Metode Lagrange: Memaksimalkan atau Meminimalkan Fungsi dengan Kendala | Radarhot com
phone: +62 822-1002-7724
e-mail: dfn@dr.com

Metode Lagrange: Memaksimalkan atau Meminimalkan Fungsi dengan Kendala


Metode Lagrange: Memaksimalkan atau Meminimalkan Fungsi dengan Kendala



Metode Lagrange: Memaksimalkan atau Meminimalkan Fungsi dengan Kendala

Pengantar

Dalam banyak masalah optimasi, kita sering dihadapkan dengan situasi di mana kita ingin memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi tujuan, tetapi dengan adanya beberapa kendala yang harus dipenuhi. Metode Lagrange adalah salah satu teknik matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah optimasi dengan kendala.

Metode Lagrange, yang juga dikenal sebagai "Multiplier Lagrange", memungkinkan kita untuk menghubungkan kendala-kendala yang ada dengan fungsi tujuan kita melalui penggunaan multiplier Lagrange. Dengan cara ini, kita dapat menemukan titik optimum (maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan tanpa melanggar kendala-kendala yang ada.

Dalam artikel ini, kita akan membahas secara rinci tentang metode Lagrange, bagaimana cara menggunakannya, dan beberapa contoh penerapannya dalam situasi nyata.

Apa Itu Metode Lagrange?

Metode Lagrange adalah teknik matematika yang digunakan untuk memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi tujuan dengan kendala-kendala tertentu. Fungsi tujuan dapat berupa fungsi satu variabel atau fungsi banyak variabel, sedangkan kendala-kendala dapat berupa persamaan atau pertidaksamaan.

Ide dasar dari metode Lagrange adalah menggabungkan fungsi tujuan dan kendala-kendala ke dalam satu fungsi baru yang disebut "fungsi Lagrange". Fungsi Lagrange ini kemudian dapat diturunkan untuk menemukan titik optimum (maksimum atau minimum) tanpa melanggar kendala-kendala yang ada.

Langkah-langkah Metode Lagrange

Misalkan kita ingin memaksimalkan atau meminimalkan fungsi f(x,y)f(x, y) dengan kendala g(x,y)=0g(x, y) = 0. Berikut adalah langkah-langkah dalam menggunakan metode Lagrange:

  1. Tentukan fungsi Lagrangian: L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)c)\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda (g(x, y) - c) di mana λ\lambda adalah multiplikator Lagrange.

  2. Hitung turunan parsial dari Lagrangian: Lx=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0 Ly=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0 Lλ=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0

  3. Selesaikan sistem persamaan simultan yang diperoleh dari turunan parsial untuk menemukan nilai x,y,x, y, dan λ\lambda.

  4. Substitusi nilai xx dan yy yang ditemukan ke dalam fungsi f(x,y)f(x, y) untuk menentukan nilai maksimum atau minimum.

Contoh Soal

Contoh 1: Memaksimalkan Fungsi

Misalkan kita ingin memaksimalkan f(x,y)=xyf(x, y) = xy dengan kendala x2+y2=1x^2 + y^2 = 1.

Langkah 1: Tentukan fungsi Lagrangian L(x,y,λ)=xy+λ(x2+y21)\mathcal{L}(x, y, \lambda) = xy + \lambda (x^2 + y^2 - 1)

Langkah 2: Hitung turunan parsial dari Lagrangian Lx=y+2λx=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y + 2\lambda x = 0 Ly=x+2λy=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x + 2\lambda y = 0 Lλ=x2+y21=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0

Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan simultan Dari persamaan pertama: y+2λx=0    y=2λxy + 2\lambda x = 0 \implies y = -2\lambda x

Dari persamaan kedua: x+2λy=0    x=2λyx + 2\lambda y = 0 \implies x = -2\lambda y

Substitusi y=2λxy = -2\lambda x ke dalam persamaan ketiga: x2+(2λx)2=1x^2 + (-2\lambda x)^2 = 1 x2+4λ2x2=1x^2 + 4\lambda^2 x^2 = 1 x2(1+4λ2)=1x^2 (1 + 4\lambda^2) = 1 x2=11+4λ2x^2 = \frac{1}{1 + 4\lambda^2} x=±11+4λ2x = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}

Substitusi xx ke dalam y=2λxy = -2\lambda x: y=2λ(±11+4λ2)=±2λ1+4λ2y = -2\lambda \left(\pm \frac{1}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}\right) = \pm \frac{-2\lambda}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}

Karena x2+y2=1x^2 + y^2 = 1, substitusi nilai xx dan yy: (11+4λ2)2+(2λ1+4λ2)2=1\left(\frac{1}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}\right)^2 + \left(\frac{-2\lambda}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}\right)^2 = 1 11+4λ2+4λ21+4λ2=1\frac{1}{1 + 4\lambda^2} + \frac{4\lambda^2}{1 + 4\lambda^2} = 1

Ini sesuai dengan persamaan kendala.

