Ketika 1999 pangkat 2000 dibagi 5 sisanya adalah?

 

Dalam matematika, salah satu teknik penting untuk mengatasi masalah terkait bilangan besar adalah mencari sisa pembagian. Teknik ini sering digunakan dalam berbagai aplikasi, termasuk teori bilangan dan kriptografi. Artikel ini akan membahas cara menemukan sisa dari hasil pangkat bilangan besar setelah dibagi dengan bilangan kecil menggunakan konsep kongruensi. dengan contoh khusus: mencari sisa dari 

$1999^{2000}$ ketika dibagi 5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan Teorema Fermat. Teorema ini menyatakan bahwa jika $p$ adalah bilangan prima dan $a$ adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi $p$ , maka $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$  Dalam kasus ini, $p=\mathrm{5 \; dan }$$a = 1999$ 

Langkah-langkah untuk mencari sisa dari $1999^{2000}$ ketika dibagi 5 adalah sebagai berikut:

1. Sederhanakan Basis: Pertama, kita sederhanakan basis 1999 modulo 5:

   $$1999 \div 5 = 399 \text{ dengan sisa } 4$$ 
   

   Jadi, $1999 \equiv 4 \pmod{5}$ .

2. Gunakan Teorema Fermat: Menurut Teorema Fermat, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ . Di sini, $a = 4$  dan $p = 5$ , sehingga:

   $$4^{5-1} = 4^4 \equiv 1 \pmod{5}$$ 
   

   Ini berarti $4^4 \equiv 1 \pmod{5}$ 

3. Pangkatkan Basis: Kita perlu menghitung $4^{2000}$ modulo 5. Dengan menggunakan fakta bahwa $4^4 \equiv 1 \pmod{5}$ 

   $$2000 = 4 \times 500$$

   Jadi:

   $$4^{2000} = (4^4)^{500} \equiv 1^{500} \equiv 1 \pmod{5}$$

Jawaban

Jadi, sisa dari $1999^{2000}$ketika dibagi dengan 5 adalah $1$.

Soal Serupa

1. Soal: Ketika $1234^{567}$dibagi 7, berapakah sisanya?

   Pembahasan:

   • Sederhanakan basis modulo 7: $$1234 \div 7 = 176 \text{ dengan sisa } 2$$ Jadi, $1234 \equiv 2 \pmod{7}$ .
   • Gunakan Teorema Fermat: $$2^{6} \equiv 1 \pmod{7} \text{ (karena 7 adalah bilangan prima)}$$ 
   • Pangkatkan basis: $$567 = 6 \times 94 + 3 \text{ (sisa 3)}$$ Jadi: $$2^{567} = (2^6)^{94} \cdot 2^3 \equiv 1^{94} \cdot 8 \equiv 8 \pmod{7} \equiv 1$$ 

   Jawaban: 1

2. Soal: Sisa dari $3025^{1000}$  ketika dibagi 11 adalah?

   Pembahasan:

   • Sederhanakan basis modulo 11: $$3025 \div 11 = 275 \text{ dengan sisa } 0$$  Jadi, $3025 \equiv 0 \pmod{11}$
   • Dengan basis 0: $$3025^{1000} \equiv 0^{1000} \equiv 0 \pmod{11}$$ 

   Jawaban: 0

3. Soal: Temukan sisa dari $874^{300}$  ketika dibagi 13.

   Pembahasan:

   • Sederhanakan basis modulo 13: $$874 \div 13 = 67 \text{ dengan sisa } 10$$ Jadi, $874 \equiv 10 \pmod{13}$
   • Gunakan Teorema Fermat: $$10^{12} \equiv 1 \pmod{13}$$ 
   • Pangkatkan basis: $$300 = 12 \times 25 \text{ (sisa 0)}$$ Jadi: $$10^{300} = (10^{12})^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod{13}$$ 

   Jawaban: 1

4. Soal: Jika $4567^{89}$  dibagi 17, berapakah sisa hasil bagi tersebut?

   Pembahasan:

