Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat Yang Melalui 3 Titik

Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat Yang Melalui 3 Titik

Pengantar

Fungsi kuadrat adalah salah satu jenis fungsi matematika yang sering digunakan dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, dan ekonomi. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y = ax^2 + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta yang menentukan karakteristik kurva parabola yang dihasilkan.

Menentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik tertentu merupakan salah satu masalah yang sering muncul dalam matematika. Hal ini dapat digunakan untuk memprediksi nilai-nilai yang belum diketahui atau untuk menggambarkan fenomena yang mengikuti pola kuadratik.

Dalam artikel ini, kita akan membahas langkah-langkah untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik yang diberikan. Kita akan menggunakan metode sistem persamaan linier untuk menyelesaikannya.

Langkah-Langkah Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat Melalui 3 Titik

Berikut adalah langkah-langkah yang dapat diikuti untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik:

1. Identifikasi Titik-Titik yang Diberikan

   • Misalkan tiga titik yang diberikan adalah (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3).

2. Bentuk Sistem Persamaan Linier

   • Berdasarkan bentuk umum fungsi kuadrat y = ax^2 + bx + c, kita dapat membentuk tiga persamaan linier dengan menggunakan tiga titik yang diberikan:
     • y1 = ax1^2 + bx1 + c
     • y2 = ax2^2 + bx2 + c
     • y3 = ax3^2 + bx3 + c

3. Selesaikan Sistem Persamaan Linier

   • Untuk menentukan nilai a, b, dan c, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
   • Misalkan kita menggunakan metode eliminasi, maka kita dapat mengeliminasi variabel c terlebih dahulu dengan mengurangi persamaan kedua dan ketiga dari persamaan pertama:
     • (y1 - y2) = a(x1^2 - x2^2) + b(x1 - x2)
     • (y1 - y3) = a(x1^2 - x3^2) + b(x1 - x3)
   • Selanjutnya, kita dapat mengeliminasi variabel a dengan mengalikan persamaan pertama dengan (x1 - x3) dan persamaan kedua dengan (x1 - x2), lalu mengurangkannya:
     • (x1 - x3)(y1 - y2) - (x1 - x2)(y1 - y3) = ab(x1 - x2)(x1 - x3)
   • Dari persamaan di atas, kita dapat menentukan nilai b:
     • b = [(x1 - x3)(y1 - y2) - (x1 - x2)(y1 - y3)] / [(x1 - x2)(x1 - x3)]
   • Setelah mendapatkan nilai b, kita dapat mensubstitusikannya ke salah satu persamaan awal untuk menentukan nilai a:
     • y1 = ax1^2 + bx1 + c
     • a = (y1 - bx1 - c) / x1^2
   • Terakhir, kita dapat menentukan nilai c dengan mensubstitusikan nilai a dan b ke salah satu persamaan awal:
     • y1 = ax1^2 + bx1 + c
     • c = y1 - ax1^2 - bx1

4. Tulis Persamaan Fungsi Kuadrat

   • Setelah mendapatkan nilai a, b, dan c, kita dapat menulis persamaan fungsi kuadrat dalam bentuk y = ax^2 + bx + c.

Contoh Soal

Diberikan tiga titik: (1, 2), (2, 5), dan (3, 10). Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui ketiga titik tersebut.

Penyelesaian:

1. Identifikasi Titik-Titik yang Diberikan

   • (x1, y1) = (1, 2)
   • (x2, y2) = (2, 5)
   • (x3, y3) = (3, 10)

2. Bentuk Sistem Persamaan Linier

   • y1 = ax1^2 + bx1 + c
   • y2 = ax2^2 + bx2 + c
   • y3 = ax3^2 + bx3 + c
   • 2 = a(1)^2 + b(1) + c
   • 5 = a(2)^2 + b(2) + c
   • 10 = a(3)^2 + b(3) + c

3. Selesaikan Sistem Persamaan Linier

   • Mengeliminasi variabel c:
     • (y1 - y2) = a(x1^2 - x2^2) + b(x1 - x2)
     • (y1 - y3) = a(x1^2 - x3^2) + b(x1 - x3)
     • (2 - 5) = a(1^2 - 2^2) + b(1 - 2)
     • (2 - 10) = a(1^2 - 3^2) + b(1 - 3)
     • -3 = -3a - b
     • -8 = -8a - 2b
   • Mengeliminasi variabel a:
     • (x1 - x3)(y1 - y2) - (x1 - x2)(y1 - y3) = ab(x1 - x2)(x1 - x3)
     • (1 - 3)(-3) - (1 - 2)(-8) = ab(1 - 2)(1 - 3)
     • -6 + 8 = -2ab
     • 2 = -2ab
     • b = -1/a
   • Menentukan nilai a:
     • y1 = ax1^2 + bx1 + c
     • 2 = a(1)^2 + (-1/a)(1) + c
     • 2 = a + (-1) + c
     • c = 1
     • a = (y1 - bx1 - c) / x1^2
     • a = (2 - (-1)(1) - 1) / 1^2
     • a = 2

4. Tulis Persamaan Fungsi Kuadrat

   • y = ax^2 + bx + c
   • y = 2x^2 - x + 1

Jadi, persamaan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik (1, 2), (2, 5), dan (3, 10) adalah y = 2x^2 - x + 1.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah mempelajari langkah-langkah untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik yang diberikan. Dengan menggunakan metode sistem persamaan linier, kita dapat menentukan nilai-nilai konstanta a, b, dan c yang akan membentuk persamaan fungsi kuadrat y = ax^2 + bx + c.

Kemampuan untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat melalui titik-titik tertentu sangat berguna dalam berbagai aplikasi, seperti pemodelan data, prediksi, dan analisis tren. Dengan memahami konsep ini, Anda dapat menerapkannya dalam berbagai situasi yang melibatkan pola kuadratik.

Jika Anda memiliki pertanyaan atau ingin memperdalam pemahaman Anda tentang topik ini, jangan ragu untuk menghubungi saya. Saya akan senang untuk membantu Anda lebih lanjut.