Jadi, titik-titik yang mungkin adalah (±11+4λ2,±2λ1+4λ2)\left(\pm \frac{1}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}, \pm \frac{-2\lambda}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}\right).

Langkah 4: Tentukan nilai maksimum Substitusi nilai xx dan yy ke dalam fungsi f(x,y)f(x, y): f(11+4λ2,2λ1+4λ2)=(11+4λ2)(2λ1+4λ2)=2λ1+4λ2f\left(\frac{1}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}, \frac{-2\lambda}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}\right) \left(\frac{-2\lambda}{\sqrt{1 + 4\lambda^2}}\right) = \frac{-2\lambda}{1 + 4\lambda^2}

Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum, kita perlu melihat nilai dari λ\lambda yang akan memberikan nilai positif atau negatif maksimum. Dalam hal ini, jika λ\lambda meningkat, nilai f(x, y) menjadi lebih besar atau lebih kecil tergantung pada tanda dari λ\lambda.

Ini menyimpulkan bahwa kita bisa mendapatkan nilai maksimum dan minimum dengan menganalisis lebih lanjut nilai λ\lambda.

Langkah-Langkah Metode Lagrange

Berikut adalah langkah-langkah umum dalam menggunakan metode Lagrange untuk memecahkan masalah optimasi dengan kendala:

  1. Identifikasi Fungsi Tujuan dan Kendala-Kendala: Pertama, kita harus menentukan fungsi tujuan yang ingin dimaksimalkan atau diminimalkan, serta kendala-kendala yang harus dipenuhi.

  2. Buat Fungsi Lagrange: Selanjutnya, kita dapat membuat fungsi Lagrange dengan menambahkan kendala-kendala yang dikalikan dengan multiplier Lagrange ke dalam fungsi tujuan.

  3. Turunkan Fungsi Lagrange: Kita harus menurunkan fungsi Lagrange terhadap semua variabel yang terlibat, termasuk variabel keputusan ($x_1, x_2, ..., x_n$) dan multiplier Lagrange ($\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m$).

  4. Selesaikan Sistem Persamaan: Langkah selanjutnya adalah mencari solusi dari sistem persamaan yang diperoleh dari turunan-turunan fungsi Lagrange. Solusi ini akan memberikan nilai-nilai optimum untuk variabel keputusan dan multiplier Lagrange.

  5. Periksa Kondisi Stasioner: Setelah mendapatkan solusi, kita harus memeriksa apakah titik tersebut merupakan titik maksimum atau minimum. Ini dapat dilakukan dengan memeriksa tanda turunan kedua dari fungsi Lagrange.

  6. Interpretasi Hasil: Langkah terakhir adalah menginterpretasikan hasil yang diperoleh dan memberikan kesimpulan tentang solusi optimal yang memenuhi kendala-kendala yang ada.

Berikut ini adalah contoh penerapan metode Lagrange dalam beberapa kasus:

Contoh 1: Memaksimalkan Luas Persegi Panjang dengan Keliling Tetap

Misalkan kita ingin memaksimalkan luas AA dari persegi panjang dengan panjang xx dan lebar yy, dengan keliling tetap PP.

Langkah 1: Tentukan fungsi yang akan dimaksimalkan dan kendala

Fungsi yang akan dimaksimalkan: A=xyA = x \cdot y

Kendala: 2x+2y=P2x + 2y = P x+y=P2x + y = \frac{P}{2}

Langkah 2: Tentukan fungsi Lagrangian

L(x,y,λ)=xy+λ(P2xy)\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x \cdot y + \lambda \left( \frac{P}{2} - x - y \right)

Langkah 3: Hitung turunan parsial dari Lagrangian

Lx=yλ=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y - \lambda = 0 Ly=xλ=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x - \lambda = 0 Lλ=P2xy=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = \frac{P}{2} - x - y = 0

Langkah 4: Selesaikan sistem persamaan simultan

Dari persamaan pertama dan kedua: y=λy = \lambda x=λx = \lambda y=xy = x

Dari persamaan ketiga: P2=x+y\frac{P}{2} = x + y Karena y=xy = x: P2=2x\frac{P}{2} = 2x x=P4x = \frac{P}{4} y=P4y = \frac{P}{4}

Langkah 5: Tentukan nilai maksimum

A=xy=(P4)(P4)=P216A = x \cdot y = \left( \frac{P}{4} \right) \left( \frac{P}{4} \right) = \frac{P^2}{16}

Jadi, luas maksimum persegi panjang dengan keliling tetap PP adalah P216\frac{P^2}{16}, dan ini terjadi ketika panjang dan lebar persegi panjang sama (persegi).