   • Sederhanakan basis modulo 17: $$4567 \div 17 = 268 \text{ dengan sisa } 3$$ Jadi, $4567 \equiv 3 \pmod{17}$.
   • Gunakan Teorema Fermat: $$3^{16} \equiv 1 \pmod{17}$$ 
   • Pangkatkan basis: $$89 = 16 \times 5 + 9 \text{ (sisa 9)}$$ Jadi: $$3^{89} = (3^{16})^5 \cdot 3^9 \equiv 1^5 \cdot 3^9 \equiv 3^9 \pmod{17}$$ 
   • Hitung $3^9 \mod 17$: $$3^2 = 9, \quad 3^4 = 81 \equiv 13 \pmod{17}$$ 
     $$3^8 = 13^2 = 169 \equiv -1 \pmod{17}$$ 
     $$3^9 = 3 \cdot -1 \equiv -3 \equiv 14 \pmod{17}$$ 

   Jawaban: 14

5. Soal: Ketika $98765^{1234}$ dibagi 19, berapakah sisanya?

   Pembahasan:

   • Sederhanakan basis modulo 19: $$98765 \div 19 = 5193 \text{ dengan sisa } 8$$  Jadi, $98765 \equiv 8 \pmod{19}$.
   • Gunakan Teorema Fermat: $$8^{18} \equiv 1 \pmod{19}$$ 
   • Pangkatkan basis: $$1234 = 18 \times 68 + 10 \text{ (sisa 10)}$$ Jadi: $$8^{1234} = (8^{18})^{68} \cdot 8^{10} \equiv 1^{68} \cdot 8^{10} \equiv 8^{10} \pmod{19}$$ 
   • Hitung $8^{10} \mod 19$ 
     $$8^2 = 64 \equiv 7 \pmod{19}$$ 
     $$8^4 = 7^2 = 49 \equiv 11 \pmod{19}$$ 
     $$8^8 = 11^2 = 121 \equiv 7 \pmod{19}$$ 
     $$8^{10} = 8^8 \cdot 8^2 \equiv 7 \cdot 7 \equiv 49 \equiv 11 \pmod{19}$$ 

   Jawaban: 11

Soal 6: Sisa Pembagian Bilangan Kuadrat

Soal: Ketika $1234^2$  dibagi 15, berapakah sisanya?

Pembahasan:

• Sederhanakan basis modulo 15: $$1234 \div 15 = 82 \text{ dengan sisa } 4$$  Jadi, $1234 \equiv 4 \pmod{15}$.
• Kuadratkan basis: $$1234^2 \equiv 4^2 \pmod{15}$$ 
  $$4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{15}$$ 

Jawaban: 1

Soal 7: Sisa Pembagian Bilangan Faktorial

Soal: Ketika $7!$  (faktorial 7) dibagi 11, berapakah sisanya?

Pembahasan:

• Hitung $7!$: $$7! = 5040$$ 
• Sederhanakan $\mathrm{5040 \; modulo\; 11:}$$$5040 \div 11 = 458 \text{ dengan sisa } 2$$ 

Jawaban: 2

Soal 8: Sisa Pembagian Bilangan Eksponen

Soal: Temukan sisa dari $5^{\mathrm{11 \; ketika\; dibagi\; 23.}}$

Pembahasan:

• Gunakan Teorema Fermat: $$5^{22} \equiv 1 \pmod{23}$$ 
• Pangkatkan basis: $$11 < 22 \text{ sehingga tidak perlu menyederhanakan lebih lanjut}$$ 
  $$5^{11} \text{ dapat dihitung langsung atau menggunakan pola}$$ 
  $$5^2 = 25 \equiv 2 \pmod{23}$$ 
  $$5^4 = (5^2)^2 = 2^2 = 4 \pmod{23}$$ 
  $$5^8 = (5^4)^2 = 4^2 = 16 \pmod{23}$$ 
  $$5^{11} = 5^8 \cdot 5^2 \cdot 5 = 16 \cdot 2 \cdot 5 = 160 \pmod{23}$$ 
  $$160 \div 23 = 6 \text{ dengan sisa } 22$$ 
  $$\text{Jadi, } 5^{11} \equiv 22 \pmod{23}$$ 

Jawaban: 22

Soal 9: Sisa Pembagian Polinomial

Soal: Ketika $x^3 + 2x^2 + 3x + 4$  dibagi $x-\mathrm{1\; ,\; berapakah\; sisa\; jika }$$x = 2$ ?

