Dalam matematika, turunan merupakan konsep penting yang memungkinkan kita untuk menganalisis laju perubahan suatu fungsi. Salah satu jenis fungsi yang sering dijumpai adalah fungsi aljabar, yang terdiri dari berbagai operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Ketika kita ingin menghitung turunan dari suatu fungsi aljabar, ada aturan-aturan tertentu yang harus diikuti.
Dalam artikel ini, kita akan fokus pada cara menghitung turunan dari fungsi aljabar berbentuk perkalian. Memahami konsep ini akan sangat berguna dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan teknik, di mana kita sering dihadapkan dengan fungsi-fungsi yang melibatkan perkalian.
Pengertian Turunan Fungsi Aljabar Bentuk Perkalian
Turunan fungsi aljabar bentuk perkalian adalah proses untuk menemukan laju perubahan suatu fungsi yang terdiri dari perkalian antara dua atau lebih variabel. Secara matematis, jika kita memiliki fungsi f(x) = u(x) × v(x), maka turunan dari fungsi tersebut dapat dihitung menggunakan aturan product rule, yaitu:
f'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)
Di mana:
- f'(x) adalah turunan dari fungsi f(x)
- u'(x) adalah turunan dari fungsi u(x)
- v'(x) adalah turunan dari fungsi v(x)
Aturan ini berlaku untuk fungsi aljabar dengan dua faktor, tetapi dapat diperluas untuk fungsi dengan lebih dari dua faktor.
Langkah-langkah Menghitung Turunan Fungsi Aljabar Bentuk Perkalian
Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi aljabar bentuk perkalian:
Identifikasi Fungsi Perkalian: Pertama, kita harus mengidentifikasi bahwa fungsi yang diberikan merupakan fungsi aljabar berbentuk perkalian. Fungsi tersebut harus memiliki dua atau lebih variabel yang dikalikan.
Tentukan Fungsi-fungsi Penyusun: Selanjutnya, kita harus menentukan fungsi-fungsi penyusun dari fungsi perkalian tersebut. Dalam contoh f(x) = u(x) × v(x), u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi penyusun.
Hitung Turunan Fungsi-fungsi Penyusun: Langkah selanjutnya adalah menghitung turunan dari masing-masing fungsi penyusun, yaitu u'(x) dan v'(x).
Terapkan Aturan Product Rule: Setelah mendapatkan turunan dari fungsi-fungsi penyusun, kita dapat menerapkan aturan product rule untuk menghitung turunan dari fungsi perkalian secara keseluruhan, yaitu f'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x).
Dengan mengikuti langkah-langkah ini, kita dapat dengan mudah menghitung turunan dari fungsi aljabar berbentuk perkalian.
Contoh Soal dan Penyelesaian
Ayo kita coba menerapkan langkah-langkah di atas untuk menghitung turunan beberapa contoh fungsi aljabar bentuk perkalian.
Contoh 1
Diberikan fungsi f(x) = 3x^2 × (2x + 1). Hitunglah turunan f(x).
Penyelesaian:
- Fungsi f(x) = 3x^2 × (2x + 1) merupakan fungsi aljabar bentuk perkalian.
- Fungsi-fungsi penyusun adalah:
- u(x) = 3x^2
- v(x) = 2x + 1
- Hitung turunan dari masing-masing fungsi penyusun:
- u'(x) = 6x
- v'(x) = 2
- Terapkan aturan product rule: f'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x) f'(x) = 6x × (2x + 1) + 3x^2 × 2 f'(x) = 12x^2 + 6x + 6x^2 f'(x) = 18x^2 + 6x
Jadi, turunan dari fungsi f(x) = 3x^2 × (2x + 1) adalah f'(x) = 18x^2 + 6x.
Contoh 2
Diberikan fungsi g(t) = (2t^3 - 5t) × (t^2 + 3). Hitunglah turunan g(t).
Penyelesaian:
- Fungsi g(t) = (2t^3 - 5t) × (t^2 + 3) merupakan fungsi aljabar bentuk perkalian.
- Fungsi-fungsi penyusun adalah:
- u(t) = 2t^3 - 5t
- v(t) = t^2 + 3
- Hitung turunan dari masing-masing fungsi penyusun:
- u'(t) = 6t^2 - 5
- v'(t) = 2t
- Terapkan aturan product rule: g'(t) = u'(t) × v(t) + u(t) × v'(t) g'(t) = (6t^2 - 5) × (t^2 + 3) + (2t^3 - 5t) × 2t g'(t) = 6t^4 + 18t^2 - 5t^2 - 15 + 4t^4 - 10t^2 g'(t) = 10t^4 + 13t^2 - 15
Jadi, turunan dari fungsi g(t) = (2t^3 - 5t) × (t^2 + 3) adalah g'(t) = 10t^4 + 13t^2 - 15.
Contoh 3
Diberikan fungsi h(x) = x^3 × (4x^2 - 2x + 1). Hitunglah turunan h(x).
Penyelesaian:
- Fungsi h(x) = x^3 × (4x^2 - 2x + 1) merupakan fungsi aljabar bentuk perkalian.
- Fungsi-fungsi penyusun adalah:
- u(x) = x^3
- v(x) = 4x^2 - 2x + 1
- Hitung turunan dari masing-masing fungsi penyusun:
- u'(x) = 3x^2
- v'(x) = 8x - 2
- Terapkan aturan product rule: h'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x) h'(x) = 3x^2 × (4x^2 - 2x + 1) + x^3 × (8x - 2) h'(x) = 12x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 8x^4 - 2x^3 h'(x) = 20x^4 - 8x^3 + 3x^2
Jadi, turunan dari fungsi h(x) = x^3 × (4x^2 - 2x + 1) adalah h'(x) = 20x^4 - 8x^3 + 3x^2.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah mempelajari cara menghitung turunan dari fungsi aljabar berbentuk perkalian. Dengan memahami konsep aturan product rule, kita dapat dengan mudah menentukan turunan dari fungsi-fungsi tersebut. Pemahaman tentang turunan fungsi perkalian ini sangat penting dalam berbagai bidang ilmu, seperti fisika, ekonomi, dan teknik, di mana kita sering dihadapkan dengan fungsi-fungsi yang melibatkan perkalian.
Melalui contoh-contoh yang telah dibahas, diharapkan Anda dapat dengan mudah menerapkan langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi aljabar bentuk perkalian. Terus berlatih dan menguasai konsep ini, karena pemahaman yang baik akan sangat berguna dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika yang lebih kompleks di masa depan.