Pembagian Polinomial Cara Horner | Matematika Lanjut Kelas 11

Pembagian Polinomial Cara Horner | Matematika Lanjut Kelas 11

Pengantar

Dalam matematika, pembagian polinomial adalah salah satu operasi dasar yang sering digunakan. Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk melakukan pembagian polinomial, salah satunya adalah metode Horner. Metode Horner merupakan teknik yang efisien dan mudah digunakan untuk membagi sebuah polinomial dengan sebuah pembagi linear.

Pada artikel ini, kita akan membahas secara rinci tentang pembagian polinomial menggunakan metode Horner. Kita akan mempelajari langkah-langkah yang terlibat dalam proses pembagian, memahami konsep dasar metode Horner, dan melihat contoh-contoh aplikasinya. Artikel ini ditujukan untuk siswa kelas 11 yang sedang mempelajari matematika lanjut, khususnya topik pembagian polinomial.

Apa Itu Metode Horner?

Metode Horner, juga dikenal sebagai aturan Horner, adalah sebuah teknik yang digunakan untuk membagi sebuah polinomial dengan sebuah pembagi linear (dalam bentuk (x - a)). Metode ini ditemukan oleh William George Horner, seorang matematikawan Inggris pada abad ke-19.

Keunggulan utama dari metode Horner adalah efisiensi dalam perhitungan. Dengan menggunakan metode ini, kita dapat melakukan pembagian polinomial dengan cepat dan akurat, tanpa harus melakukan banyak langkah-langkah rumit.

Selain itu, metode Horner juga memiliki keuntungan lain, yaitu:

1. Memudahkan dalam mencari nilai suatu polinomial pada suatu titik.
2. Dapat digunakan untuk mencari akar-akar polinomial.
3. Dapat digunakan untuk mencari sisa pembagian polinomial.

Langkah-Langkah Metode Horner

Berikut adalah langkah-langkah yang perlu dilakukan dalam menggunakan metode Horner untuk membagi sebuah polinomial:

1. Tuliskan polinomial yang akan dibagi dalam bentuk standar. Bentuk standar polinomial adalah: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$

2. Tentukan pembagi linear yang akan digunakan. Pembagi linear biasanya dalam bentuk (x - a), di mana a adalah suatu konstanta.

3. Buat tabel Horner. Tabel Horner terdiri dari dua kolom:

   • Kolom pertama berisi koefisien-koefisien polinomial awal.
   • Kolom kedua berisi hasil perhitungan menggunakan metode Horner.

4. Isi tabel Horner. Isi tabel Horner dengan langkah-langkah berikut: a. Tulis koefisien-koefisien polinomial awal pada kolom pertama. b. Pada baris pertama kolom kedua, tulis nilai a (konstanta pembagi linear). c. Untuk baris selanjutnya, hitung nilai pada kolom kedua dengan rumus: 
   $b_i=a_{i-1}+a\times b_{i-1}b\_i\; =\; a\_\{i-1\}\; +\; a\; \backslash times\; b\_\{i-1\}$
   di mana 
   $b_{i}b\_i$
   adalah nilai pada kolom kedua baris ke-i, dan 
   $a_{i-1}a\_\{i-1\}$
   adalah koefisien pada kolom pertama baris ke-i-1.

5. Interpretasi hasil. Hasil akhir dari tabel Horner memberikan informasi berikut:

   • Baris terakhir pada kolom kedua menunjukkan sisa pembagian polinomial.
   • Koefisien-koefisien pada kolom pertama (kecuali baris terakhir) menunjukkan hasil pembagian polinomial.

Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, kita dapat dengan mudah melakukan pembagian polinomial menggunakan metode Horner.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Sekarang, mari kita lihat beberapa contoh soal untuk mempraktikkan penggunaan metode Horner dalam pembagian polinomial.

