Menghitung Volume Benda Putar Menggunakan Kalkulus

 

Menghitung Volume Benda Putar Menggunakan Kalkulus


Menghitung Volume Benda Putar Menggunakan Kalkulus

Pengantar

Kalkulus adalah cabang matematika yang mempelajari tentang perubahan dan gerakan. Salah satu aplikasi penting dari kalkulus adalah menghitung volume benda putar. Benda putar adalah suatu bentuk tiga dimensi yang terbentuk ketika suatu kurva dua dimensi diputar mengelilingi suatu garis lurus tertentu.

Menghitung volume benda putar menggunakan kalkulus melibatkan integral. Dalam artikel ini, kita akan membahas 10 soal kalkulus tentang volume benda putar beserta pembahasan dan jawaban lengkapnya.

Menghitung Volume Benda Putar Menggunakan Kalkulus

Volume benda putar dapat dihitung dengan menggunakan metode kalkulus, khususnya integral. Berikut adalah lima soal terkait perhitungan volume benda putar, beserta pembahasan dan jawabannya.


Soal 1

Hitung volume benda yang dihasilkan oleh putaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2y = x^2 dan y=0y = 0  di sekitar sumbu-x dari x=0x = 0  hingga x=

Pembahasan: Kita menggunakan metode cakram (disk method) untuk menghitung volume ini.

Volume VV  dari benda putar adalah: V=πab[R(x)]2dxV = \pi \int_{a}^{b} [R(x)]^2 \, dx 

Di sini, R(x)=y=x2R(x) = y = x^2 .

 V=π01(x2)2dxV = \pi \int_{0}^{1} (x^2)^2 \, dxV=π01x4dxV = \pi \int_{0}^{1} x^4 \, dx
 V=π[x55]01V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} V=π(150)V = \pi \left( \frac{1}{5} - 0 \right)
 V=π5V = \frac{\pi}{5}

Jawaban: Volume benda putar tersebut adalah π5\frac{\pi}{5} satuan kubik.


Soal 2

Hitung volume benda yang dihasilkan oleh putaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=xy = \sqrt{x} dan y=0y = 0 di sekitar sumbu-x dari x=0x = 0  hingga x=4x = 4 .

Pembahasan: Kita menggunakan metode cakram.

V=π04(x)2dxV = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx 
 V=π04xdxV = \pi \int_{0}^{4} x \, dx
V=π[x22]04V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} V=π(4220)V = \pi \left( \frac{4^2}{2} - 0 \right)
V=π(162)V = \pi \left( \frac{16}{2} \right)
V=8π
V = 8\pi

Jawaban: Volume benda putar tersebut adalah 8π8\pi  satuan kubik.


Soal 3

Hitung volume benda yang dihasilkan oleh putaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=xy = x dan y=x3y = x^3 di sekitar sumbu-y dari x=0x = 0  hingga x=1x = 1 

Pembahasan: Kita menggunakan metode kulit silinder (shell method).

Volume VV  dari benda putar adalah: V=2πabxh(x)dxV = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot h(x) \, dx 

Di sini, h(x)=xx3h(x) = x - x^3 

V=2π01x(xx3)dxV = 2\pi \int_{0}^{1} x (x - x^3) \, dx V=2π01(x2x4)dxV = 2\pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) \, dx
V=2π[x33x55]01V = 2\pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} V=2π(1315)V = 2\pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) V=2π(5315)V = 2\pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right)
V=2π(215)V = 2\pi \left( \frac{2}{15} \right)
V=4π15V = \frac{4\pi}{15}

Jawaban: Volume benda putar tersebut adalah 4π15\frac{4\pi}{15}  satuan kubik.


Soal 4

Hitung volume benda yang dihasilkan oleh putaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=exy = e^x  dan y=0y = 0 di sekitar sumbu-x dari x=0x = 0 hingga x=1x = 1 

Pembahasan: Kita menggunakan metode cakram.

V=π01(ex)2dxV = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 \, dx
V=π01e2xdxV = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx
V=π[e2x2]01V = \pi \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{1} V=π(e2212)V = \pi \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right)
V=π2(e21)V = \frac{\pi}{2} (e^2 - 1)

Jawaban: Volume benda putar tersebut adalah π2(e21)\frac{\pi}{2} (e^2 - 1)  satuan kubik.


Soal 5

Hitung volume benda yang dihasilkan oleh putaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=sinx  dan y=0y = 0  di sekitar sumbu-x dari x=0  hingga x=πx = \pi .

Pembahasan: Kita menggunakan metode cakram.

