Ketika 1999 pangkat 2000 dibagi 5 sisanya adalah?

 

Ketika 1999 pangkat 2000 dibagi 5 sisanya adalah?

Dalam matematika, salah satu teknik penting untuk mengatasi masalah terkait bilangan besar adalah mencari sisa pembagian. Teknik ini sering digunakan dalam berbagai aplikasi, termasuk teori bilangan dan kriptografi. Artikel ini akan membahas cara menemukan sisa dari hasil pangkat bilangan besar setelah dibagi dengan bilangan kecil menggunakan konsep kongruensi. dengan contoh khusus: mencari sisa dari 
199920001999^{2000} ketika dibagi 5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan Teorema Fermat. Teorema ini menyatakan bahwa jika pp adalah bilangan prima dan aa adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi pp , maka ap11(modp)a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}  Dalam kasus ini, p=5  dan a=1999a = 1999 

Langkah-langkah untuk mencari sisa dari 199920001999^{2000} ketika dibagi 5 adalah sebagai berikut:

  1. Sederhanakan Basis: Pertama, kita sederhanakan basis 1999 modulo 5:

    1999÷5=399 dengan sisa 41999 \div 5 = 399 \text{ dengan sisa } 4 

    Jadi, 19994(mod5)1999 \equiv 4 \pmod{5} .

  2. Gunakan Teorema Fermat: Menurut Teorema Fermat, ap11(modp)a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} . Di sini, a=4a = 4  dan p=5p = 5 , sehingga:

    451=441(mod5)4^{5-1} = 4^4 \equiv 1 \pmod{5} 

    Ini berarti 441(mod5)4^4 \equiv 1 \pmod{5} 

  3. Pangkatkan Basis: Kita perlu menghitung 420004^{2000} modulo 5. Dengan menggunakan fakta bahwa 441(mod5)4^4 \equiv 1 \pmod{5} 

    2000=4×5002000 = 4 \times 500 

    Jadi:

    42000=(44)50015001(mod5)4^{2000} = (4^4)^{500} \equiv 1^{500} \equiv 1 \pmod{5} 

Jawaban

Jadi, sisa dari 199920001999^{2000} ketika dibagi dengan 5 adalah 11.


Soal Serupa

  1. Soal: Ketika 12345671234^{567} dibagi 7, berapakah sisanya?

    Pembahasan:

    • Sederhanakan basis modulo 7: 1234÷7=176 dengan sisa 21234 \div 7 = 176 \text{ dengan sisa } 2 Jadi, 12342(mod7)1234 \equiv 2 \pmod{7} .
    • Gunakan Teorema Fermat: 261(mod7) (karena 7 adalah bilangan prima)2^{6} \equiv 1 \pmod{7} \text{ (karena 7 adalah bilangan prima)} 
    • Pangkatkan basis: 567=6×94+3 (sisa 3)567 = 6 \times 94 + 3 \text{ (sisa 3)} Jadi: 2567=(26)942319488(mod7)12^{567} = (2^6)^{94} \cdot 2^3 \equiv 1^{94} \cdot 8 \equiv 8 \pmod{7} \equiv 1 

    Jawaban: 1

  2. Soal: Sisa dari 302510003025^{1000}  ketika dibagi 11 adalah?

    Pembahasan:

    • Sederhanakan basis modulo 11: 3025÷11=275 dengan sisa 03025 \div 11 = 275 \text{ dengan sisa } 0  Jadi, 30250(mod11)3025 \equiv 0 \pmod{11} 
    • Dengan basis 0: 30251000010000(mod11)3025^{1000} \equiv 0^{1000} \equiv 0 \pmod{11} 

    Jawaban: 0

  3. Soal: Temukan sisa dari 874300874^{300}  ketika dibagi 13.

    Pembahasan:

    • Sederhanakan basis modulo 13: 874÷13=67 dengan sisa 10874 \div 13 = 67 \text{ dengan sisa } 10 Jadi, 87410(mod13)874 \equiv 10 \pmod{13} 
    • Gunakan Teorema Fermat: 10121(mod13)10^{12} \equiv 1 \pmod{13} 
    • Pangkatkan basis: 300=12×25 (sisa 0)300 = 12 \times 25 \text{ (sisa 0)} Jadi: 10300=(1012)251251(mod13)10^{300} = (10^{12})^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod{13} 

    Jawaban: 1

  4. Soal: Jika 4567894567^{89}  dibagi 17, berapakah sisa hasil bagi tersebut?

    Pembahasan:

    • Sederhanakan basis modulo 17: 4567÷17=268 dengan sisa 34567 \div 17 = 268 \text{ dengan sisa } 3 Jadi, 45673(mod17)4567 \equiv 3 \pmod{17} .
    • Gunakan Teorema Fermat: 3161(mod17)3^{16} \equiv 1 \pmod{17} 
    • Pangkatkan basis: 89=16×5+9 (sisa 9)89 = 16 \times 5 + 9 \text{ (sisa 9)} Jadi: 389=(316)539153939(mod17)3^{89} = (3^{16})^5 \cdot 3^9 \equiv 1^5 \cdot 3^9 \equiv 3^9 \pmod{17} 
    • Hitung 39mod173^9 \mod 17 : 32=9,34=8113(mod17)3^2 = 9, \quad 3^4 = 81 \equiv 13 \pmod{17} 
      38=132=1691(mod17)3^8 = 13^2 = 169 \equiv -1 \pmod{17} 
      39=31314(mod17)3^9 = 3 \cdot -1 \equiv -3 \equiv 14 \pmod{17} 

    Jawaban: 14

  5. Soal: Ketika 98765123498765^{1234} dibagi 19, berapakah sisanya?

    Pembahasan:

    • Sederhanakan basis modulo 19: 98765÷19=5193 dengan sisa 898765 \div 19 = 5193 \text{ dengan sisa } 8  Jadi, 987658(mod19)98765 \equiv 8 \pmod{19} .
    • Gunakan Teorema Fermat: 8181(mod19)8^{18} \equiv 1 \pmod{19} 
    • Pangkatkan basis: 1234=18×68+10 (sisa 10)1234 = 18 \times 68 + 10 \text{ (sisa 10)} Jadi: 81234=(818)68810168810810(mod19)8^{1234} = (8^{18})^{68} \cdot 8^{10} \equiv 1^{68} \cdot 8^{10} \equiv 8^{10} \pmod{19} 
    • Hitung 810mod198^{10} \mod 19 
      82=647(mod19)8^2 = 64 \equiv 7 \pmod{19} 
      84=72=4911(mod19)8^4 = 7^2 = 49 \equiv 11 \pmod{19} 
      88=112=1217(mod19)8^8 = 11^2 = 121 \equiv 7 \pmod{19} 
      810=8882774911(mod19)8^{10} = 8^8 \cdot 8^2 \equiv 7 \cdot 7 \equiv 49 \equiv 11 \pmod{19} 

    Jawaban: 11

Soal 6: Sisa Pembagian Bilangan Kuadrat

Soal: Ketika 123421234^2  dibagi 15, berapakah sisanya?

Pembahasan:

  • Sederhanakan basis modulo 15: 1234÷15=82 dengan sisa 41234 \div 15 = 82 \text{ dengan sisa } 4  Jadi, 12344(mod15)1234 \equiv 4 \pmod{15} .
  • Kuadratkan basis: 1234242(mod15)1234^2 \equiv 4^2 \pmod{15} 
    42=161(mod15)4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{15} 

Jawaban: 1

Soal 7: Sisa Pembagian Bilangan Faktorial

Soal: Ketika 7!7!  (faktorial 7) dibagi 11, berapakah sisanya?

Pembahasan:

  • Hitung 7!7!: 7!=50407! = 5040 
  • Sederhanakan 5040  modulo 11:5040÷11=458 dengan sisa 25040 \div 11 = 458 \text{ dengan sisa } 2 

Jawaban: 2

Soal 8: Sisa Pembagian Bilangan Eksponen

Soal: Temukan sisa dari 511  ketika dibagi 23.

Pembahasan:

  • Gunakan Teorema Fermat: 5221(mod23)5^{22} \equiv 1 \pmod{23} 
  • Pangkatkan basis: 11<22 sehingga tidak perlu menyederhanakan lebih lanjut11 < 22 \text{ sehingga tidak perlu menyederhanakan lebih lanjut} 
    511 dapat dihitung langsung atau menggunakan pola5^{11} \text{ dapat dihitung langsung atau menggunakan pola} 
    52=252(mod23)5^2 = 25 \equiv 2 \pmod{23} 
    54=(52)2=22=4(mod23)5^4 = (5^2)^2 = 2^2 = 4 \pmod{23} 
    58=(54)2=42=16(mod23)5^8 = (5^4)^2 = 4^2 = 16 \pmod{23} 
    511=58525=1625=160(mod23)5^{11} = 5^8 \cdot 5^2 \cdot 5 = 16 \cdot 2 \cdot 5 = 160 \pmod{23} 
    160÷23=6 dengan sisa 22160 \div 23 = 6 \text{ dengan sisa } 22 
    Jadi, 51122(mod23)\text{Jadi, } 5^{11} \equiv 22 \pmod{23} 

Jawaban: 22

Soal 9: Sisa Pembagian Polinomial

Soal: Ketika x3+2x2+3x+4x^3 + 2x^2 + 3x + 4  dibagi x1 , berapakah sisa jika x=2x = 2 ?