Penyelesaian:

1. Tulis polinomial dalam bentuk standar: $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 4$

2. Tentukan pembagi linear: $(x - 2)$

3. Buat tabel Horner:

   Koefisien Polinomial	Hasil Perhitungan Horner
   1	2
   -3	-1
   2	3
   -1	1
   4	9

4. Isi tabel Horner:

   • Kolom pertama: Tulis koefisien-koefisien polinomial awal.
   • Baris pertama kolom kedua: Tulis nilai a = 2 (konstanta pembagi linear).
   • Baris selanjutnya kolom kedua:
     • Baris 2: 
       $b_2=-3+2\times (-1)=-5b\_2\; =\; -3\; +\; 2\; \backslash times\; (-1)\; =\; -5$
     • Baris 3: 
       $b_3=2+2\times 3=8b\_3\; =\; 2\; +\; 2\; \backslash times\; 3\; =\; 8$
     • Baris 4: 
       $b_4=-1+2\times 1=1b\_4\; =\; -1\; +\; 2\; \backslash times\; 1\; =\; 1$
     • Baris 5: 
       $b_5=4+2\times 9=22b\_5\; =\; 4\; +\; 2\; \backslash times\; 9\; =\; 22$

5. Interpretasi hasil:

   • Baris terakhir pada kolom kedua (22) adalah sisa pembagian polinomial.
   • Koefisien-koefisien pada kolom pertama (kecuali baris terakhir) adalah hasil pembagian polinomial, yaitu: 1, -1, 3, 1.

Penyelesaian:

1. Tulis polinomial dalam bentuk standar: $P(x) = x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 4x^2 + 5x - 6$

2. Tentukan pembagi linear: $(x - 1)$

3. Buat tabel Horner:

   Koefisien Polinomial	Hasil Perhitungan Horner
   1	1
   -2	-1
   3	2
   -4	-2
   5	3
   -6	-3

4. Isi tabel Horner:

   • Kolom pertama: Tulis koefisien-koefisien polinomial awal.
   • Baris pertama kolom kedua: Tulis nilai a = 1 (konstanta pembagi linear).
   • Baris selanjutnya kolom kedua:
     • Baris 2: 
       $b_2=-2+1\times (-1)=-3b\_2\; =\; -2\; +\; 1\; \backslash times\; (-1)\; =\; -3$
     • Baris 3: 
       $b_3=3+1\times 2=5b\_3\; =\; 3\; +\; 1\; \backslash times\; 2\; =\; 5$
     • Baris 4: 
       $b_4=-4+1\times (-2)=-6b\_4\; =\; -4\; +\; 1\; \backslash times\; (-2)\; =\; -6$
     • Baris 5: 
       $b_5=5+1\times 3=8b\_5\; =\; 5\; +\; 1\; \backslash times\; 3\; =\; 8$
     • Baris 6: 
       $b_6=-6+1\times (-3)=-9b\_6\; =\; -6\; +\; 1\; \backslash times\; (-3)\; =\; -9$

5. Interpretasi hasil:

   • Baris terakhir pada kolom kedua (-9) adalah sisa pembagian polinomial.
   • Koefisien-koefisien pada kolom pertama (kecuali baris terakhir) adalah hasil pembagian polinomial, yaitu: 1, -1, 2, -2, 3.

Dari kedua contoh di atas, kita dapat melihat bahwa metode Horner memang efisien dan mudah digunakan untuk melakukan pembagian polinomial dengan pembagi linear. Dengan mengikuti langkah-langkah yang telah dijelaskan, kita dapat dengan cepat menemukan hasil pembagian dan sisa pembagian polinomial.

Aplikasi Metode Horner

Selain untuk melakukan pembagian polinomial, metode Horner juga memiliki beberapa aplikasi lain dalam matematika, antara lain:

1. Menghitung Nilai Polinomial pada Suatu Titik Metode Horner dapat digunakan untuk menghitung nilai suatu polinomial pada suatu titik dengan efisien. Hal ini berguna dalam berbagai aplikasi, seperti analisis grafik, pemodelan matematika, dan sebagainya.

2. Mencari Akar-Akar Polinomial Metode Horner dapat digunakan untuk mencari akar-akar polinomial dengan cara mencari nilai-nilai x yang membuat polinomial bernilai nol. Ini berguna dalam berbagai masalah matematika dan ilmu pengetahuan lainnya.

3. Mencari Sisa Pembagian Polinomial Seperti yang telah kita lihat dalam contoh sebelumnya, metode Horner dapat digunakan untuk mencari sisa pembagian polinomial dengan suatu pembagi linear. Informasi ini berguna dalam berbagai aplikasi, seperti analisis polinomial dan pemodelan matematika.

4. Optimasi Komputasi Metode Horner merupakan algoritma yang efisien secara komputasi, karena hanya memerlukan sejumlah kecil operasi aritmatika untuk melakukan pembagian polinomial. Hal ini membuatnya menjadi pilihan yang populer dalam implementasi perangkat lunak dan komputasi numerik.

