Deret aritmatika adalah sebuah barisan bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap (beda) pada suku sebelumnya. Deret aritmatika sering digunakan dalam berbagai bidang, seperti matematika, fisika, ekonomi, dan lain-lain. Memahami konsep deret aritmatika dan cara menentukan suku ke-n (Un) dari suatu deret aritmatika adalah penting, terutama dalam menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan deret aritmatika.
Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menentukan suku ke-n (Un) dari suatu deret aritmatika jika diberikan rumus jumlah n suku pertama (Sn). Dengan memahami konsep ini, Anda akan dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai soal dan permasalahan yang melibatkan deret aritmatika.
Apa itu Deret Aritmatika?
Deret aritmatika adalah suatu barisan bilangan di mana selisih antara setiap dua suku berurutan adalah sama. Barisan bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
a, a+b, a+2b, a+3b, ..., a+(n-1)b
di mana:
- a adalah suku pertama (atau nilai awal) dari deret
- b adalah beda (selisih) antara setiap dua suku berurutan
- n adalah banyaknya suku dalam deret
Contoh deret aritmatika:
- 2, 5, 8, 11, 14, ...
- Suku pertama (a) = 2
- Beda (b) = 5 - 2 = 3
- Banyaknya suku (n)
- 10, 7, 4, 1, -2, ...
- Suku pertama (a) = 10
- Beda (b) = 7 - 10 = -3
- Banyaknya suku (n)
Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn) Deret Aritmatika
Rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama (Sn) dari suatu deret aritmatika adalah:
Sn = n/2 * (a + l)
di mana:
- Sn adalah jumlah n suku pertama
- n adalah banyaknya suku
- a adalah suku pertama
- l adalah suku terakhir
Dari rumus di atas, kita dapat menurunkan rumus untuk mencari suku ke-n (Un) jika diberikan rumus Sn.
Menentukan Suku ke-n (Un) Jika Diketahui Rumus Sn
Untuk menentukan suku ke-n (Un) jika diketahui rumus Sn, kita dapat menggunakan langkah-langkah berikut:
- Tuliskan rumus Sn yang diberikan.
- Substitusikan nilai n ke dalam rumus Sn untuk mendapatkan Sn.
- Rearrange rumus Sn untuk mendapatkan Un.
Misalkan diberikan rumus Sn = 3n^2 + 5n + 2. Kita ingin menentukan suku ke-n (Un).
Langkah 1: Tuliskan rumus Sn yang diberikan. Sn = 3n^2 + 5n + 2
Langkah 2: Substitusikan nilai n ke dalam rumus Sn untuk mendapatkan Sn. Sn = 3n^2 + 5n + 2
Langkah 3: Rearrange rumus Sn untuk mendapatkan Un. Sn = n/2 * (a + l) 3n^2 + 5n + 2 = n/2 * (a + l) 6n^2 + 10n + 4 = n * (a + l) Un = a + (n-1)b = a + (n-1)(l-a)/(n-1) Un = a + l - a Un = l
Jadi, suku ke-n (Un) dari deret aritmatika dengan rumus Sn = 3n^2 + 5n + 2 adalah suku terakhir (l).
Ayo, kita coba beberapa contoh lagi!
Contoh 1
Diketahui rumus jumlah n suku pertama (Sn) dari suatu deret aritmatika adalah Sn = 2n^2 + 3n. Tentukan rumus suku ke-n (Un)!
Langkah 1: Tuliskan rumus Sn yang diberikan. Sn = 2n^2 + 3n
Langkah 2: Substitusikan nilai n ke dalam rumus Sn untuk mendapatkan Sn. Sn = 2n^2 + 3n
Langkah 3: Rearrange rumus Sn untuk mendapatkan Un. Sn = n/2 * (a + l) 2n^2 + 3n = n/2 * (a + l) 4n^2 + 6n = n * (a + l) Un = a + (n-1)b = a + (n-1)(l-a)/(n-1) Un = (a + l)/2
Jadi, rumus suku ke-n (Un) dari deret aritmatika dengan rumus Sn = 2n^2 + 3n adalah Un = (a + l)/2.
Contoh 2
Diketahui rumus jumlah n suku pertama (Sn) dari suatu deret aritmatika adalah Sn = 4n^2 - 3n + 2. Tentukan rumus suku ke-n (Un)!
Langkah 1: Tuliskan rumus Sn yang diberikan. Sn = 4n^2 - 3n + 2
Langkah 2: Substitusikan nilai n ke dalam rumus Sn untuk mendapatkan Sn. Sn = 4n^2 - 3n + 2
Langkah 3: Rearrange rumus Sn untuk mendapatkan Un. Sn = n/2 * (a + l) 4n^2 - 3n + 2 = n/2 * (a + l) 8n^2 - 6n + 4 = n * (a + l) Un = a + (n-1)b = a + (n-1)(l-a)/(n-1) Un = (2a + (n-1)b)/n
Jadi, rumus suku ke-n (Un) dari deret aritmatika dengan rumus Sn = 4n^2 - 3n + 2 adalah Un = (2a + (n-1)b)/n.
Contoh 3
Diketahui rumus jumlah n suku pertama (Sn) dari suatu deret aritmatika adalah Sn = 5n + 3. Tentukan rumus suku ke-n (Un)!
Langkah 1: Tuliskan rumus Sn yang diberikan. Sn = 5n + 3
Langkah 2: Substitusikan nilai n ke dalam rumus Sn untuk mendapatkan Sn. Sn = 5n + 3
Langkah 3: Rearrange rumus Sn untuk mendapatkan Un. Sn = n/2 * (a + l) 5n + 3 = n/2 * (a + l) 10n + 6 = n * (a + l) Un = a + (n-1)b = a + (n-1)(l-a)/(n-1) Un = (2a + (n-1)b)/n
Jadi, rumus suku ke-n (Un) dari deret aritmatika dengan rumus Sn = 5n + 3 adalah Un = (2a + (n-1)b)/n.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah mempelajari bagaimana menentukan suku ke-n (Un) dari suatu deret aritmatika jika diberikan rumus jumlah n suku pertama (Sn). Dengan memahami konsep ini, Anda dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan deret aritmatika.
Ingat, kunci utamanya adalah:
- Tuliskan rumus Sn yang diberikan.
- Substitusikan nilai n ke dalam rumus Sn untuk mendapatkan Sn.
- Rearrange rumus Sn untuk mendapatkan Un.
Dengan mengikuti langkah-langkah ini, Anda akan dapat menentukan rumus suku ke-n (Un) dari suatu deret aritmatika dengan mudah. Selamat mencoba!