Teorema Rolle: 10 Soal Matematika dan Pembahasannya

 

Teorema Rolle: 10 Soal Matematika dan Pembahasannya

Pendahuluan

Teorema Rolle merupakan salah satu teorema penting dalam kalkulus yang membahas tentang karakteristik fungsi pada interval tertutup. Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu fungsi kontinu pada suatu interval tertutup dan diferensiabel pada interval terbuka di dalamnya, serta bernilai sama pada titik-titik ujung interval, maka paling tidak terdapat satu titik di dalam interval di mana turunan fungsi tersebut sama dengan nol.

Teorema Rolle adalah salah satu teorema penting dalam kalkulus yang menyatakan bahwa jika suatu fungsi kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ , terdiferensialkan pada interval terbuka $(a, b)$ , dan memiliki nilai yang sama pada kedua ujung interval (yaitu $f(a) = f(b)$, maka terdapat setidaknya satu titik $c$ di dalam interval $(a,b)\; di\; mana\; turunan\; pertama\; fungsi\; tersebut\; sama\; dengan\; nol\; ($$f^{\mathrm{\prime }}(c)=$).

Pernyataan Formal

Jika suatu fungsi $f$ memenuhi tiga kondisi berikut:

1. $f$  kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ ,
2. $f$  terdiferensialkan pada interval terbuka $(a, b)$ ,
3. $f(a)=f(b)\; ,$

maka ada setidaknya satu titik $c$ di $(a,b)\; sedemikian\; sehingga$$f^{\mathrm{\prime }}(c)=\mathrm{0 }$

Bukti Teorema Rolle

Mari kita buktikan teorema Rolle.

1. Kontinuitas dan Diferensiasi: Karena $f$  kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada interval terbuka $(a, b)$ , maka menurut Teorema Weierstrass, $f$ mencapai nilai maksimum dan minimum pada interval $[a, b]$ .

2. Kasus Nilai Maksimum dan Minimum:

   • Jika nilai maksimum atau minimum $f$ dicapai di salah satu titik ujung $\mathrm{a \; atau }$$b$ , maka $\mathrm{f \; konstan\; pada\; interval }$$[a, b]$ . Dalam hal ini, setiap titik $c \in (a, b)$  akan memiliki turunan $f'(c) = 0$ 
   • Jika nilai maksimum atau minimum $\mathrm{f\; dicapai\; di\; suatu\; titik }$$c$  di dalam interval $(a, b)$ , maka titik tersebut adalah titik kritis, yang berarti $f'(c) = 0$ 

Jadi, selalu ada setidaknya satu titik $c \in (a, b)$ di mana $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$

Contoh Aplikasi Teorema Rolle

Pertimbangkan fungsi $f(x)=x^2-4x+\mathrm{4\; pada\; interval }$$[0, 4]$ 

1. Fungsi $f(x) \; adalah\; polinomial,\; sehingga\; kontinu\; pada\; interval$$[0, 4]$ dan terdiferensialkan pada interval $(0, 4)$.
2. $f(0)=0^2-4(0)+4=\mathrm{4 \; dan }$$f(4)=4^2-4(4)+4=\mathrm{4\; .\; Jadi, }$$f(0) = f(4)$ 

Menurut Teorema Rolle, harus ada setidaknya satu titik $c \in (0, 4)$ sedemikian sehingga $f^{\mathrm{\prime }}(c)=\mathrm{0 }$

Mari kita hitung turunannya: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-\mathrm{4 }$

Untuk menemukan $c$ di mana $f'(c) = 0$ , kita set $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{0\; : }$$2x - 4 = 0$ $x=\mathrm{2 }$

Jadi, pada $c = 2$ , $f'(c) = 0$ , yang sesuai dengan Teorema Rolle.

Implementasi dalam Python

Berikut adalah implementasi sederhana dalam Python untuk memverifikasi contoh di atas:

python
 
import sympy as sp

# Definisikan variabel dan fungsi
x = sp.symbols('x')
f = x**2 - 4*x + 4

# Hitung turunan pertama
f_prime = sp.diff(f, x)

# Solusi dari f'(x) = 0
critical_points = sp.solve(f_prime, x)
critical_points_in_interval = [c for c in critical_points if c > 0 and c < 4]

# Hasil
f_prime, critical_points_in_interval

Hasil dari kode di atas adalah:

• Turunan pertama: $f'(x) = 2x - 4$
• Titik kritis dalam interval $(0, 4)$: $x = 2$

Ini memverifikasi bahwa $c = 2$ adalah titik di mana $f'(c) = 0$, sesuai dengan Teorema Rolle.