Dengan memahami aplikasi-aplikasi metode Horner, kita dapat melihat betapa pentingnya teknik ini dalam berbagai bidang matematika dan ilmu pengetahuan lainnya. Penguasaan metode Horner dapat memberikan keuntungan yang signifikan dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang melibatkan polinomial.

Pembagian Polinomial: Cara Horner dan Metode Lainnya

Pembagian polinomial adalah teknik untuk membagi satu polinomial dengan polinomial lainnya, menghasilkan sebuah polinomial hasil bagi dan sisa. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk melakukan pembagian polinomial, termasuk Metode Horner dan pembagian polinomial biasa (long division).

1. Pembagian Polinomial Biasa (Long Division)

Metode ini mirip dengan pembagian panjang dalam aritmetika. Mari kita lihat langkah-langkahnya dengan contoh:

Contoh: Bagilah $2x^3+3x^2+4x+\mathrm{5 \; dengan }$$x + 1$ 

Langkah-langkah:

1. Tuliskan Pembagian:

   $$\frac{2x^3 + 3x^2 + 4x + 5}{x + 1}$$

2. Bagian Terdepan: Bagilah suku terdepan dari pembilang ($2x^3$) dengan suku terdepan dari penyebut ($\mathrm{x\; ):}$

   $$\frac{2x^3}{x} = 2x^2$$ 

3. Kalikan dan Kurangi: Kalikan $2x^{\mathrm{2 \; dengan }}$$x+\mathrm{1 \; dan\; kurangi\; dari\; polinomial\; asli:}$

   $$2x^3 + 3x^2 + 4x + 5 - (2x^3 + 2x^2) = x^2 + 4x + 5$$ 

4. Ulangi: Bagilah $x^2$  dengan $x$ dan ulangi prosesnya:

   $$\frac{x^2}{x} = x$$ 
   

   Kalikan $\mathrm{x \; dengan }$$x + 1$ dan kurangi:

   $$x^2 + 4x + 5 - (x^2 + x) = 3x + 5$$ 
   

   Bagilah $3x$  dengan $\mathrm{x }$

   $$\frac{3x}{x} = 3$$ 
   

   Kalikan $3$ dengan $x + 1$ dan kurangi:

   $$3x + 5 - (3x + 3) = 2$$ 

5. Hasil: Hasil bagi adalah $2x^2 + x + 3$  dan sisa adalah $2$ .

   Jadi:

   $$\frac{2x^3 + 3x^2 + 4x + 5}{x + 1} = 2x^2 + x + 3 + \frac{2}{x+1}$$

2. Metode Horner

Metode Horner adalah teknik efisien untuk mengevaluasi polinomial dan juga dapat digunakan untuk pembagian polinomial dengan bentuk $x - c$.

Contoh: Bagilah $2x^3+3x^2+4x+\mathrm{5 \; dengan }$$x-\mathrm{1 }$

Langkah-langkah:

1. Setup Horner: Atur koefisien dari polinomial dalam urutan menurun dan letakkan nilai $c$ dari $x-\mathrm{c \; di\; sebelah\; kiri\; (dalam\; hal\; ini }$$c = 1$ ):

   $$\begin{array}{c|cccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \end{array}$$

2. Proses Horner:

   • Bawa turun koefisien terdepan (2).
   • Kalikan 2 dengan 1 (nilai $c$) dan tambahkan ke koefisien berikutnya (3), hasilnya 5.
   • Ulangi proses ini untuk semua koefisien: $$\begin{array}{c|cccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline & & 2 & 5 & 9 & 14 \\ \end{array}$$

3. Hasil: Koefisien hasil bagi adalah $2, 5, 9$ dan sisa adalah 14. Maka hasilnya adalah:

   $$2x^2 + 5x + 9 + \frac{14}{x - 1}$$

3. Metode Sisa (Remainder Theorem)

Metode ini digunakan untuk menemukan sisa pembagian polinomial $f(x)$ oleh $x - c$ tanpa melakukan pembagian panjang penuh.

Teorema Sisa: Jika polinomial $f(x)$  dibagi oleh $x - c$ , maka sisanya adalah $f(c)$ .

Contoh: Temukan sisa dari $2x^3+3x^2+4x+\mathrm{5 \; ketika\; dibagi\; dengan }$$x - 1$ .