Pembahasan:

• Evaluasi polinomial pada $x=\mathrm{2\; :}$$$(2)^3 + 2(2)^2 + 3(2) + 4 = 8 + 8 + 6 + 4 = 26$$ 

Jawaban: 26

Soal 10: Sisa Pembagian Matriks

Soal: Diberikan matriks $A$  dan $B$  sebagai berikut:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$ 

Temukan sisa dari hasil perkalian $A \times B$  ketika dibagi matriks $C$ 

$$C = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$$

 Pembahasan:

• Hitung perkalian $A \times B$ 
  $$A \times B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$ 
• Hitung sisa pembagian hasil perkalian dengan matriks $C$: $$\text{Gunakan pembagian elemen matriks:}$$ 
  $$\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \div \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$$ Pembagian matriks tidak langsung, maka perhitungan sisa dilakukan pada setiap elemen: $$\begin{bmatrix} 4 \mod 3 & 6 \mod 1 \\ 10 \mod 2 & 12 \mod 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ 

Jawaban: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 

Soal 11: Teorema Fermat untuk Pangkat Tinggi

Soal: Temukan sisa dari $12345^{6789}$  ketika dibagi 37.

Pembahasan:

• Sederhanakan basis modulo 37: $$12345 \div 37 = 333 \text{ dengan sisa } 9$$ Jadi, $12345 \equiv 9 \pmod{37}$.
• Gunakan Teorema Fermat: $$9^{36} \equiv 1 \pmod{37}$$ 
• Pangkatkan basis: $$6789 = 36 \times 188 + 21 \text{ (sisa 21)}$$ Jadi: $$9^{6789} = (9^{36})^{188} \cdot 9^{21} \equiv 1^{188} \cdot 9^{21} \equiv 9^{21} \pmod{37}$$ 
• Hitung $9^{21}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{37\; 9}$$$9^2 = 81 \equiv 7 \pmod{37}$$ 
  $$9^4 = 7^2 = 49 \equiv 12 \pmod{37}$$ 
  $$9^8 = 12^2 = 144 \equiv 26 \pmod{37}$$ 
  $$9^{16} = 26^2 = 676 \equiv 10 \pmod{37}$$ 
  $$9^{21} = 9^{16} \cdot 9^4 \cdot 9 = 10 \cdot 12 \cdot 9 = 1080 \pmod{37}$$ 
  $$1080 \div 37 = 29 \text{ dengan sisa } 23$$ 

Jawaban: 23

Soal 12: Sisa Pembagian Bilangan Eksponen Besar

Soal: Temukan sisa dari $7^{\mathrm{12345 \; (ketika\; dibagi\; 29).}}$

Pembahasan:

• Gunakan Teorema Fermat: $$7^{28} \equiv 1 \pmod{29}$$ 
• Pangkatkan basis: $$12345 = 28 \times 440 + 25 \text{ (sisa 25)}$$ Jadi: $$7^{12345} = (7^{28})^{440} \cdot 7^{25} \equiv 1^{440} \cdot 7^{25} \equiv 7^{25} \pmod{29}$$ 
• Hitung $7^{25}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{29\; :}$$$7^2 = 49 \equiv 20 \pmod{29}$$ 
  $$7^4 = 20^2 = 400 \equiv 23 \pmod{29}$$ 
  $$7^8 = 23^2 = 529 \equiv 7 \pmod{29}$$ 
  $$7^{16} = 7^2 = 20 \pmod{29}$$ 
  $$7^{25} = 7^{16} \cdot 7^8 \cdot 7 = 20 \cdot 7 \cdot 7 = 980 \pmod{29}$$ 
  $$980 \div 29 = 33 \text{ dengan sisa } 23$$ 

Jawaban: 23

Soal 13: Kongruensi Bilangan Besar

Soal: Temukan sisa dari $2^{1000}$  ketika dibagi 97.