Contoh 2: Memaksimalkan Laba dengan Kendala Anggaran

Misalkan kita ingin memaksimalkan laba LL yang diperoleh dari dua produk xx dan yy, dengan fungsi laba L(x,y)L(x, y) dan kendala anggaran AA.

Langkah 1: Tentukan fungsi yang akan dimaksimalkan dan kendala

Fungsi yang akan dimaksimalkan: L(x,y)=ax+byL(x, y) = ax + by

Kendala: cxx+cyy=Ac_x x + c_y y = A

Langkah 2: Tentukan fungsi Lagrangian

L(x,y,λ)=ax+by+λ(Acxxcyy)\mathcal{L}(x, y, \lambda) = ax + by + \lambda (A - c_x x - c_y y)

Langkah 3: Hitung turunan parsial dari Lagrangian

Lx=aλcx=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = a - \lambda c_x = 0 Ly=bλcy=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = b - \lambda c_y = 0 Lλ=Acxxcyy=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = A - c_x x - c_y y = 0

Langkah 4: Selesaikan sistem persamaan simultan

Dari persamaan pertama: λ=acx\lambda = \frac{a}{c_x}

Dari persamaan kedua: λ=bcy\lambda = \frac{b}{c_y}

Karena λ\lambda sama, kita dapat menuliskan: acx=bcy\frac{a}{c_x} = \frac{b}{c_y} acy=bcxa c_y = b c_x

Dari persamaan ketiga: A=cxx+cyyA = c_x x + c_y y

Dengan acy=bcxa c_y = b c_x, kita dapat mencari nilai xx dan yy yang sesuai.

Contoh 3: Meminimalkan Jarak dengan Kendala Kecepatan

Misalkan kita ingin meminimalkan jarak dd yang ditempuh oleh dua kendaraan dengan kecepatan yang berbeda v1v_1 dan v2v_2, dan kendala waktu total TT.

Langkah 1: Tentukan fungsi yang akan diminimalkan dan kendala

Fungsi yang akan diminimalkan: d=d1+d2=v1t1+v2t2d = d_1 + d_2 = v_1 t_1 + v_2 t_2

Kendala: t1+t2=Tt_1 + t_2 = T

Langkah 2: Tentukan fungsi Lagrangian

L(t1,t2,λ)=v1t1+v2t2+λ(Tt1t2)\mathcal{L}(t_1, t_2, \lambda) = v_1 t_1 + v_2 t_2 + \lambda (T - t_1 - t_2)

Langkah 3: Hitung turunan parsial dari Lagrangian

Lt1=v1λ=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t_1} = v_1 - \lambda = 0 Lt2=v2λ=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t_2} = v_2 - \lambda = 0 Lλ=Tt1t2=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = T - t_1 - t_2 = 0

Langkah 4: Selesaikan sistem persamaan simultan

Dari persamaan pertama dan kedua: λ=v1\lambda = v_1 λ=v2\lambda = v_2

Karena λ\lambda sama, kita dapat menuliskan: v1=v2v_1 = v_2

Namun, jika kecepatan v1v_1 dan v2v_2 berbeda, ini tidak mungkin. Jadi, kita harus mencari solusi lain yang memenuhi kendala t1+t2=Tt_1 + t_2 = T.

Kesimpulan

Metode Lagrange adalah alat yang sangat berguna untuk memecahkan masalah optimasi dengan kendala. Proses umumnya melibatkan:

  1. Menyusun fungsi Lagrangian yang mencakup fungsi objektif dan kendala.
  2. Menghitung turunan parsial dari fungsi Lagrangian.
  3. Menyelesaikan sistem persamaan simultan yang diperoleh dari turunan parsial.
  4. Menentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi objektif.

Kesimpulan

Metode Lagrange adalah teknik matematika yang sangat berguna dalam memecahkan masalah optimasi dengan kendala. Dengan menggunakan multiplier Lagrange, kita dapat menghubungkan kendala-kendala yang ada dengan fungsi tujuan kita, sehingga dapat menemukan titik optimum (maksimum atau minimum) tanpa melanggar kendala-kendala tersebut.

Melalui contoh-contoh yang telah dibahas, kita dapat melihat bagaimana metode Lagrange dapat diterapkan dalam berbagai situasi, seperti memaksimalkan luas persegi panjang dengan keliling tetap, memaksimalkan laba dengan kendala anggaran, dan meminimalkan jarak dengan kendala kecepatan.

Penguasaan metode Lagrange dapat sangat membantu dalam mengoptimalkan berbagai masalah di bidang ekonomi, teknik, sains, dan banyak bidang lainnya. Dengan pemahaman yang baik tentang konsep dan langkah-langkah penyelesaiannya, kita dapat menemukan solusi optimal yang memenuhi kendala-kendala yang ada.

0 Komentar: