|x|^3-2x^2-4|x|+3<0 Himpunan penyelesaian pertidaksamaannya?

 

Pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak seringkali memerlukan pendekatan khusus untuk menyelesaikannya. Dalam artikel ini, kita akan membahas pertidaksamaan berbentuk ∣x∣3−2x2−4∣x∣+3<0 . Tujuan dari pembahasan ini adalah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut dengan langkah-langkah sistematis. Kita akan menggunakan teknik substitusi dan analisis grafik untuk memecahkan masalah ini.

CARA 1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^3-2x^2-4\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+3<0$ , kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan nilai mutlak, yaitu $x\ge \mathrm{0\; dan }$$x<0$ .

Kasus 1: $x\ge 0$ 

Jika $x\ge 0$ , maka $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$ . Pertidaksamaan menjadi:

$x^3-2x^2-4x+3<0$ 

Untuk menemukan interval di mana pertidaksamaan ini berlaku, kita perlu mencari akar-akar dari polinomial tersebut. Kita dapat menggunakan metode faktorisasi atau teknik numerik untuk menentukan akar-akar tersebut. Misalnya, dengan metode faktorisasi, kita menemukan bahwa:

$x^3-2x^2-4x+3=(x-1)(x^2-x-3)$ 

Selanjutnya, faktorkan $x^2-x-3$ 

$x^2-x-3=(x-2)(x+1)$ 

Jadi:

$x^3-2x^2-4x+3=(x-1)(x-2)(x+1)$

Dengan akar-akar $x=1$ , $x=2$ , dan $x=-1$ . Untuk menentukan interval di mana polinomial ini kurang dari nol, kita perlu menguji nilai dalam interval-interval yang terbentuk oleh akar-akar tersebut. Interval yang valid adalah:

• $-\mathrm{\infty }<x<-1$ 
• $1<x<\mathrm{2 }$

Kasus 2: $x<0$

Jika $x<0$ , maka $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$ . Pertidaksamaan menjadi:

$(-x{)}^3-2x^2-4(-x)+3<0$$-x^3-2x^2+4x+3<0$ 

Kita akan mencari akar-akar dari polinomial ini dengan metode yang sama seperti kasus sebelumnya:

$-x^3-2x^2+4x+3=-(x+1)(x-1)(x-2)$ 

Sekali lagi, dengan akar-akar $x=-1$ , dan $x=2$

Interval yang valid untuk pertidaksamaan ini adalah:

• $-\mathrm{\infty }<x<-1$ 

Jawaban

Menggabungkan hasil dari kedua kasus, himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^3-2x^2-4\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+3<0$ adalah:

$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,2)$

CARA 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^3-2x^2-4\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+3<\mathrm{0\; , }$

$\mathrm{kita\; perlu\; memisahkan\; kasus\; berdasarkan\; nilai\; mutlak,\; yaitu }$$x \geq 0$  dan $x < 0$ 

Kasus 1: $x \geq 0$ 

Jika $x \geq 0$, maka $|x| = x$. Pertidaksamaan menjadi:

$x^3 - 2x^2 - 4x + 3 < 0$ 

Mari kita cari akar-akar dari polinomial ini dengan metode faktorisasi atau teknik numerik. Kita dapat memfaktorkan polinomial tersebut sebagai berikut:

$x^3 - 2x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x^2 - x - 3)$ 

Faktorkan $x^2-x-\mathrm{3 \; lebih\; lanjut:}$

$x^2 - x - 3 = (x - 2)(x + 1)$ 

Jadi, polinomial dapat difaktorkan menjadi:

$x^3-2x^2-4x+3=(x-1)(x-2)(x+1)$

Dengan akar-akar $x=-\mathrm{1\; , }$dan $x=\mathrm{2 }$. Untuk menentukan interval di mana polinomial ini kurang dari nol, kita perlu menguji nilai dalam interval-interval yang terbentuk oleh akar-akar tersebut:

• Untuk $x < -1$ , pilih $x = -2$ : $(x - 1)(x - 2)(x + 1) = (-3)(-4)(-1) < 0$ 
• Untuk $-1 < x < 1$, pilih $x=\mathrm{0\; : }$$(x - 1)(x - 2)(x + 1) = (-1)(-2)(1) > 0$ 
• Untuk $1 < x < 2$ , pilih $x = 1.5$ : $(x-1)(x-2)(x+1)=(0.5)(-0.5)(2.5)<\mathrm{0 }$
• Untuk $x > 2$ , pilih $x = 3$ : $(x-1)(x-2)(x+1)=(2)(1)(4)>\mathrm{0 }$

