Latihan Soal Barisan Geometri

 

Barisan geometri adalah salah satu jenis barisan matematika yang mempunyai pola tertentu. Dalam barisan geometri, setiap suku selanjutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Barisan geometri memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, seperti matematika, fisika, ekonomi, dan lain-lain.

Memahami konsep barisan geometri dan dapat menyelesaikan berbagai jenis soal terkait barisan geometri merupakan hal yang penting. Dalam artikel ini, kita akan mencoba menyelesaikan beberapa latihan soal barisan geometri agar Anda semakin mahir dalam mengaplikasikan konsep-konsep yang terkait.

Latihan Soal 1: Menentukan Suku ke-n

Diberikan barisan geometri dengan suku pertama (a) = 2 dan rasio (r) = 3. Tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.

Penyelesaian: Untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

a_n = a * r^(n-1)

Dimana:

• a_n adalah suku ke-n
• a adalah suku pertama
• r adalah rasio

Dalam soal ini, kita diberikan:

• a = 2 (suku pertama)
• r = 3 (rasio)
• n = 10 (suku ke-10 yang ingin dicari)

Maka, suku ke-10 dapat dihitung sebagai berikut:

a_10 = a * r^(n-1) a_10 = 2 * 3^(10-1) a_10 = 2 * 3^9 a_10 = 2 * 19683 a_10 = 39366

Jadi, suku ke-10 dari barisan geometri tersebut adalah 39366.

Latihan Soal 2: Menentukan Jumlah n Suku Pertama

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama (a) = 5 dan rasio (r) = 1/2. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari barisan tersebut.

Penyelesaian: Untuk menentukan jumlah n suku pertama dari suatu barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Dimana:

• S_n adalah jumlah n suku pertama
• a adalah suku pertama
• r adalah rasio
• n adalah banyaknya suku yang ingin dijumlahkan

Dalam soal ini, kita diberikan:

• a = 5 (suku pertama)
• r = 1/2 (rasio)
• n = 8 (banyaknya suku yang ingin dijumlahkan)

Maka, jumlah 8 suku pertama dapat dihitung sebagai berikut:

S_8 = a * (1 - r^n) / (1 - r) S_8 = 5 * (1 - (1/2)^8) / (1 - 1/2) S_8 = 5 * (1 - 1/256) / 1/2 S_8 = 5 * (255/256) / 0.5 S_8 = 5 * 510/256 S_8 = 5 * 1.99 S_8 = 9.95

Jadi, jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 9.95.

Latihan Soal 3: Menentukan Rasio

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama (a) = 3 dan suku ke-4 (a_4) = 48. Tentukan rasio (r) dari barisan tersebut.

Penyelesaian: Untuk menentukan rasio (r) dari suatu barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

a_n = a * r^(n-1)

Dimana:

• a_n adalah suku ke-n
• a adalah suku pertama
• r adalah rasio

Dalam soal ini, kita diberikan:

• a = 3 (suku pertama)
• a_4 = 48 (suku ke-4)

Kita ingin mencari nilai r (rasio), maka kita dapat mensubstitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:

a_4 = a * r^(4-1) 48 = 3 * r^3 r^3 = 48/3 r^3 = 16 r = 2

Jadi, rasio (r) dari barisan geometri tersebut adalah 2.

Latihan Soal 4: Menentukan Suku Tengah

Diberikan barisan geometri dengan suku pertama (a) = 2 dan rasio (r) = 3. Tentukan suku tengah dari barisan tersebut.

Penyelesaian: Untuk menentukan suku tengah dari suatu barisan geometri, kita perlu mengetahui terlebih dahulu banyaknya suku dalam barisan tersebut. Jika banyaknya suku adalah ganjil, maka suku tengahnya adalah suku ke-(n+1)/2. Jika banyaknya suku adalah genap, maka suku tengahnya adalah rata-rata antara suku ke-n/2 dan suku ke-(n/2)+1.

Dalam soal ini, kita tidak diberikan informasi mengenai banyaknya suku. Namun, kita dapat menghitung suku tengah dengan menggunakan rumus suku ke-n:

a_n = a * r^(n-1)

Misalkan banyaknya suku adalah n, maka suku tengah akan menjadi suku ke-(n+1)/2 jika n ganjil, atau rata-rata antara suku ke-n/2 dan suku ke-(n/2)+1 jika n genap.

Kita dapat mensubstitusikan nilai-nilai yang diketahui:

• a = 2 (suku pertama)
• r = 3 (rasio)

Misal, jika n = 7 (barisan memiliki 7 suku), maka suku tengahnya adalah suku ke-(7+1)/2 = suku ke-4.

a_4 = a * r^(4-1) a_4 = 2 * 3^(4-1) a_4 = 2 * 3^3 a_4 = 2 * 27 a_4 = 54

Jadi, suku tengah dari barisan geometri tersebut adalah 54.

Latihan Soal 5: Menentukan Banyaknya Suku

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama (a) = 2 dan jumlah 5 suku pertama (S_5) = 62. Tentukan banyaknya suku dalam barisan tersebut.

Penyelesaian: Untuk menentukan banyaknya suku dalam suatu barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Dimana:

• S_n adalah jumlah n suku pertama
• a adalah suku pertama
• r adalah rasio
• n adalah banyaknya suku yang ingin dijumlahkan

Dalam soal ini, kita diberikan:

• a = 2 (suku pertama)
• S_5 = 62 (jumlah 5 suku pertama)

Kita ingin mencari nilai n (banyaknya suku), maka kita dapat mensubstitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:

S_5 = a * (1 - r^5) / (1 - r) 62 = 2 * (1 - r^5) / (1 - r) 31 = (1 - r^5) / (1 - r) 31 * (1 - r) = 1 - r^5 31 - 31r = 1 - r^5 31r - r^5 = 1 - 31 r^5 - 31r + 30 = 0

Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalam r^5, yang dapat diselesaikan dengan metode faktorisasi atau menggunakan rumus ABC. Setelah menyelesaikan persamaan, kita dapat menemukan nilai r.

