Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂
 |
| Aturan Sinus 2 |
2. Aturan Cosinus
Perhatikan gambar berikut!
 |
| Aturan Cosinus |
b² =CD² + AD² ..... (1)
Pada △BCD
Sin B=CD ⇔ CD=a. Sin B... (2)
a
Cos B=BD ⇔ BD=a. Cos B... (3)
a
AD=AB - BD=c - a. Cos B.... (4)
Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan
b²=(a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b²=a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b²=a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b²=a² + c² - 2.a.c.Cos B
Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:
 |
| Aturan Cosinus 2 |
Dari aturan cosinus tersebut kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.
a² =b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A= b² + c² - a²
Cos A= b² + c² - a²
2.b.c
⇔ Cos B= a² + c² - b²
2.a.c
⇔ Cos C= a² + b² - c²
2.a.b
3. Luas Segitiga
 |
| Rumus Luas Segitiga |
Perhatikan △ABC disamping !
Sin A=CD
b
⇔ CD=b. sin A
Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:
½ x alas x tinggi
Dalam △ABC disamping
⇨ ½ x AB x CD
⇨ ½ x c x b.Sin A
Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :
Luas △= ½ b.c.Sin A
Luas △= ½ a.c.Sin B
Luas △= ½ a.b..Sin C
MARI BERLATIH DENGAN SOAL
1. Pada △ABC diketahui bahwa <A=30°, BC=6 cm dan AC=10 cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!
Pembahasan:
BC=a dan AC=b
a = b
Sin A Sin B
6 = 10
Sin30° Sin B
⇔ Sin B=10 x Sin30° ⇔ Sin B=10 x ½ ⇔ Sin B=5/6
6 6
2. Pada △PQR diketahu besar <P=60°, <R=45° dan panjang QR adalah 8√3 cm. Tentukanlah panjang sisi PQ!
Pembahasan :
QR=p dan PQ=r
menurut aturan sinus p = r ⇔ 8√3 = r
Sin P Sin R Sin 60° Sin 45°
⇔ r= 8√3 x Sin 45° ⇔ r= 8√3 ½√2 ⇔ r=8√2 cm
Sin 60° ½√3
3. Perhatikan △ABC disamping !
Berapakah panjang sisi AC?
 |
| Berapa panjang sisi AC ? |
Pembahasan :
AB=c dan AC=b
besar <C=180° - (75°+ 60°)= 45°
b = c
Sin B Sin C
b = 20
Sin 60° Sin 45°
b = 20 x Sin 60° = 20 x ½√3
Sin 45° ½√2
b = 20√3 x √2 = 10√6cm
√2 √2
4. Jika diketahui suatu △ABC memiliki panjang sisi c=12√2cm, besar <A=105° dan <C=45° maka berapakah panjang sisi b?
Pembahasan :
Besar <B=180° - (105° + 45°)=30°
b = c
Sin B Sin C
b = 12√2
Sin 30° Sin 45°
b=12√2 x Sin 30° = 12√2 x ½ = 12 cm
Sin 45° ½√2
5. Ditentukan △PQR dengan panjang sisi QR=4cm, PR=10cm dan Sin Q=½. Berapakah nilai Cos P?
Pembahasan :
QR=p dan PR=q
p = q ⇔ 4 = 10
Sin P Sin Q Sin P ½
⇔ Sin P= 4 x ½ = 1
10 5
⇔ Cos² P=1 - Sin² P ⇔ Cos² P=1 - (⅕)²
⇔ Cos² P=24/25 ⇔ Cos P= ⅖√6 cm
6. Sebuah △ABC memiliki panjang AB=4 cm, BC=6 cm dan AC=8 cm. Nilai cos <ACB adalah...
Pembahasan :
Cos <ACB=BC² + AC² - AB²
2 x BC x AC
Cos <ACB= 6² + 8² - 4² =36 + 64 - 16 = 84 = 7
2 x 6 x 8 96 96 8
7. Tentukan nilai X pada gambar segitiga dibawah!
 |
| Nilai x? |
Pembahasan :