Dalam artikel ini, kita akan membahas 10 soal matematika terkait Teorema Rolle beserta pembahasannya. Soal-soal ini akan membantu Anda memahami penerapan Teorema Rolle dalam menyelesaikan masalah kalkulus.

Soal 1

Fungsi f(x) = x^3 - 9x + 3 kontinu pada interval [-3, 3]. Tentukan titik-titik di mana turunan fungsi f(x) sama dengan nol.

Pembahasan:

1. Pertama, kita harus menentukan apakah fungsi f(x) = x^3 - 9x + 3 memenuhi syarat-syarat Teorema Rolle pada interval [-3, 3].
2. Fungsi f(x) = x^3 - 9x + 3 kontinu pada interval [-3, 3].
3. Fungsi f(x) = x^3 - 9x + 3 juga diferensiabel pada interval terbuka (-3, 3).
4. Nilai f(-3) = (-3)^3 - 9(-3) + 3 = -27 + 27 + 3 = 3.
5. Nilai f(3) = (3)^3 - 9(3) + 3 = 27 - 27 + 3 = 3.
6. Jadi, fungsi f(x) = x^3 - 9x + 3 memenuhi syarat-syarat Teorema Rolle pada interval [-3, 3].
7. Selanjutnya, kita hitung turunan fungsi f(x): f'(x) = 3x^2 - 9
8. Untuk mencari titik di mana turunan fungsi f(x) sama dengan nol, kita selesaikan persamaan: 3x^2 - 9 = 0 3x^2 = 9 x = ±√3

Jadi, titik-titik di mana turunan fungsi f(x) = x^3 - 9x + 3 sama dengan nol adalah x = -√3 dan x = √3.

Soal 2

Fungsi f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 kontinu pada interval [-2, 2]. Tentukan titik-titik di mana turunan fungsi f(x) sama dengan nol.

Pembahasan:

1. Pertama, kita harus menentukan apakah fungsi f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 memenuhi syarat-syarat Teorema Rolle pada interval [-2, 2].
2. Fungsi f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 kontinu pada interval [-2, 2].
3. Fungsi f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 juga diferensiabel pada interval terbuka (-2, 2).
4. Nilai f(-2) = (-2)^4 - 4(-2)^2 + 3 = 16 + 16 + 3 = 35.
5. Nilai f(2) = (2)^4 - 4(2)^2 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3.
6. Jadi, fungsi f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 memenuhi syarat-syarat Teorema Rolle pada interval [-2, 2].
7. Selanjutnya, kita hitung turunan fungsi f(x): f'(x) = 4x^3 - 8x
8. Untuk mencari titik di mana turunan fungsi f(x) sama dengan nol, kita selesaikan persamaan: 4x^3 - 8x = 0 4x(x^2 - 2) = 0 x = 0, x = ±√2

Jadi, titik-titik di mana turunan fungsi f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 sama dengan nol adalah x = 0, x = -√2, dan x = √2.

Soal 3

Fungsi f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 kontinu pada interval [-1, 1]. Tentukan titik-titik di mana turunan fungsi f(x) sama dengan nol.

Pembahasan:

1. Pertama, kita harus menentukan apakah fungsi f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 memenuhi syarat-syarat Teorema Rolle pada interval [-1, 1].
2. Fungsi f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 kontinu pada interval [-1, 1].
3. Fungsi f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 juga diferensiabel pada interval terbuka (-1, 1).
4. Nilai f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = -1 - 3 - 2 - 1 = -7.
5. Nilai f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) - 1 = 1 - 3 + 2 - 1 = -1.
6. Jadi, fungsi f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 memenuhi syarat-syarat Teorema Rolle pada interval [-1, 1].
7. Selanjutnya, kita hitung turunan fungsi f(x): f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
8. Untuk mencari titik di mana turunan fungsi f(x) sama dengan nol, kita selesaikan persamaan: 3x^2 - 6x + 2 = 0 3(x^2 - 2x + 2/3) = 0 3(x - 1)(x - 2/3) = 0 x = 1, x = 2/3

Jadi, titik-titik di mana turunan fungsi f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 sama dengan nol adalah x = 1 dan x = 2/3.