Pembahasan:

• Gunakan Teorema Fermat: $$2^{96} \equiv 1 \pmod{97}$$ 
• Pangkatkan basis: $$1000 = 96 \times 10 + 40 \text{ (sisa 40)}$$  Jadi: $$2^{1000} = (2^{96})^{10} \cdot 2^{40} \equiv 1^{10} \cdot 2^{40} \equiv 2^{40} \pmod{97}$$ 
• Hitung $2^{40} \mod 97$ 
  $$2^8 = 256 \equiv 62 \pmod{97}$$ 
  $$2^{16} = 62^2 = 3844 \equiv 47 \pmod{97}$$ 
  $$2^{32} = 47^2 = 2209 \equiv 77 \pmod{97}$$ 
  $$2^{40} = 2^{32} \cdot 2^8 = 77 \cdot 62 = 4774 \pmod{97}$$ 
  $$4774 \div 97 = 49 \text{ dengan sisa } 27$$ 

Jawaban: 27

Soal 14: Sistem Persamaan Kongruensi

Soal: Temukan $x$ yang memenuhi sistem kongruensi berikut:

$$\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{5} \\ x \equiv 3 \pmod{7} \\ x \equiv 5 \pmod{11} \end{cases}$$

Pembahasan:

• Gunakan metode substitusi atau Teorema China:
  • Pertama, cari solusi untuk dua persamaan pertama: $$x \equiv 2 \pmod{5} \text{ dan } x \equiv 3 \pmod{7}$$
    • Cari nilai yang memenuhi: $$x = 5k + 2 \text{ substitusi ke } x \equiv 3 \pmod{7}$$ 
      $$5k + 2 \equiv 3 \pmod{7} \implies 5k \equiv 1 \pmod{7}$$ 
      $$5 \text{ invers 5 modulo 7 adalah 3 (karena } 5 \cdot 3 \equiv 1 \pmod{7})$$ 
      $$k \equiv 3 \pmod{7}$$ 
      $$k = 7m + 3$$ 
      $$x = 5(7m + 3) + 2 = 35m + 17$$ 
      $$x \equiv 17 \pmod{35}$$ 
  • Sekarang, substitusi ke persamaan ketiga: $$x \equiv 17 \pmod{35} \text{ dan } x \equiv 5 \pmod{11}$$ 
    $$x = 35n + 17 \text{ substitusi ke } x \equiv 5 \pmod{11}$$ 
    $$35n + 17 \equiv 5 \pmod{11} \implies 35n \equiv -12 \pmod{11} \implies 2n \equiv 1 \pmod{11}$$ 
    $$n \equiv 6 \pmod{11}$$ 
    $$n = 11p + 6$$ 
    $$x = 35(11p + 6) + 17 = 385p + 212$$ 
    $$x \equiv 212 \pmod{385}$$ 

Jawaban: 212

Soal 15: Integral Definite dengan Konstanta

Soal: Hitung integral berikut:

$$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x) \cdot \cos^2(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}} \, dx$$ 

Pembahasan:

• Gunakan substitusi trigonometri: $$u = \cos(x) \text{ sehingga } du = -\sin(x) \, dx$$ 
• Ubah batas integral: $$\text{Saat } x = 0, u = 1$$ 
  $$\text{Saat } x = \pi, u = -1$$ 
• Integral menjadi: $$\int_{1}^{-1} \frac{-du \cdot u^2}{\sqrt{1 + u}}$$ $$\int_{-1}^{1} \frac{u^2 \, du}{\sqrt{1 + u}}$$
  • Ubah variabel $v = 1 + u$, maka $du = dv$:
  $$\int_{0}^{2} \frac{(v-1)^2 \, dv}{\sqrt{v}}$$ $$= \int_{0}^{2} \frac{v^2 - 2v + 1}{\sqrt{v}} \, dv$$ 
  $$= \int_{0}^{2} \left(v^{3/2} - 2v^{1/2} + v^{-1/2}\right) \, dv$$ 
  $$= \left[\frac{2}{5} v^{5/2} - 4 v^{3/2} + 2 v^{1/2}\right]_{0}^{2}$$ $$= \frac{2}{5} \cdot 2^{5/2} - 4 \cdot 2^{3/2} + 2 \cdot 2^{1/2}$$ 
  $$= \frac{2 \cdot 4\sqrt{2}}{5} - 4 \cdot 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$ $$= \frac{8\sqrt{2}}{5} - 8\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$ $$= \frac{8\sqrt{2} - 40\sqrt{2} + 10\sqrt{2}}{5} = \frac{-22\sqrt{2}}{5}$$

Jawaban: $-\frac{22\sqrt{2}}{5}$

Keuntungan Mempelajari Soal Ini:

1. Pengembangan Keterampilan Pemecahan Masalah:

   • Soal ini melatih keterampilan pemecahan masalah yang kritis, seperti penggunaan teknik-teknik matematika untuk menyederhanakan dan menyelesaikan masalah yang tampaknya kompleks.

2. Pemahaman Konsep Matematika Fundamental:

   • Memahami konsep sisa pembagian dan aritmatika modular penting dalam matematika. Ini membantu memperkuat dasar-dasar aritmatika dan teori bilangan.

3. Penerapan dalam Algoritma dan Kriptografi:

   • Teknik yang digunakan dalam soal ini mirip dengan metode yang diterapkan dalam algoritma komputer dan kriptografi, seperti enkripsi dan dekripsi yang melibatkan operasi modulo.

4. Kemampuan Analitis:

   • Latihan ini meningkatkan kemampuan analitis dan logika, yang berguna dalam berbagai bidang yang memerlukan analisis data dan pengambilan keputusan berbasis data.

Pekerjaan Profesional yang Menggunakan Perhitungan Seperti Ini:

1. Ilmuwan Komputer:

   • Dalam pengembangan algoritma, khususnya algoritma kriptografi dan keamanan data. Aritmatika modular dan teori bilangan adalah dasar dari banyak algoritma enkripsi.

2. Matematikawan:

   • Matematika murni dan terapan memerlukan pemahaman yang mendalam tentang teori bilangan dan kongruensi untuk penelitian dan pengembangan teori baru.

3. Insinyur Perangkat Lunak:

   • Pekerjaan dalam pengembangan perangkat lunak yang melibatkan algoritma efisien, hashing, dan penyimpanan data memerlukan pemahaman tentang aritmatika modular.

4. Analis Data:

   • Meskipun tidak langsung, kemampuan untuk memahami dan menerapkan konsep matematika yang kompleks dapat membantu dalam analisis data dan pemodelan statistik.

5. Pekerjaan di Bidang Keuangan dan Ekonomi:

   • Penggunaan teknik matematika untuk model keuangan, peramalan ekonomi, dan analisis risiko seringkali melibatkan operasi yang memerlukan pemahaman aritmatika dan kongruensi.

Mempelajari dan menguasai teknik-teknik ini tidak hanya memberikan keahlian matematika yang kuat tetapi juga membantu dalam pengembangan keterampilan berpikir kritis dan analitis yang sangat berharga di banyak bidang profesional.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah menggunakan Teorema Fermat untuk menyederhanakan perhitungan bilangan pangkat besar. Dengan menyederhanakan basis bilangan dan menerapkan teorema, kita dapat dengan mudah menemukan sisa pembagian dari bilangan besar. Dalam kasus ini, sisa dari $1999^{2000}$  dibagi dengan 5 adalah 1.