X²=3² + 8² - 2.3.8.Cos 60°
X² =9 + 64 - 2.24.½
X²=73 -24=49
X =√49=7cm
8. Ditentukan △KLM dengan KL=9cm, KM=8cm dan LM=7cm. Nilai Sin K adalah...
Pembahasan :
Cos K=KL² + KM² - LM²
2 x KL x KM
Cos K= 9² + 8² - 7² =81 + 64 - 49 = 96 = 2
2 x 9 x 8 144 144 3
⇔ Sin² K =1 - Cos² K
⇔ Sin² K =1 - (2/3)²
⇔ Sin² K =1 - 4-/9=5/9
⇔ Sin K =√5/9 =⅓√5
9. Sebuah segitiga sama kaki ABC dengan panjang AB=AC=8cm dan besar <ABC=30°. Berapakah panjang sisi BC?
Pembahasan :
 |
| panjang sisi BC? |
BC² =AB² + AC² - 2xABxACx Cos A
BC² =8² + 8² - 2 x 8 x 8 x (-½)
BC² =64 + 64 + 64=192
BC =√192 = 8√3 cm
10. Pada △ABC diketahui a=2√7cm, b=4cm dan c=6cm. Maka nilai Sin A adalah...
Pembahasan :
Cos A=b² + c² - a²
2xbxc
Cos A= 4² + 6² - (2√7)² = 16 + 36 - 28 = 24 =1
2x4x6 48 48 2
maka didapat besar <A=60°
Sin 60°= ½√3
Contoh Soal Cerita Aturan Sinus Dan Aturan Cosinus
11. Pada △ABC diketahui <ABC=60°, panjang sisi AB=12cm dan panjang sisi BC=15cm. Luas segitiga itu adalah...
Pembahasan :
Luas △ABC=½ x AB x BC x Sin <ABC
=½ x 12 x 15 x ½√3
=45√3 cm²
12. Berapakah luas sebuah segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi 12cm?
Pembahasan :
Segitiga sama sisi memiliki besar sudut yang sama yaitu 60° dan semua sisi memiliki panjang yang sama sehingga luasnya didapat seperti ini
Luas △=½ x s x s x Sin α
=½ x 12 x 12 x ½√3
= 36√3 cm²
13. Berapakah luas segiempat ABCD pada gambar dibawah?
 |
| Luas segi empat ABCD ? |
Pembahasan :
Luas △ABD=½ x 3 x 8 x Sin 60°=12 x ½√3= 6√3 cm²
Untuk menghitung luas △CBD, terlebih dahulu hitung panjang sisi BD menggunakan aturan cosinus
BD²=3² + 8² - 2 x3 x 8 x Cos 60°
BD²= 9 + 64 - 24=49
BD =√49=7 cm
Perhatikan bahwa △CBD memiliki panjang sisi 7cm, 24 cm dan 25cm yang merupakan tripel pitagoras. Maka dapat disimpulkan bahwa △CBD adalah segitiga siku-siku sehingga luasnya adalah
Luas △CBD=½ x 7 x 24=84 cm²
Maka luas segiempat ABCD= Luas △ABD + Luas △CBD
= 6√3 cm² + 84 cm²
=(6√3 + 84) cm²
14. Jika △ABC memiliki besar <A=65°, <B=55°, panjang sisi AC=6cm dan panjang sisi BC=8cm, maka luas segitiga tersebut adalah
Pembahasan :
 |
| Luas segitiga? |
Luas △ABC=½ x AC x BC x Sin 60°
=½ x 6 x 8 x ½√3
=12√3 cm²
15. Tentukan luas segilima beraturan yang panjang jari-jarinya adalah 8 cm.
Pembahasan :
Perhatikan gambar dibawah ini !
 |
| Luas segi 5? |
Segilima beraturan terdiri dari 5 buah segitiga yang kongruen, maka luas segilima tersebut adalah 5 kali luas segitiga AOB dimana besar <AOB=360° =72°
5
Luas segi-5=5 x Luas △AOB
=5 x ½ x 8 x 8 x Sin 72°
=160 x 0,951
=152,16 cm²
Baca Juga : Soal-soal Aturan Sinus dan Aturan Cosinus
Baca juga : Soal Luas Segitiga Dan Segi-n Beraturan
Semoga Bermanfaat