Setelah mendapatkan nilai r, kita dapat menentukan nilai n dengan menggunakan rumus:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r) 62 = 2 * (1 - r^n) / (1 - r)

Dengan mensubstitusikan nilai r yang telah ditemukan, kita dapat menghitung nilai n.

Jadi, banyaknya suku dalam barisan geometri tersebut adalah n.

Latihan Soal 6: Menentukan Rasio dan Suku Tengah

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama (a) = 3 dan suku ke-5 (a_5) = 486. Tentukan rasio (r) dan suku tengah dari barisan tersebut.

Penyelesaian: Untuk menentukan rasio (r) dan suku tengah dari suatu barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus suku ke-n:

a_n = a * r^(n-1)

Dimana:

• a_n adalah suku ke-n
• a adalah suku pertama
• r adalah rasio

Dalam soal ini, kita diberikan:

• a = 3 (suku pertama)
• a_5 = 486 (suku ke-5)

Kita ingin mencari nilai r (rasio), maka kita dapat mensubstitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:

a_5 = a * r^(5-1) 486 = 3 * r^4 r^4 = 486/3 r^4 = 162 r = 3

Jadi, rasio (r) dari barisan geometri tersebut adalah 3.

Selanjutnya, untuk menentukan suku tengah, kita perlu mengetahui terlebih dahulu banyaknya suku dalam barisan tersebut. Jika banyaknya suku adalah ganjil, maka suku tengahnya adalah suku ke-(n+1)/2. Jika banyaknya suku adalah genap, maka suku tengahnya adalah rata-rata antara suku ke-n/2 dan suku ke-(n/2)+1.

Misalkan banyaknya suku adalah n, maka suku tengah akan menjadi suku ke-(n+1)/2 jika n ganjil, atau rata-rata antara suku ke-n/2 dan suku ke-(n/2)+1 jika n genap.

Kita dapat mensubstitusikan nilai-nilai yang diketahui:

• a = 3 (suku pertama)
• r = 3 (rasio)

Misal, jika n = 9 (barisan memiliki 9 suku), maka suku tengahnya adalah suku ke-(9+1)/2 = suku ke-5.

a_5 = a * r^(5-1) a_5 = 3 * 3^(5-1) a_5 = 3 * 3^4 a_5 = 3 * 81 a_5 = 243

Jadi, rasio (r) dari barisan geometri tersebut adalah 3, dan suku tengahnya adalah 243.

Latihan Soal 7: Menentukan Suku ke-n dan Jumlah Tak Hingga

Diberikan barisan geometri dengan suku pertama (a) = 5 dan rasio (r) = 1/2. Tentukan: a. Suku ke-8 b. Jumlah tak hingga dari barisan tersebut

Penyelesaian: a. Untuk menentukan suku ke-8, kita dapat menggunakan rumus suku ke-n:

a_n = a * r^(n-1)

Dimana:

• a_n adalah suku ke-n
• a adalah suku pertama
• r adalah rasio
• n adalah indeks suku yang ingin dicari

Dalam soal ini, kita diberikan:

• a = 5 (suku pertama)
• r = 1/2 (rasio)
• n = 8 (suku ke-8 yang ingin dicari)

Maka, suku ke-8 dapat dihitung sebagai berikut:

a_8 = a * r^(n-1) a_8 = 5 * (1/2)^(8-1) a_8 = 5 * (1/2)^7 a_8 = 5 * 1/128 a_8 = 5/128 a_8 = 0.0390625

Jadi, suku ke-8 dari barisan geometri tersebut adalah 0.0390625.

b. Untuk menentukan jumlah tak hingga dari barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

S_∞ = a / (1 - r)

Dimana:

• S_∞ adalah jumlah tak hingga
• a adalah suku pertama
• r adalah rasio

Dalam soal ini, kita diberikan:

• a = 5 (suku pertama)
• r = 1/2 (rasio)

Maka, jumlah tak hingga dapat dihitung sebagai berikut:

S_∞ = a / (1 - r) S_∞ = 5 / (1 - 1/2) S_∞ = 5 / (1/2) S_∞ = 10

Jadi, jumlah tak hingga dari barisan geometri tersebut adalah 10.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah menyelesaikan beberapa latihan soal barisan geometri, mulai dari menentukan suku ke-n, jumlah n suku pertama, rasio, suku tengah, banyaknya suku, serta jumlah tak hingga. Melalui latihan-latihan ini, kita dapat semakin memahami konsep-konsep dasar barisan geometri dan meningkatkan kemampuan dalam menyelesaikan berbagai jenis soal terkait.

Pemahaman yang baik tentang barisan geometri sangat penting, karena konsep ini memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, seperti matematika, fisika, ekonomi, dan lain-lain. Dengan terus berlatih menyelesaikan soal-soal barisan geometri, Anda akan semakin mahir dan siap menghadapi berbagai permasalahan yang melibatkan konsep ini.

Semoga latihan soal-soal yang telah kita bahas di atas dapat membantu Anda dalam meningkatkan pemahaman dan kemampuan Anda dalam menyelesaikan masalah-masalah terkait barisan geometri. Selamat berlatih!