Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat untuk Siswa Kelas 10
Pengantar
Pertidaksamaan kuadrat adalah salah satu topik penting dalam matematika kelas 10. Penguasaan konsep dan teknik penyelesaian pertidaksamaan kuadrat akan sangat membantu siswa dalam menghadapi berbagai soal dan permasalahan matematika, baik di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari.
Dalam artikel ini, kita akan membahas secara rinci bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Kita akan memulai dengan memahami definisi dan bentuk umum pertidaksamaan kuadrat, kemudian mempelajari langkah-langkah penyelesaiannya, serta melihat beberapa contoh soal dan cara mengerjakannya. Dengan mengikuti penjelasan yang terstruktur ini, diharapkan siswa kelas 10 dapat menguasai konsep dan teknik penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan baik.
Apa Itu Pertidaksamaan Kuadrat?
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang memuat variabel berpangkat dua (variabel kuadrat). Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah:
ax² + bx + c ≤ 0 atau ax² + bx + c ≥ 0
Dimana:
- a, b, dan c adalah konstanta-konstanta real (bilangan riil)
- a ≠ 0 (a harus berbeda dari nol)
Contoh pertidaksamaan kuadrat:
- 2x² - 3x + 1 ≤ 0
- 5x² + 4x - 6 ≥ 0
Pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode, antara lain:
- Faktorisasi
- Melengkapi kuadrat
- Menggunakan rumus ABC
Kita akan membahas masing-masing metode secara rinci di bawah ini.
Metode Faktorisasi
Metode faktorisasi adalah salah satu cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
- Tuliskan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk ax² + bx + c ≤ 0 atau ax² + bx + c ≥ 0.
- Faktorkan ruas kiri dari pertidaksamaan tersebut.
- Tentukan tanda-tanda pada faktor-faktor yang diperoleh.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.
Contoh: Selesaikan pertidaksamaan kuadrat: 2x² - 3x + 1 ≤ 0
Penyelesaian:
- Bentuk pertidaksamaan: 2x² - 3x + 1 ≤ 0
- Memfaktorkan ruas kiri: 2x² - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1) ≤ 0
- Menentukan tanda-tanda pada faktor-faktor: (2x - 1) ≥ 0 dan (x - 1) ≤ 0
- Menentukan himpunan penyelesaian: x ≤ 1/2 atau x ≥ 1
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x² - 3x + 1 ≤ 0 adalah x ≤ 1/2 atau x ≥ 1.
Metode Melengkapi Kuadrat
Metode melengkapi kuadrat adalah cara lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
- Tuliskan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk ax² + bx + c ≤ 0 atau ax² + bx + c ≥ 0.
- Lengkapkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna: a(x + b/2a)² + c - b²/4a.
- Bandingkan ruas kanan dengan nol (0).
- Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.
Contoh: Selesaikan pertidaksamaan kuadrat: x² - 4x + 3 ≤ 0
Penyelesaian:
- Bentuk pertidaksamaan: x² - 4x + 3 ≤ 0
- Melengkapi kuadrat: x² - 4x + 3 = x² - 4x + 4 - 1 ≤ 0 (x - 2)² - 1 ≤ 0
- Membandingkan dengan nol: (x - 2)² ≤ 1
- Menentukan himpunan penyelesaian: -1 ≤ x - 2 ≤ 1 0 ≤ x ≤ 4
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² - 4x + 3 ≤ 0 adalah 0 ≤ x ≤ 4.
Metode Rumus ABC
Metode rumus ABC adalah cara lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
- Tuliskan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk ax² + bx + c ≤ 0 atau ax² + bx + c ≥ 0.
- Hitung nilai diskriminan D = b² - 4ac.
- Tentukan tanda diskriminan D.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.
Contoh: Selesaikan pertidaksamaan kuadrat: 3x² + 2x - 1 ≥ 0
Penyelesaian:
- Bentuk pertidaksamaan: 3x² + 2x - 1 ≥ 0
- Menghitung diskriminan: D = b² - 4ac D = 2² - 4(3)(-1) D = 4 + 12 D = 16
- Tanda diskriminan D = 16 > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real.