Pembahasan:

  • Evaluasi polinomial pada x=2 :(2)3+2(2)2+3(2)+4=8+8+6+4=26(2)^3 + 2(2)^2 + 3(2) + 4 = 8 + 8 + 6 + 4 = 26 

Jawaban: 26

Soal 10: Sisa Pembagian Matriks

Soal: Diberikan matriks AA  dan BB  sebagai berikut:

A=[1234],B=[2013]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} 

Temukan sisa dari hasil perkalian A×BA \times B  ketika dibagi matriks CC 

C=[3122]C = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}

 Pembahasan:

  • Hitung perkalian A×BA \times B 
    A×B=[12+2110+2332+4130+43]=[461012]A \times B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} 
  • Hitung sisa pembagian hasil perkalian dengan matriks CC: Gunakan pembagian elemen matriks:\text{Gunakan pembagian elemen matriks:} 
    [461012]÷[3122]\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \div \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} Pembagian matriks tidak langsung, maka perhitungan sisa dilakukan pada setiap elemen: [4mod36mod110mod212mod2]=[1000]\begin{bmatrix} 4 \mod 3 & 6 \mod 1 \\ 10 \mod 2 & 12 \mod 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} 

Jawaban: [1000]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} 


Soal 11: Teorema Fermat untuk Pangkat Tinggi

Soal: Temukan sisa dari 12345678912345^{6789}  ketika dibagi 37.

Pembahasan:

  • Sederhanakan basis modulo 37: 12345÷37=333 dengan sisa 912345 \div 37 = 333 \text{ dengan sisa } 9 Jadi, 123459(mod37)12345 \equiv 9 \pmod{37} .
  • Gunakan Teorema Fermat: 9361(mod37)9^{36} \equiv 1 \pmod{37} 
  • Pangkatkan basis: 6789=36×188+21 (sisa 21)6789 = 36 \times 188 + 21 \text{ (sisa 21)} Jadi: 96789=(936)1889211188921921(mod37)9^{6789} = (9^{36})^{188} \cdot 9^{21} \equiv 1^{188} \cdot 9^{21} \equiv 9^{21} \pmod{37} 
  • Hitung 921mod37 92=817(mod37)9^2 = 81 \equiv 7 \pmod{37} 
    94=72=4912(mod37)9^4 = 7^2 = 49 \equiv 12 \pmod{37} 
    98=122=14426(mod37)9^8 = 12^2 = 144 \equiv 26 \pmod{37} 
    916=262=67610(mod37)9^{16} = 26^2 = 676 \equiv 10 \pmod{37} 
    921=916949=10129=1080(mod37)9^{21} = 9^{16} \cdot 9^4 \cdot 9 = 10 \cdot 12 \cdot 9 = 1080 \pmod{37} 
    1080÷37=29 dengan sisa 231080 \div 37 = 29 \text{ dengan sisa } 23 

Jawaban: 23

Soal 12: Sisa Pembagian Bilangan Eksponen Besar

Soal: Temukan sisa dari 712345  (ketika dibagi 29).

Pembahasan:

  • Gunakan Teorema Fermat: 7281(mod29)7^{28} \equiv 1 \pmod{29} 
  • Pangkatkan basis: 12345=28×440+25 (sisa 25)12345 = 28 \times 440 + 25 \text{ (sisa 25)} Jadi: 712345=(728)4407251440725725(mod29)7^{12345} = (7^{28})^{440} \cdot 7^{25} \equiv 1^{440} \cdot 7^{25} \equiv 7^{25} \pmod{29} 
  • Hitung 725mod29 :72=4920(mod29)7^2 = 49 \equiv 20 \pmod{29} 
    74=202=40023(mod29)7^4 = 20^2 = 400 \equiv 23 \pmod{29} 
    78=232=5297(mod29)7^8 = 23^2 = 529 \equiv 7 \pmod{29} 
    716=72=20(mod29)7^{16} = 7^2 = 20 \pmod{29} 
    725=716787=2077=980(mod29)7^{25} = 7^{16} \cdot 7^8 \cdot 7 = 20 \cdot 7 \cdot 7 = 980 \pmod{29} 
    980÷29=33 dengan sisa 23980 \div 29 = 33 \text{ dengan sisa } 23 

Jawaban: 23

Soal 13: Kongruensi Bilangan Besar

Soal: Temukan sisa dari 210002^{1000}  ketika dibagi 97.