V=π0π(sinx)2dxV = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 \, dx 

Gunakan identitas trigonometri (sinx)2=1cos(2x)2(\sin x)^2 = \frac{1 - \cos(2x)}{2} .

V=π0π1cos(2x)2dxV = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx
V=π20π(1cos(2x))dxV = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2x)) \, dx
V=π2[xsin(2x)2]0πV = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi} V=π2(π0)V = \frac{\pi}{2} \left( \pi - 0 \right)
V=π22V = \frac{\pi^2}{2}

Jawaban: Volume benda putar tersebut adalah π22\frac{\pi^2}{2}  satuan kubik.


Soal 6

Hitung volume benda yang dihasilkan oleh putaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=cosxy = \cos x  dan y=0 di sekitar sumbu-x dari x=0x = 0 hingga x=π2x = \frac{\pi}{2}.

Pembahasan: Kita menggunakan metode cakram.

V=π0π2(cosx)2d

Gunakan identitas trigonometri (cosx)2=1+cos(2x)2(\cos x)^2 = \frac{1 + \cos(2x)}{2} 

V=π0π21+cos(2x)2dxV = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx
V=π20π2(1+cos(2x))dxV = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2x)) \, dx
V=π2[x+sin(2x)2]0π2V = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} V=π2(π2+00)V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right)
V=π24V = \frac{\pi^2}{4}

Jawaban: Volume benda putar tersebut adalah π24\frac{\pi^2}{4}  satuan kubik.


Soal 7

Hitung volume benda yang dihasilkan oleh putaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=ln(x+1)y = \ln(x+1)  dan y=0y = 0 di sekitar sumbu-x dari x=0x = 0 hingga x=1x = 1 

Pembahasan

Volume VV  dari benda putar adalah: V=π01(ln(x+1))2dxV = \pi \int_{0}^{1} (\ln(x+1))^2 \, dx 

Untuk menyelesaikan integral ini, kita perlu menggunakan integrasi parsial. Mari kita mulai dengan mendefinisikan substitusi yang akan digunakan dalam integrasi parsial.

Misalkan: u=(ln(x+1))2u = (\ln(x+1))^2
dv=d

Kemudian, turunan dari uu adalah: du=2ln(x+1)1x+1dx=2ln(x+1)x+1d

Dan, integral dari dvdv adalah: v=

Dengan menggunakan rumus integrasi parsial udv=uvvdu\int u \, dv = uv - \int v \, du, kita peroleh: (ln(x+1))2dx=x(ln(x+1))2x2ln(x+1)x+1d

Selanjutnya, kita perlu menyederhanakan integral yang tersisa: x2ln(x+1)x+1dx=2ln(x+1)dx\int x \cdot \frac{2 \ln(x+1)}{x+1} \, dx = 2 \int \ln(x+1) \, dx 

Kita dapat menyelesaikan integral ini dengan menggunakan integrasi parsial lagi. Misalkan: u=ln(x+1)u = \ln(x+1)  dv=dxdv = dx 

Kemudian, turunan dari uu adalah: du=1x+1dxdu = \frac{1}{x+1} \, dx 

Dan, integral dari dvdv adalah: v=xv = x

Menggunakan rumus integrasi parsial lagi:
  ln(x+1)dx=xln(x+1)x1x+1dx\int \ln(x+1) \, dx = x \ln(x+1) - \int x \cdot \frac{1}{x+1} \, dx
x1x+1dx=11x+1dx=xln(x+1

Sehingga:
  ln(x+1)dx=xln(x+1)(xln(x+1))=xln(x+1)x+ln(x+1)\int \ln(x+1) \, dx = x \ln(x+1) - (x - \ln(x+1)) = x \ln(x+1) - x + \ln(x+1)
ln(x+1)dx=(x+1)ln(x+1)x

Dengan ini, kita dapat menyelesaikan integral yang lebih besar: (ln(x+1))2dx=x(ln(x+1))22[(x+1)ln(x+1)x]\int (\ln(x+1))^2 \, dx = x (\ln(x+1))^2 - 2 \left[ (x+1) \ln(x+1) - x \right] 

Evaluasi batas-batas dari 00  hingga 11 :
  V=π[x(ln(x+1))22((x+1)ln(x+1)x)]01V = \pi \left[ x (\ln(x+1))^2 - 2((x+1) \ln(x+1) - x) \right]_{0}^{1}