- Menentukan himpunan penyelesaian: x = (-b ± √D) / 2a x = (-2 ± √16) / 6 x = (-2 ± 4) / 6 x = 2/6 atau -6/6 x = 1/3 atau -1
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x² + 2x - 1 ≥ 0 adalah x ≤ -1/3 atau x ≥ 1/3.
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut ini beberapa contoh soal pertidaksamaan kuadrat beserta pembahasannya:
- Selesaikan pertidaksamaan kuadrat: 2x² - 3x + 1 ≥ 0
Penyelesaian: a. Tuliskan pertidaksamaan dalam bentuk ax² + bx + c ≥ 0: 2x² - 3x + 1 ≥ 0 b. Faktorkan ruas kiri: 2x² - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1) ≥ 0 c. Tentukan tanda-tanda pada faktor-faktor: (2x - 1) ≥ 0 dan (x - 1) ≥ 0 d. Tentukan himpunan penyelesaian: x ≥ 1/2 dan x ≥ 1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x ≥ 1.
- Selesaikan pertidaksamaan kuadrat: 3x² - 5x + 2 < 0
Penyelesaian: a. Tuliskan pertidaksamaan dalam bentuk ax² + bx + c < 0: 3x² - 5x + 2 < 0 b. Hitung diskriminan D = b² - 4ac: D = (-5)² - 4(3)(2) D = 25 - 24 D = 1 c. Tanda diskriminan D = 1 > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real. d. Tentukan himpunan penyelesaian: x = (-b ± √D) / 2a x = (-(-5) ± √1) / 2(3) x = (5 ± 1) / 6 x = 6/6 atau 4/6 x = 1 atau 2/3 e. Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x² - 5x + 2 < 0 adalah 2/3 < x < 1.
- Selesaikan pertidaksamaan kuadrat: x² - 6x + 9 ≤ 0
Penyelesaian: a. Tuliskan pertidaksamaan dalam bentuk ax² + bx + c ≤ 0: x² - 6x + 9 ≤ 0 b. Lengkapkan kuadrat ruas kiri: x² - 6x + 9 = (x - 3)² ≤ 0 c. Bandingkan ruas kanan dengan nol: (x - 3)² ≤ 0 d. Tentukan himpunan penyelesaian: x - 3 = 0 x = 3 Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² - 6x + 9 ≤ 0 adalah x = 3.
Contoh-contoh di atas menunjukkan bagaimana menyelesaikan berbagai bentuk pertidaksamaan kuadrat menggunakan metode faktorisasi, melengkapi kuadrat, dan rumus ABC. Dengan memahami konsep dan langkah-langkah penyelesaiannya, siswa kelas 10 diharapkan dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai soal pertidaksamaan kuadrat yang diberikan.
Kesimpulan
Pertidaksamaan kuadrat merupakan salah satu topik penting dalam matematika kelas 10. Pemahaman yang baik tentang konsep dan teknik penyelesaiannya akan sangat membantu siswa dalam menghadapi berbagai permasalahan matematika.
Dalam artikel ini, kita telah mempelajari definisi dan bentuk umum pertidaksamaan kuadrat, serta tiga metode utama untuk menyelesaikannya, yaitu:
- Metode Faktorisasi
- Metode Melengkapi Kuadrat
- Metode Rumus ABC
Melalui contoh-contoh soal dan pembahasan yang rinci, diharapkan siswa kelas 10 dapat memahami konsep pertidaksamaan kuadrat dan mampu menerapkan teknik penyelesaiannya dengan baik. Penguasaan materi ini akan sangat berguna bagi siswa dalam mengerjakan soal-soal matematika di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari.
Jika masih ada hal-hal yang belum jelas, jangan ragu untuk bertanya atau mencari referensi tambahan. Semoga artikel ini bermanfaat bagi Anda!