Soal 4

Fungsi f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 kontinu pada interval [-2, 2]. Tentukan titik-titik di mana turunan fungsi f(x) sama dengan nol.

Pembahasan:

1. Pertama, kita harus menentukan apakah fungsi f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 memenuhi syarat-syarat Teorema Rolle pada interval [-2, 2].
2. Fungsi f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 kontinu pada interval [-2, 2].
3. Fungsi f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 juga diferensiabel pada interval terbuka (-2, 2).
4. Nilai f(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11.
5. Nilai f(2) = (2)^4 - 2(2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11.
6. Jadi, fungsi f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 memenuhi syarat-syarat Teorema Rolle pada interval [-2, 2].
7. Selanjutnya, kita hitung turunan fungsi f(x): f'(x) = 4x^3 - 4x
8. Untuk mencari titik di mana turunan fungsi f(x) sama dengan nol, kita selesaikan persamaan: 4x^3 - 4x = 0 4x(x^2 - 1) = 0 x = 0, x = ±1

Jadi, titik-titik di mana turunan fungsi f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 sama dengan nol adalah x = 0, x = -1, dan x = 1.

Soal 5

Fungsi f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 kontinu pada interval [-2, 2]. Tentukan titik-titik di mana turunan fungsi f(x) sama dengan nol.

Pembahasan:

1. Pertama, kita harus menentukan apakah fungsi f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 memenuhi syarat-syarat Teorema Rolle pada interval [-2, 2].
2. Fungsi f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 kontinu pada interval [-2, 2].
3. Fungsi f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 juga diferensiabel pada interval terbuka (-2, 2).
4. Nilai f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9(-2) - 2 = -8 - 24 - 18 - 2 = -52.
5. Nilai f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9(2) - 2 = 8 - 24 + 18 - 2 = 0.
6. Jadi, fungsi f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 memenuhi syarat-syarat Teorema Rolle pada interval [-2, 2].
7. Selanjutnya, kita hitung turunan fungsi f(x): f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
8. Untuk mencari titik di mana turunan fungsi f(x) sama dengan nol, kita selesaikan persamaan: 3x^2 - 12x + 9 = 0 3(x^2 - 4x + 3) = 0 3(x - 1)(x - 3) = 0 x = 1, x = 3

Jadi, titik-titik di mana turunan fungsi f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 sama dengan nol adalah x = 1 dan x = 3

Soal 6

Diberikan fungsi $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ pada interval $[0, 1]$ Buktikan bahwa terdapat $c \in (0, 1)$ sehingga $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$

Pembahasan:

1. Kontinuitas dan Diferensiasi:

   • Fungsi $f(x)adalah\; polinomial,\; sehingga\; kontinu\; pada\; interval$$[0, 1]$ dan terdiferensialkan pada interval $(0, 1)$
     

2. Nilai di Ujung Interval:

   • $f(0)=0^3-3(0{)}^2+3(0)-1=-1$
   • $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 3(1) - 1 = 0$
     

   Karena $f(0) \neq f(1)$, fungsi ini tidak memenuhi syarat $f(a) = f(b)$. Oleh karena itu, Teorema Rolle tidak dapat diterapkan di sini.

Jawaban:

• Teorema Rolle tidak berlaku karena $f(0) \neq f(1)$
  

Soal 7

Diberikan fungsi $f(x) = x^2 - 4x + 4$ pada interval $[0, 4]$. Buktikan bahwa terdapat $c \in (0, 4)$sehingga $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$

Pembahasan:

1. Kontinuitas dan Diferensiasi:

   • Fungsi $f(x)\; adalah\; polinomial,\; sehingga\; kontinu\; pada\; interval$$[0,4]\; dan\; terdiferensialkan\; pada\; interval$$(0, 4)$
     

2. Nilai di Ujung Interval:

   • $f(0) = 0^2 - 4(0) + 4 = 4$
     
   • $f(4) = 4^2 - 4(4) + 4 = 4$
     

   Karena $f(0) = f(4)$, fungsi ini memenuhi syarat $f(a)=f(b)$

3. Turunan Pertama:

   • $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4$

4. Cari Titik Kritis:

   • $2x - 4 = 0$
     
   • $x=2$

   Titik $x=\mathrm{2\; berada\; dalam\; interval }$$(0, 4)$dan $f^{\mathrm{\prime }}(2)=0.$