Evaluasi batasnya:
  V=π[1(ln(2))22((2)ln(2)1)(0(ln(1))22(1ln(1)0))]V = \pi \left[ 1 \cdot (\ln(2))^2 - 2 \left( (2) \ln(2) - 1 \right) - \left( 0 \cdot (\ln(1))^2 - 2(1 \cdot \ln(1) - 0) \right) \right]
V=π[(ln(2))22(2ln(2)1)]V = \pi \left[ (\ln(2))^2 - 2 \left( 2\ln(2) - 1 \right) \right]
V=π[(ln(2))24ln(2)+2]V = \pi \left[ (\ln(2))^2 - 4\ln(2) + 2 \right] 

Dengan demikian, volume benda putar tersebut adalah:
  V=π[(ln(2))24ln(2)+2]V = \pi \left[ (\ln(2))^2 - 4\ln(2) + 2 \right] 

Jawaban: Volume benda putar tersebut adalah π[(ln(2))24ln(2)+2]\pi \left[ (\ln(2))^2 - 4\ln(2) + 2 \right] satuan kubik.


Soal 8

Hitung volume benda yang dihasilkan oleh putaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=1x+1y = \frac{1}{x+1} dan y=0y = 0  di sekitar sumbu-x dari x=0x = 0 hingga x=1x = 1 

Pembahasan: Kita menggunakan metode cakram.

V=π01(1x+1)2dxV = \pi \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 \, dx
V=π011(x+1)2dxV = \pi \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)^2} \, dx 

Gunakan substitusi u=x+1u = x + 1 , sehingga du=dxdu = dx 

V=π121u2duV = \pi \int_{1}^{2} \frac{1}{u^2} \, du
V=π[1u]12V = \pi \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{2} V=π(12+1)V = \pi \left( -\frac{1}{2} + 1 \right)
V=π(12)V = \pi \left( \frac{1}{2} \right)
V=π2V = \frac{\pi}{2}

Jawaban: Volume benda putar tersebut adalah π2\frac{\pi}{2} satuan kubik.


Soal 9

Hitung volume benda yang dihasilkan oleh putaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=tanxy = \tan x  dan y=0y = 0 di sekitar sumbu-x dari x=0x = 0  hingga x=π4x = \frac{\pi}{4} 

Pembahasan: Kita menggunakan metode cakram.

V=π0π4(tanx)2dxV = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x)^2 \, dx 

Gunakan identitas trigonometri (tanx)2=sec2x1(\tan x)^2 = \sec^2 x - 1 

V=π0π4(sec2x1)dxV = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1) \, dx
V=π[tanxx]0π4V = \pi \left[ \tan x - x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} V=π(tanπ4π4(00))V = \pi \left( \tan \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} - (0 - 0) \right)
V=π(1π4)V = \pi \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) 

Jawaban: Volume benda putar tersebut adalah π(1π4)\pi \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right)  satuan kubik.


Soal 10

Hitung volume benda yang dihasilkan oleh putaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2+1y = x^2 + 1  dan y=0y = 0  di sekitar sumbu-y dari y=1  hingga y=

Pembahasan: Kita menggunakan metode kulit silinder (shell method).

Volume VV  dari benda putar adalah: V=2πabxh(x)dxV = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot h(x) \, dx 

Di sini, kita perlu mengubah batas integral sesuai yy. Dari y=x2+1y = x^2 + 1, maka x=y1x = \sqrt{y-1}.

V=2π15y1(10)dyV = 2\pi \int_{1}^{5} \sqrt{y-1} (1 - 0) \, dy V=2π15y1d

Gunakan substitusi u=y1u = y - 1 , sehingga du=dy .

V=2π04uduV = 2\pi \int_{0}^{4} \sqrt{u} \, du 
 V=2π[23u3/2]04V = 2\pi \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{4} V=2π(23(4)3/2)V = 2\pi \left( \frac{2}{3} (4)^{3/2} \right)
V=2π(238)V = 2\pi \left( \frac{2}{3} \cdot 8 \right)
V=2π(163)V = 2\pi \left( \frac{16}{3} \right)
V=32π3V = \frac{32\pi}{3}

Jawaban: Volume benda putar tersebut adalah 32π3\frac{32\pi}{3} satuan kubik.



Dengan demikian, kita telah membahas lima soal tentang menghitung volume benda putar menggunakan metode kalkulus. Semoga bermanfaat!

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas 10 soal kalkulus tentang volume benda putar. Kita telah mempelajari cara menghitung volume benda putar menggunakan integral, baik dengan memutarkan kurva di sekitar sumbu x maupun sumbu y. Semoga pembahasan di atas dapat membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik. Jika Anda masih memiliki pertanyaan, jangan ragu untuk menanyakannya.





Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt.

Disqus Comments