Interval yang memenuhi pertidaksamaan adalah $(- \infty, -1)$  dan $(1, 2)$ 

Kasus 2: $x < 0$

 Jika $x < 0$ , maka $|x| = -x$ . Pertidaksamaan menjadi:

$(-x{)}^3-2x^2-4(-x)+3<0$$-x^3-2x^2+4x+3<\mathrm{0 }$

Faktorkan polinomial ini dengan metode yang sama:

$-x^3 - 2x^2 + 4x + 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 2)$

Dengan akar-akar $x = -1$ , $x = 1$ , dan $x = 2$ . Untuk interval di mana polinomial ini kurang dari nol, kita perlu menguji nilai dalam interval-interval tersebut:

• Untuk $x < -1$ , pilih $x = -2$ : $-(x + 1)(x - 1)(x - 2) = -(-1)(-3)(-4) > 0$ 

Interval yang memenuhi pertidaksamaan adalah $(- \infty, -1)$ .

Jawaban

Menggabungkan hasil dari kedua kasus, himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x|^3 - 2x^2 - 4|x| + 3 < 0$ adalah:

$(-\infty, -1) \cup (1, 2)$ 

Soal lainnya

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|x|^2 - 3x - 2|x| + 1 < 0$ 

   Pembahasan:

   • Untuk $x \geq 0$ , $|x| = x$ . Pertidaksamaan menjadi: $x^2 - 3x - 2x + 1 < 0$  $x^2 - 5x + 1 < 0$  Faktor atau gunakan formula kuadrat untuk menemukan akar-akar. Interval yang memenuhi adalah $(0,5)\; .$
   • Untuk $x < 0$ , $|x| = -x$ Pertidaksamaan menjadi: $x^2 + 3x + 2x + 1 < 0$  $x^2 + 5x + 1 < 0$ Faktor atau gunakan formula kuadrat untuk menemukan akar-akar. Interval yang memenuhi adalah $(-\infty, -5)$ 

   Jawaban: $(-\infty, -5) \cup (0, 5)$ 

2. Cari himpunan penyelesaian dari $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^2-4x-2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+2<\mathrm{0 }$

   Pembahasan:

   • Untuk $x \geq 0$ , $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mathrm{x\; .\; Pertidaksamaan\; menjadi: }$$x^2 - 4x - 2x + 2 < 0$  $x^2 - 6x + 2 < 0$ Faktor atau gunakan formula kuadrat untuk menemukan akar-akar. Interval yang memenuhi adalah $(0,6)$
   • Untuk $x<\mathrm{0\; , }$$|x| = -x$. Pertidaksamaan menjadi: $x^2 + 4x + 2x + 2 < 0$  $x^2 + 6x + 2 < 0$ Faktor atau gunakan formula kuadrat untuk menemukan akar-akar. Interval yang memenuhi adalah $(-\infty, -6)$ 

   Jawaban: $(-\infty, -6) \cup (0, 6)$ 

3. Soal: Selesaikan pertidaksamaan $\mathrm{\mid }{x}^2-4\mathrm{\mid }-x<\mathrm{0 }$
   Pembahasan: 
   
   • Pisahkan menjadi dua kasus berdasarkan nilai mutlak:

   • Kasus 1: $x^2-4\ge 0$  
     $|x^2 - 4| = x^2 - 4$ 
     Pertidaksamaan menjadi:
     x2−4−x<0 $x^2 - x - 4 < 0$

     Temukan akar-akar dari 

     $x^2 - x - 4 = 0$  menggunakan formula kuadrat: $x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ Interval penyelesaian: $\left(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right)$ 

   • Kasus 2: $x^2-4<0$ 
     $|x^2 - 4| = 4 - x^2$
     Pertidaksamaan menjadi:
      $4-x^2-x<0$
     $-x^2 - x + 4 < 0$$x^2 + x - 4 > 0$
     Temukan akar-akar dari $x^2 + x - 4 = 0$
     menggunakan formula kuadrat:
     $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$Interval penyelesaian: 
     
     $x<\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\text{ atau }x>\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ ​
   
   
   Jawaban: Gabungkan hasil dari kedua kasus:
   
     $x \in \left(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\right)$
   
4. Soal: Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 

∣

2

x

+

1

∣

−

∣

x

−

4

∣

≥

0

 

Pembahasan:

• Pisahkan menjadi tiga kasus berdasarkan nilai mutlak:

• Kasus 1: $2x+1\ge 0$  dan $x-4\ge 0$ 
   $\mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }=2x+\mathrm{1 }$

∣$x-4\mathrm{\mid }=x-\mathrm{4 }$

Pertidaksamaan menjadi:  

$(2x+1)-(x-4)\ge \mathrm{0 }$

$x+5\ge \mathrm{0 }$

$x\ge -5$ Interval penyelesaian: $x\ge 4$ memenuhi syarat.  