1. Evaluasi Polinomial:

   $$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 + 4(1) + 5 = 2 + 3 + 4 + 5 = 14$$ 

2. Hasil: Sisa pembagian adalah 14.

Kesimpulan

• Pembagian Polinomial Biasa: Metode langsung untuk membagi dua polinomial, mirip dengan pembagian panjang dalam aritmetika.
• Metode Horner: Efisien untuk mengevaluasi polinomial dan pembagian oleh $x - c$.
• Teorema Sisa: Alat cepat untuk menemukan sisa pembagian polinomial oleh $x - c$.

Masing-masing metode ini memiliki keunggulan tersendiri dan dapat digunakan sesuai kebutuhan masalah yang dihadapi.

CONTOH SOAL

Contoh 1

Soal: Bagilah $3x^3 + 5x^2 - 6x + 2$  dengan $x - 2$  menggunakan Cara Horner.

Pembahasan dan Jawaban:

1. Tuliskan koefisien polinomial: $[3,5,-6,2]$

2. Nilai $c$  dari $x - c$  adalah 2.

   $$\begin{array}{c|cccc} 2 & 3 & 5 & -6 & 2 \\ \hline & & 6 & 22 & 32 \\ \end{array}$$

3. Langkah-langkah:

   • Bawa turun koefisien terdepan (3).
   • Kalikan 3 dengan 2, tambahkan ke koefisien berikutnya: $3 \cdot 2 + 5 = 11$ 
   • Kalikan 11 dengan 2, tambahkan ke koefisien berikutnya: $11 \cdot 2 - 6 = 16$ 
   • Kalikan 16 dengan 2, tambahkan ke koefisien berikutnya: $16 \cdot 2 + 2 = 34$
   $$\begin{array}{c|cccc} 2 & 3 & 5 & -6 & 2 \\ \hline & & 3 & 11 & 16 & 34 \\ \end{array}$$

4. Hasil bagi: $3x^2 + 11x + 16$
   

5. Sisa: 34

   Jadi, $\frac{3x^3+5x^2-6x+2}{x-2}=3x^2+11x+16+\frac{34}{x-\mathrm{2 }}$

Contoh 2

Soal: Bagilah $x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5$ dengan $x+\mathrm{1\; menggunakan\; Cara\; Horner.}$

Pembahasan dan Jawaban:

1. Tuliskan koefisien polinomial: $[1,-3,2,-1,5]$

2. Nilai $c$ dari $x-(-1)\; adalah\; -1.$

   $$\begin{array}{c|ccccc} -1 & 1 & -3 & 2 & -1 & 5 \\ \hline & 1 & -4 & 6 & -7 & 12 \\ \end{array}$$

3. Langkah-langkah:

   • Bawa turun koefisien terdepan (1).
   • Kalikan 1 dengan -1, tambahkan ke koefisien berikutnya: $1 \cdot -1 - 3 = -4$ 
   • Kalikan -4 dengan -1, tambahkan ke koefisien berikutnya: $-4\cdot -1+2=\mathrm{6 }$
   • Kalikan 6 dengan -1, tambahkan ke koefisien berikutnya: $6\cdot -1-1=-\mathrm{7 }$
   • Kalikan -7 dengan -1, tambahkan ke koefisien berikutnya: $-7 \cdot -1 + 5 = 12$ 
   $$\begin{array}{c|ccccc} -1 & 1 & -3 & 2 & -1 & 5 \\ \hline & & 1 & -4 & 6 & -7 & 12 \\ \end{array}$$

4. Hasil bagi: $x^3 - 4x^2 + 6x - 7$ 

5. Sisa: 12

   Jadi, $\frac{x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5}{x + 1} = x^3 - 4x^2 + 6x - 7 + \frac{12}{x+1}$

Contoh 3

Soal: Bagilah $2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - x + 7$  dengan $x - 3$  menggunakan Cara Horner.

Pembahasan dan Jawaban:

1. Tuliskan koefisien polinomial: $[2, -5, 3, -1, 7]$ 

2. Nilai $c$ dari $x - c$  adalah 3.

   $$\begin{array}{c|ccccc} 3 & 2 & -5 & 3 & -1 & 7 \\ \hline & 2 & 1 & 6 & 17 & 58 \\ \end{array}$$