Pembahasan:

  • Gunakan Teorema Fermat: 2961(mod97)2^{96} \equiv 1 \pmod{97} 
  • Pangkatkan basis: 1000=96×10+40 (sisa 40)1000 = 96 \times 10 + 40 \text{ (sisa 40)}  Jadi: 21000=(296)10240110240240(mod97)2^{1000} = (2^{96})^{10} \cdot 2^{40} \equiv 1^{10} \cdot 2^{40} \equiv 2^{40} \pmod{97} 
  • Hitung 240mod972^{40} \mod 97 
    28=25662(mod97)2^8 = 256 \equiv 62 \pmod{97} 
    216=622=384447(mod97)2^{16} = 62^2 = 3844 \equiv 47 \pmod{97} 
    232=472=220977(mod97)2^{32} = 47^2 = 2209 \equiv 77 \pmod{97} 
    240=23228=7762=4774(mod97)2^{40} = 2^{32} \cdot 2^8 = 77 \cdot 62 = 4774 \pmod{97} 
    4774÷97=49 dengan sisa 274774 \div 97 = 49 \text{ dengan sisa } 27 

Jawaban: 27

Soal 14: Sistem Persamaan Kongruensi

Soal: Temukan xx yang memenuhi sistem kongruensi berikut:

{x2(mod5)x3(mod7)x5(mod11)\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{5} \\ x \equiv 3 \pmod{7} \\ x \equiv 5 \pmod{11} \end{cases}

Pembahasan:

  • Gunakan metode substitusi atau Teorema China:
    • Pertama, cari solusi untuk dua persamaan pertama: x2(mod5) dan x3(mod7)x \equiv 2 \pmod{5} \text{ dan } x \equiv 3 \pmod{7}
      • Cari nilai yang memenuhi: x=5k+2 substitusi ke x3(mod7)x = 5k + 2 \text{ substitusi ke } x \equiv 3 \pmod{7} 
        5k+23(mod7)    5k1(mod7)5k + 2 \equiv 3 \pmod{7} \implies 5k \equiv 1 \pmod{7} 
        5 invers 5 modulo 7 adalah 3 (karena 531(mod7))5 \text{ invers 5 modulo 7 adalah 3 (karena } 5 \cdot 3 \equiv 1 \pmod{7}) 
        k3(mod7)k \equiv 3 \pmod{7} 
        k=7m+3k = 7m + 3 
        x=5(7m+3)+2=35m+17x = 5(7m + 3) + 2 = 35m + 17 
        x17(mod35)x \equiv 17 \pmod{35} 
    • Sekarang, substitusi ke persamaan ketiga: x17(mod35) dan x5(mod11)x \equiv 17 \pmod{35} \text{ dan } x \equiv 5 \pmod{11} 
      x=35n+17 substitusi ke x5(mod11)x = 35n + 17 \text{ substitusi ke } x \equiv 5 \pmod{11} 
      35n+175(mod11)    35n12(mod11)    2n1(mod11)35n + 17 \equiv 5 \pmod{11} \implies 35n \equiv -12 \pmod{11} \implies 2n \equiv 1 \pmod{11} 
      n6(mod11)n \equiv 6 \pmod{11} 
      n=11p+6n = 11p + 6 
      x=35(11p+6)+17=385p+212x = 35(11p + 6) + 17 = 385p + 212 
      x212(mod385)x \equiv 212 \pmod{385} 

Jawaban: 212

Soal 15: Integral Definite dengan Konstanta

Soal: Hitung integral berikut:

0πsin(x)cos2(x)1+cos(x)dx\int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x) \cdot \cos^2(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}} \, dx 

Pembahasan:

  • Gunakan substitusi trigonometri: u=cos(x) sehingga du=sin(x)dxu = \cos(x) \text{ sehingga } du = -\sin(x) \, dx 
  • Ubah batas integral: Saat x=0,u=1\text{Saat } x = 0, u = 1 
    Saat x=π,u=1\text{Saat } x = \pi, u = -1 
  • Integral menjadi: 11duu21+u\int_{1}^{-1} \frac{-du \cdot u^2}{\sqrt{1 + u}} 11u2du1+u\int_{-1}^{1} \frac{u^2 \, du}{\sqrt{1 + u}}
    • Ubah variabel v=1+uv = 1 + u, maka du=dvdu = dv:
    02(v1)2dvv\int_{0}^{2} \frac{(v-1)^2 \, dv}{\sqrt{v}} =02v22v+1vdv= \int_{0}^{2} \frac{v^2 - 2v + 1}{\sqrt{v}} \, dv 
    =02(v3/22v1/2+v1/2)dv= \int_{0}^{2} \left(v^{3/2} - 2v^{1/2} + v^{-1/2}\right) \, dv 
    =[25v5/24v3/2+2v1/2]02= \left[\frac{2}{5} v^{5/2} - 4 v^{3/2} + 2 v^{1/2}\right]_{0}^{2} =2525/2423/2+221/2= \frac{2}{5} \cdot 2^{5/2} - 4 \cdot 2^{3/2} + 2 \cdot 2^{1/2} 
    =2425422+22= \frac{2 \cdot 4\sqrt{2}}{5} - 4 \cdot 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} =82582+22= \frac{8\sqrt{2}}{5} - 8\sqrt{2} + 2\sqrt{2} =82402+1025=2225= \frac{8\sqrt{2} - 40\sqrt{2} + 10\sqrt{2}}{5} = \frac{-22\sqrt{2}}{5}

Jawaban: 2225-\frac{22\sqrt{2}}{5}

Keuntungan Mempelajari Soal Ini:

  1. Pengembangan Keterampilan Pemecahan Masalah:

    • Soal ini melatih keterampilan pemecahan masalah yang kritis, seperti penggunaan teknik-teknik matematika untuk menyederhanakan dan menyelesaikan masalah yang tampaknya kompleks.
  2. Pemahaman Konsep Matematika Fundamental:

    • Memahami konsep sisa pembagian dan aritmatika modular penting dalam matematika. Ini membantu memperkuat dasar-dasar aritmatika dan teori bilangan.
  3. Penerapan dalam Algoritma dan Kriptografi:

    • Teknik yang digunakan dalam soal ini mirip dengan metode yang diterapkan dalam algoritma komputer dan kriptografi, seperti enkripsi dan dekripsi yang melibatkan operasi modulo.
  4. Kemampuan Analitis:

    • Latihan ini meningkatkan kemampuan analitis dan logika, yang berguna dalam berbagai bidang yang memerlukan analisis data dan pengambilan keputusan berbasis data.

Pekerjaan Profesional yang Menggunakan Perhitungan Seperti Ini:

  1. Ilmuwan Komputer:

    • Dalam pengembangan algoritma, khususnya algoritma kriptografi dan keamanan data. Aritmatika modular dan teori bilangan adalah dasar dari banyak algoritma enkripsi.
  2. Matematikawan:

    • Matematika murni dan terapan memerlukan pemahaman yang mendalam tentang teori bilangan dan kongruensi untuk penelitian dan pengembangan teori baru.
  3. Insinyur Perangkat Lunak:

    • Pekerjaan dalam pengembangan perangkat lunak yang melibatkan algoritma efisien, hashing, dan penyimpanan data memerlukan pemahaman tentang aritmatika modular.
  4. Analis Data:

    • Meskipun tidak langsung, kemampuan untuk memahami dan menerapkan konsep matematika yang kompleks dapat membantu dalam analisis data dan pemodelan statistik.
  5. Pekerjaan di Bidang Keuangan dan Ekonomi:

    • Penggunaan teknik matematika untuk model keuangan, peramalan ekonomi, dan analisis risiko seringkali melibatkan operasi yang memerlukan pemahaman aritmatika dan kongruensi.

Mempelajari dan menguasai teknik-teknik ini tidak hanya memberikan keahlian matematika yang kuat tetapi juga membantu dalam pengembangan keterampilan berpikir kritis dan analitis yang sangat berharga di banyak bidang profesional.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah menggunakan Teorema Fermat untuk menyederhanakan perhitungan bilangan pangkat besar. Dengan menyederhanakan basis bilangan dan menerapkan teorema, kita dapat dengan mudah menemukan sisa pembagian dari bilangan besar. Dalam kasus ini, sisa dari 19992000  dibagi dengan 5 adalah 1.


Komentar

Peta Bimbel Jakarta Timur

 
Use the Cookies: Kami menggunakan cookie untuk memastikan bahwa kami memberi anda pengalaman terbaik di situs web kami clicking on more information