• Kasus 2: $2x+1\ge 0$  dan $x-4<0$  

$\mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }=2x+\mathrm{1 }$

$\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }=4-\mathrm{x }$

Pertidaksamaan menjadi: $(2x+1)-(4-x)\ge \mathrm{0 }$

$3x-3\ge \mathrm{0 }$

$x\ge 1$  

Interval penyelesaian: $1\le x<4$  memenuhi syarat.

• Kasus 3: $2x+1<0$ dan $x-4<0$

$\mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }=-2x-\mathrm{1 }$

$\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }=4-\mathrm{x }$

Pertidaksamaan menjadi:  

$(-2x-1)-(4-x)\ge \mathrm{0 }$

$-x-5\ge \mathrm{0 }$

$x\le -\mathrm{5 }$

Interval penyelesaian: $x\le -\mathrm{5\; memenuhi\; syarat.}$

Jawaban: $(-\mathrm{\infty },-5]\cup [1,\mathrm{\infty })$

Mempelajari pertidaksamaan dengan nilai mutlak, seperti $|x|^3 - 2x^2 - 4|x| + 3 < 0$ , memiliki berbagai keuntungan di dunia nyata dan dapat berdampak pada berbagai pekerjaan. Berikut adalah beberapa manfaat dan aplikasi praktis:

Keuntungan Mempelajari Pertidaksamaan dengan Nilai Mutlak

1. Pemecahan Masalah dan Keterampilan Analitis:

   • Mengasah keterampilan pemecahan masalah yang kompleks dengan memperhatikan berbagai kasus dan kondisi. Ini membantu dalam mengembangkan kemampuan berpikir kritis dan analitis yang berguna di banyak bidang.

2. Modeling dan Analisis:

   • Nilai mutlak sering digunakan untuk memodelkan situasi di mana jarak atau deviasi dari nilai tertentu penting. Misalnya, dalam analisis kesalahan atau deviasi, memahami bagaimana nilai mutlak berperilaku membantu dalam mengevaluasi model matematis atau statistik.

3. Pengembangan Algoritma dan Pemrograman:

   • Memahami pertidaksamaan dengan nilai mutlak berguna dalam pengembangan algoritma komputer dan pemrograman, terutama dalam menangani kasus-kasus ekstrem atau batasan.

4. Desain dan Optimasi:

   • Dalam desain teknik atau optimasi, terutama dalam pengaturan sistem kontrol dan desain produk, nilai mutlak sering digunakan untuk menentukan batasan dan kriteria performa.

Pekerjaan yang Menggunakan Keterampilan Ini

1. Data Scientist dan Analis Data:

   • Menggunakan nilai mutlak untuk menghitung deviasi, error, dan untuk analisis statistik yang lebih mendalam. Pengetahuan ini penting dalam analisis data dan pemodelan prediktif.

2. Insinyur (Engineering):

   • Dalam bidang teknik, termasuk teknik sipil, mekanik, dan elektronik, pertidaksamaan sering digunakan untuk merancang sistem yang aman dan efisien. Misalnya, analisis batasan struktural atau optimasi desain sering melibatkan konsep nilai mutlak.

3. Matematika dan Statistik:

   • Pekerjaan di bidang matematika murni dan terapan, termasuk dalam penelitian akademik dan industri, memerlukan pemahaman mendalam tentang pertidaksamaan dan fungsi dengan nilai mutlak.

4. Ekonom dan Analis Keuangan:

   • Menggunakan nilai mutlak untuk analisis risiko, model ekonomi, dan evaluasi performa keuangan. Misalnya, menghitung deviasi dalam prediksi pasar atau evaluasi kinerja investasi.

5. Programmer dan Pengembang Perangkat Lunak:

   • Dalam pengembangan perangkat lunak, terutama dalam algoritma pemrograman dan pengolahan sinyal, konsep nilai mutlak digunakan untuk menangani berbagai kondisi dan batasan dalam kode.

6. Fisika dan Ilmu Terapan:

   • Menerapkan nilai mutlak dalam model fisika untuk analisis deviasi atau dalam fenomena fisik yang memerlukan pemahaman jarak atau perbedaan absolut.

Mempelajari dan memahami pertidaksamaan dengan nilai mutlak menyediakan dasar yang kuat untuk berbagai aplikasi di dunia nyata dan mempersiapkan individu untuk tantangan dalam berbagai karier teknik, sains, dan analisis.

Semoga soal-soal ini memberikan tantangan akademis yang sesuai dan membantu dalam memahami berbagai konsep pertidaksamaan dengan nilai mutlak!