Menentukan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
Pendahuluan
Persamaan kuadrat adalah salah satu jenis persamaan aljabar yang paling sering ditemui dalam matematika. Persamaan ini memiliki bentuk umum ax^2 + bx + c = 0
, di mana a
, b
, dan c
adalah konstanta-konstanta real. Menentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat ini merupakan salah satu topik penting dalam mempelajari persamaan kuadrat.
Akar-akar persamaan kuadrat dapat dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu:
- Akar-akar real dan berbeda (distinct real roots)
- Akar-akar real dan sama (repeated real roots)
- Akar-akar kompleks (complex roots)
Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan. Kita juga akan mempelajari ciri-ciri dari masing-masing jenis akar-akar tersebut.
Diskriminan Persamaan Kuadrat
Untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat, kita perlu menghitung nilai diskriminan dari persamaan tersebut. Diskriminan adalah suatu nilai yang diperoleh dari koefisien-koefisien persamaan kuadrat, yaitu a
, b
, dan c
.
Rumus diskriminan persamaan kuadrat adalah:
D = b^2 - 4ac
Nilai diskriminan D
ini akan menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Berikut adalah penjelasan untuk masing-masing kasus:
- Jika
D > 0
, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda. - Jika
D = 0
, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar real yang berulang (sama). - Jika
D < 0
, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar kompleks.
Selanjutnya, kita akan membahas lebih rinci mengenai setiap jenis akar-akar persamaan kuadrat.
Akar-akar Real dan Berbeda
Jika nilai diskriminan D
suatu persamaan kuadrat lebih besar dari 0 (D > 0
), maka persamaan tersebut memiliki dua akar real yang berbeda. Akar-akar real yang berbeda ini dapat dihitung menggunakan rumus:
x1 = (-b + √D) / (2a)
x2 = (-b - √D) / (2a)
Di mana:
x1
danx2
adalah akar-akar persamaan kuadrata
,b
, danc
adalah koefisien-koefisien persamaan kuadratD = b^2 - 4ac
adalah diskriminan persamaan kuadrat
Contoh:
Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat 2x^2 + 3x - 5 = 0
. Untuk menentukan jenis akar-akarnya, kita dapat menghitung nilai diskriminannya terlebih dahulu:
D = b^2 - 4ac
D = 3^2 - 4(2)(-5)
D = 9 + 40
D = 49
Karena D = 49 > 0
, maka persamaan ini memiliki dua akar real yang berbeda. Kita dapat menghitung nilai akar-akarnya menggunakan rumus di atas:
x1 = (-3 + √49) / (2(2))
x1 = (-3 + 7) / 4
x1 = 4 / 4
x1 = 1
x2 = (-3 - √49) / (2(2))
x2 = (-3 - 7) / 4
x2 = -10 / 4
x2 = -5/2
Jadi, persamaan 2x^2 + 3x - 5 = 0
memiliki dua akar real yang berbeda, yaitu x1 = 1
dan x2 = -5/2
.
Akar-akar Real dan Sama
Jika nilai diskriminan D
suatu persamaan kuadrat sama dengan 0 (D = 0
), maka persamaan tersebut memiliki satu akar real yang berulang (sama). Akar real yang sama ini dapat dihitung menggunakan rumus:
x = -b / (2a)
Di mana:
x
adalah akar persamaan kuadrata
danb
adalah koefisien-koefisien persamaan kuadrat
Contoh:
Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat x^2 + 2x + 1 = 0
. Untuk menentukan jenis akar-akarnya, kita dapat menghitung nilai diskriminannya terlebih dahulu:
D = b^2 - 4ac
D = 2^2 - 4(1)(1)
D = 4 - 4
D = 0
Karena D = 0
, maka persamaan ini memiliki satu akar real yang berulang. Kita dapat menghitung nilai akar tersebut menggunakan rumus di atas:
x = -b / (2a)
x = -2 / (2(1))
x = -1
Jadi, persamaan x^2 + 2x + 1 = 0
memiliki satu akar real yang berulang, yaitu x = -1
.
Akar-akar Kompleks
Jika nilai diskriminan D
suatu persamaan kuadrat kurang dari 0 (D < 0
), maka persamaan tersebut memiliki dua akar kompleks. Akar-akar kompleks ini dapat dihitung menggunakan rumus:
x1 = (-b + i√(-D)) / (2a)
x2 = (-b - i√(-D)) / (2a)
Di mana:
x1
danx2
adalah akar-akar kompleks persamaan kuadrata
,b
, danc
adalah koefisien-koefisien persamaan kuadratD = b^2 - 4ac
adalah diskriminan persamaan kuadrati
adalah bilangan imajiner, di manai^2 = -1
Contoh:
Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat x^2 + 4x + 5 = 0
. Untuk menentukan jenis akar-akarnya, kita dapat menghitung nilai diskriminannya terlebih dahulu:
D = b^2 - 4ac
D = 4^2 - 4(1)(5)
D = 16 - 20
D = -4
Karena D = -4 < 0
, maka persamaan ini memiliki dua akar kompleks. Kita dapat menghitung nilai akar-akarnya menggunakan rumus di atas:
x1 = (-4 + i√(-(-4))) / (2(1))
x1 = (-4 + i√4) / 2
x1 = (-4 + 2i) / 2
x1 = -2 + i
x2 = (-4 - i√(-(-4))) / (2(1))
x2 = (-4 - i√4) / 2
x2 = (-4 - 2i) / 2
x2 = -2 - i
Jadi, persamaan x^2 + 4x + 5 = 0
memiliki dua akar kompleks, yaitu x1 = -2 + i
dan x2 = -2 - i
.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah mempelajari bagaimana menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan. Terdapat tiga jenis akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:
- Akar-akar real dan berbeda, jika
D > 0
- Akar-akar real dan sama, jika
D = 0
- Akar-akar kompleks, jika
D < 0
Kita juga telah mempelajari rumus-rumus untuk menghitung nilai akar-akar persamaan kuadrat pada masing-masing kasus. Pemahaman yang baik mengenai jenis akar-akar persamaan kuadrat ini akan sangat berguna dalam mempelajari matematika lanjutan, seperti aljabar dan analisis kompleks.