3. Langkah-langkah:

   • Bawa turun koefisien terdepan (2).
   • Kalikan 2 dengan 3, tambahkan ke koefisien berikutnya: $2 \cdot 3 - 5 = 1$
   • Kalikan 1 dengan 3, tambahkan ke koefisien berikutnya: $1 \cdot 3 + 3 = 6$
   • Kalikan 6 dengan 3, tambahkan ke koefisien berikutnya: $6 \cdot 3 - 1 = 17$
   • Kalikan 17 dengan 3, tambahkan ke koefisien berikutnya: $17 \cdot 3 + 7 = 58$
   $$\begin{array}{c|ccccc} 3 & 2 & -5 & 3 & -1 & 7 \\ \hline & & 2 & 1 & 6 & 17 & 58 \\ \end{array}$$

4.  Hasil bagi: $2x^3 + x^2 + 6x + 17$ 

5. Sisa: 58

   Jadi, $\frac{2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - x + 7}{x - 3} = 2x^3 + x^2 + 6x + 17 + \frac{58}{x-3}$

Contoh 4

Soal: Bagilah $x^3-4x^2+x-\mathrm{6 \; dengan }$$x+\mathrm{2\; menggunakan\; Cara\; Horner.}$

Pembahasan dan Jawaban:

1. Tuliskan koefisien polinomial: $[1,-4,1,-6]$

2. Nilai $c$ dari $x-(-2)\; adalah\; -2.$

   $$\begin{array}{c|cccc} -2 & 1 & -4 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & -6 & 13 & -32 \\ \end{array}$$

3. Langkah-langkah:

   • Bawa turun koefisien terdepan (1).
   • Kalikan 1 dengan -2, tambahkan ke koefisien berikutnya: $1 \cdot -2 - 4 = -6$ 
   • Kalikan -6 dengan -2, tambahkan ke koefisien berikutnya: $-6\cdot -2+1=\mathrm{13 }$
   • Kalikan 13 dengan -2, tambahkan ke koefisien berikutnya: $13 \cdot -2 - 6 = -32$ 
   $$\begin{array}{c|cccc} -2 & 1 & -4 & 1 & -6 \\ \hline & & 1 & -6 & 13 & -32 \\ \end{array}$$

4. Hasil bagi: $x^2 - 6x + 13$ 

5. Sisa: -32

   Jadi, $\frac{x^3 - 4x^2 + x - 6}{x + 2} = x^2 - 6x + 13 + \frac{-32}{x+2}$ .

Contoh 5

Soal: Bagilah $4x^3 + 2x^2 - 3x + 8$  dengan $x - 4$  menggunakan Cara Horner.

Pembahasan dan Jawaban:

1. Tuliskan koefisien polinomial: $[4,2,-3,8]$

2. Nilai $c$ dari $x - c$ adalah 4.

   $$\begin{array}{c|cccc} 4 & 4 & 2 & -3 & 8 \\ \hline & 4 & 18 & 69 & 284 \\ \end{array}$$

3. Langkah-langkah:

   • Bawa turun koefisien terdepan (4).
   • Kalikan 4 dengan 4, tambahkan ke koefisien berikutnya: $4 \cdot 4 + 2 = 18$ 
   • Kalikan 18 dengan 4, tambahkan ke koefisien berikutnya: $18 \cdot 4 - 3 = 69$ 
   • Kalikan 69 dengan 4, tambahkan ke koefisien berikutnya: $69 \cdot 4 + 8 = 284$ 
   $$\begin{array}{c|cccc} 4 & 4 & 2 & -3 & 8 \\ \hline & & 4 & 18 & 69 & 284 \\ \end{array}$$

4. Hasil bagi: $4x^2 + 18x + 69$ 

5. Sisa: 284

   Jadi, $\frac{4x^3 + 2x^2 - 3x + 8}{x - 4} = 4x^2 + 18x + 69 + \frac{284}{x-4}$ 

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah mempelajari tentang pembagian polinomial menggunakan metode Horner. Kita telah membahas langkah-langkah dalam menerapkan metode Horner, serta melihat beberapa contoh soal dan penyelesaiannya.

Metode Horner merupakan teknik yang efisien dan mudah digunakan untuk melakukan pembagian polinomial dengan pembagi linear. Selain itu, metode ini juga memiliki aplikasi lain, seperti menghitung nilai polinomial, mencari akar-akar polinomial, dan optimasi komputasi.

Dengan memahami dan menguasai metode Horner, siswa kelas 11 yang mempelajari matematika lanjut akan memiliki alat yang powerful untuk menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan polinomial. Pemahaman yang baik tentang metode Horner akan membantu siswa untuk lebih mahir dalam matematika dan menghadapi tantangan akademik yang lebih kompleks di masa depan.