Jawaban:

• Titik $c=\mathrm{2\; memenuhi }$$f'(c) = 0$
  

Soal 8

Diberikan fungsi $f(x) = \sin(x)$ pada interval $[0, \pi]$. Buktikan bahwa terdapat $c \in (0, \pi)$ sehingga $f'(c) = 0$

Pembahasan:

1. Kontinuitas dan Diferensiasi:

   • Fungsi $f(x)=\sin (x)\; kontinu\; pada\; interval$$[0, \pi]$dan terdiferensialkan pada interval $(0, \pi)$
     

2. Nilai di Ujung Interval:

   • $f(0) = \sin(0) = 0$
     
   • $f(\pi) = \sin(\pi) = 0$
     

   Karena $f(0) = f(\pi)$, fungsi ini memenuhi syarat $f(a)=f(b)$

3. Turunan Pertama:

   • $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos (x)$

4. Cari Titik Kritis:

   • $\cos(x) = 0$
     
   • $x = \frac{\pi}{2}$

   Titik $x = \frac{\pi}{2}$ berada dalam interval $(0,\pi )\; dan$$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
   

Jawaban:

• Titik $c = \frac{\pi}{2}$ memenuhi $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$

Soal 9

Diberikan fungsi $f(x) = \ln(x)$ pada interval $[1, e]$. Buktikan bahwa terdapat $c \in (1, e)$ sehingga $f'(c) = 0$.

Pembahasan:

1. Kontinuitas dan Diferensiasi:

   • Fungsi $f(x)=\ln (x)\; kontinu\; pada\; interval$$[1, e]$ dan terdiferensialkan pada interval $(1, e)$ 

2. Nilai di Ujung Interval:

   • $f(1) = \ln(1) = 0$ 
   • $f(e)=\ln (e)=\mathrm{1 }$

   Karena $f(1)\mathrm{\ne }f(e)\; ,\; fungsi\; ini\; tidak\; memenuhi\; syarat$$f(a) = f(b)$ . Oleh karena itu, Teorema Rolle tidak dapat diterapkan di sini.

Jawaban:

• Teorema Rolle tidak berlaku karena $f(1) \neq f(e)$
  

Soal 10

Diberikan fungsi $f(x)=x^3-6x^2+9$ pada interval $[0, 3]$. Buktikan bahwa terdapat $c \in (0, 3)$ sehingga $f'(c) = 0$

Pembahasan:

1. Kontinuitas dan Diferensiasi:

   • Fungsi $f(x)$ adalah polinomial, sehingga kontinu pada interval $[0, 3]$ dan terdiferensialkan pada interval $(0, 3)$
     

2. Nilai di Ujung Interval:

   • $f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) = 0$
     
   • $f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0$
     

   Karena $f(0) = f(3)$, fungsi ini memenuhi syarat $f(a)=f(b)$

3. Turunan Pertama:

   • $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x+9$

4. Cari Titik Kritis:

   • $3x^2-12x+9=0$
   • $x^2 - 4x + 3 = 0$
     
   • $(x-3)(x-1)=0$
   • $x = 1$ atau $x = 3$
     

   Titik $x = 1$ berada dalam interval $(0, 3)$dan $f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$

Jawaban:

• Titik $c = 1$ memenuhi $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$

.

Kesimpulan

Teorema Rolle merupakan salah satu teorema penting dalam kalkulus yang membantu kita menganalisis sifat-sifat fungsi pada suatu interval tertutup. Dengan memahami dan menerapkan Teorema Rolle, kita dapat menentukan titik-titik di mana turunan fungsi sama dengan nol, yang berguna dalam berbagai aplikasi kalkulus.

Melalui 10 soal matematika yang telah dibahas, Anda dapat mempraktikkan penggunaan Teorema Rolle untuk menyelesaikan masalah-masalah terkait fungsi kontinu dan diferensiabel. Pemahaman yang baik tentang Teorema Rolle akan membantu Anda mengembangkan kemampuan analitis dan pemecahan masalah dalam kalkulus.