Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar-Akarnya

Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar-Akarnya

Pendahuluan

Persamaan kuadrat adalah salah satu jenis persamaan polinomial yang banyak ditemukan dalam berbagai bidang matematika, sains, dan teknik. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum $a{x}^2+bx+c=0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$, di mana $aa$, $bb$, dan $cc$ adalah konstanta real. Salah satu cara untuk menyusun persamaan kuadrat adalah dengan mengetahui akar-akarnya terlebih dahulu.

Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya. Kita akan mempelajari langkah-langkah sistematis untuk menentukan koefisien $aa$, $bb$, dan $cc$ dari persamaan kuadrat berdasarkan informasi akar-akarnya.

Pemahaman Dasar

Sebelum kita masuk ke pembahasan utama, ada beberapa konsep dasar yang perlu dipahami terlebih dahulu:

1. Akar-akar Persamaan Kuadrat: Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai $xx$ yang memenuhi persamaan $a{x}^2+bx+c=0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$. Persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar real, satu akar real, atau tidak memiliki akar real sama sekali, tergantung pada nilai diskriminan $b^2-4acb^2\; -\; 4ac$.

2. Bentuk Faktorisasi Persamaan Kuadrat: Persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi, yaitu $a(x-r_1)(x-r_2)=0a(x\; -\; r\_1)(x\; -\; r\_2)\; =\; 0$, di mana $r_{1}r\_1$ dan $r_{2}r\_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

3. Hubungan antara Koefisien dan Akar-akar: Koefisien $aa$, $bb$, dan $cc$ dalam persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$ memiliki hubungan tertentu dengan akar-akar $r_{1}r\_1$ dan $r_{2}r\_2$, yaitu:

   • $a=1a\; =\; 1$
   • $b=-(r_1+r_2)b\; =\; -(r\_1\; +\; r\_2)$
   • $c=r_1{r}_{2}c\; =\; r\_1r\_2$

Dengan memahami konsep-konsep dasar ini, kita siap untuk mempelajari bagaimana menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akarnya.

Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar-Akarnya

Misalkan diketahui dua akar persamaan kuadrat, yaitu $r_{1}r\_1$ dan $r_{2}r\_2$. Kita ingin menyusun persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$ yang memiliki akar-akar tersebut. Berikut adalah langkah-langkah yang dapat dilakukan:

1. Tentukan Bentuk Faktorisasi Persamaan Kuadrat: Persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi sebagai $a(x-r_1)(x-r_2)=0a(x\; -\; r\_1)(x\; -\; r\_2)\; =\; 0$. Dalam bentuk ini, kita dapat melihat bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah $r_{1}r\_1$ dan $r_{2}r\_2$.

2. Tentukan Koefisien $aa$: Berdasarkan hubungan antara koefisien dan akar-akar, kita tahu bahwa $a=1a\; =\; 1$. Jadi, persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai $(x-r_1)(x-r_2)=0(x\; -\; r\_1)(x\; -\; r\_2)\; =\; 0$.

3. Tentukan Koefisien $bb$: Kita dapat menentukan koefisien $bb$ dengan menggunakan hubungan antara koefisien dan akar-akar, yaitu $b=-(r_1+r_2)b\; =\; -(r\_1\; +\; r\_2)$. Dengan mensubstitusikan nilai $r_{1}r\_1$ dan $r_{2}r\_2$, kita dapat menghitung nilai $bb$.

4. Tentukan Koefisien $cc$: Koefisien $cc$ dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan antara koefisien dan akar-akar, yaitu $c=r_1{r}_{2}c\; =\; r\_1r\_2$. Dengan mensubstitusikan nilai $r_{1}r\_1$ dan $r_{2}r\_2$, kita dapat menghitung nilai $cc$.

Setelah menentukan nilai $aa$, $bb$, dan $cc$, kita dapat menyusun persamaan kuadrat dalam bentuk $a{x}^2+bx+c=0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$.

Contoh Kasus

Ayo, kita coba menerapkan langkah-langkah di atas dengan beberapa contoh kasus.

Contoh 1

Misalkan diketahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah $r_1=2r\_1\; =\; 2$ dan $r_2=-3r\_2\; =\; -3$. Susunlah persamaan kuadrat tersebut.

Penyelesaian:

1. Bentuk faktorisasi persamaan kuadrat: $(x - 2)(x + 3) = 0$

2. Tentukan koefisien $aa$: $a = 1$

3. Tentukan koefisien $bb$: $b = -(r_1 + r_2) = -(2 + (-3)) = -(-1) = 1$

4. Tentukan koefisien $cc$: $c = r_1r_2 = 2 \times (-3) = -6$

Jadi, persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $r_1=2r\_1\; =\; 2$ dan $r_2=-3r\_2\; =\; -3$ adalah $x^2+x-6=0x^2\; +\; x\; -\; 6\; =\; 0$.

Contoh 2

Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah $r_1=3r\_1\; =\; 3$ dan $r_2=5r\_2\; =\; 5$. Susunlah persamaan kuadrat tersebut.

Penyelesaian:

1. Bentuk faktorisasi persamaan kuadrat: $(x - 3)(x - 5) = 0$

2. Tentukan koefisien $aa$: $a = 1$

3. Tentukan koefisien $bb$: $b = -(r_1 + r_2) = -(3 + 5) = -8$

4. Tentukan koefisien $cc$: $c = r_1r_2 = 3 \times 5 = 15$

Jadi, persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $r_1=3r\_1\; =\; 3$ dan $r_2=5r\_2\; =\; 5$ adalah $x^2-8x+15=0x^2\; -\; 8x\; +\; 15\; =\; 0$.

Contoh 3

Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah $r_1=1r\_1\; =\; 1$ dan $r_2=1r\_2\; =\; 1$. Susunlah persamaan kuadrat tersebut.

Penyelesaian:

1. Bentuk faktorisasi persamaan kuadrat: $(x - 1)(x - 1) = 0$

2. Tentukan koefisien $aa$: $a = 1$

3. Tentukan koefisien $bb$: $b = -(r_1 + r_2) = -(1 + 1) = -2$

4. Tentukan koefisien $cc$: $c = r_1r_2 = 1 \times 1 = 1$

Jadi, persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $r_1=1r\_1\; =\; 1$ dan $r_2=1r\_2\; =\; 1$ adalah $x^2-2x+1=0x^2\; -\; 2x\; +\; 1\; =\; 0$.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah mempelajari bagaimana menyusun persamaan kuadrat berdasarkan informasi akar-akarnya. Dengan memahami hubungan antara koefisien dan akar-akar, kita dapat menentukan nilai $aa$, $bb$, dan $cc$ dalam persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$.

Menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akarnya adalah salah satu keterampilan penting dalam matematika, yang dapat diterapkan dalam berbagai masalah dan aplikasi. Dengan menguasai teknik ini, Anda akan lebih siap untuk menghadapi berbagai tantangan matematika yang melibatkan persamaan kuadrat.

Jika Anda memiliki pertanyaan atau ingin mempraktikkan lebih banyak contoh, jangan ragu untuk menghubungi saya. Saya akan senang membantu Anda lebih memahami konsep ini dan meningkatkan kemampuan Anda dalam menyusun persamaan kuadrat.