Menentukan Fungsi Asal dalam Komposisi Fungsi

 

Menentukan Fungsi Asal dalam Komposisi Fungsi

Pengantar

Dalam beberapa situasi, kita mungkin ingin menentukan fungsi asal (input function) dari suatu komposisi fungsi. Ini dapat menjadi berguna ketika kita ingin membalik proses komposisi fungsi atau mencari nilai input yang menghasilkan suatu output tertentu.

Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan fungsi asal dalam komposisi fungsi. Kita akan membahas beberapa contoh dan latihan untuk membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik.

Memahami Komposisi Fungsi

Sebelum kita membahas cara menentukan fungsi asal, ada baiknya kita mengulas kembali konsep komposisi fungsi.

Komposisi fungsi adalah proses menggabungkan dua atau lebih fungsi menjadi satu fungsi baru. Secara matematis, jika kita memiliki dua fungsi f(x) dan g(x), maka komposisi fungsinya ditulis sebagai (f∘g)(x) atau f(g(x)).

Dalam komposisi fungsi, fungsi g(x) akan diproses terlebih dahulu, lalu hasilnya akan digunakan sebagai input untuk fungsi f(x). Sehingga, output akhir merupakan hasil dari penerapan fungsi f(x) terhadap output fungsi g(x).

Sebagai contoh, jika kita memiliki fungsi f(x) = x^2 dan g(x) = 3x + 1, maka komposisi fungsinya adalah:

(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 1) = (3x + 1)^2

Menentukan Fungsi Asal

Sekarang, bagaimana jika kita ingin menentukan fungsi asal (input function) dari suatu komposisi fungsi? Ini dapat dilakukan dengan menggunakan proses yang disebut "dekomposisi" atau "pembalikan" komposisi fungsi.

Secara umum, langkah-langkah untuk menentukan fungsi asal dalam komposisi fungsi adalah sebagai berikut:

1. Identifikasi Komposisi Fungsi: Pertama-tama, kita harus mengidentifikasi bahwa fungsi yang diberikan merupakan komposisi fungsi. Ini berarti fungsi tersebut memiliki bentuk (f∘g)(x).

2. Tentukan Fungsi Luar (f(x)): Selanjutnya, kita harus menentukan fungsi luar (f(x)) dari komposisi fungsi tersebut. Fungsi luar adalah fungsi yang diaplikasikan terakhir dalam proses komposisi.

3. Balikkan Fungsi Luar (f(x)): Setelah menentukan fungsi luar, kita harus membalikkan (invers) fungsi tersebut. Ini akan memberikan kita fungsi g(x).

4. Substitusikan Fungsi g(x) ke Komposisi Fungsi: Langkah terakhir adalah mensubstitusikan fungsi g(x) yang kita dapatkan ke dalam komposisi fungsi awal. Ini akan menghasilkan fungsi asal (input function) yang kita cari.

Ayo, kita coba beberapa contoh untuk memahami konsep ini dengan lebih baik.

Contoh 1: Menentukan Fungsi Asal dari (f∘g)(x) = 4(3x + 1)^2 - 2

Diberikan komposisi fungsi: (f∘g)(x) = 4(3x + 1)^2 - 2

Langkah 1: Identifikasi Komposisi Fungsi Jelas bahwa fungsi yang diberikan merupakan komposisi fungsi, karena memiliki bentuk (f∘g)(x).

Langkah 2: Tentukan Fungsi Luar (f(x)) Fungsi luar (f(x)) adalah 4x^2 - 2, karena ini adalah fungsi yang diaplikasikan terakhir dalam komposisi.

Langkah 3: Balikkan Fungsi Luar (f(x)) Untuk membalikkan fungsi f(x) = 4x^2 - 2, kita harus mencari fungsi invers f^-1(x). Dengan menggunakan rumus invers fungsi kuadrat, kita dapatkan: f^-1(x) = √((x + 2)/4)

Langkah 4: Substitusikan Fungsi g(x) ke Komposisi Fungsi Sekarang, kita substitusikan fungsi g(x) = √((x + 2)/4) ke dalam komposisi fungsi awal: (f∘g)(x) = 4(3√((x + 2)/4) + 1)^2 - 2

Jadi, fungsi asal (input function) yang kita cari adalah g(x) = √((x + 2)/4).

Contoh 2: Menentukan Fungsi Asal dari (f∘g)(x) = log(3x - 1)

Diberikan komposisi fungsi: (f∘g)(x) = log(3x - 1)

Langkah 1: Identifikasi Komposisi Fungsi Jelas bahwa fungsi yang diberikan merupakan komposisi fungsi, karena memiliki bentuk (f∘g)(x).

Langkah 2: Tentukan Fungsi Luar (f(x)) Fungsi luar (f(x)) adalah log(x), karena ini adalah fungsi yang diaplikasikan terakhir dalam komposisi.

Langkah 3: Balikkan Fungsi Luar (f(x)) Untuk membalikkan fungsi f(x) = log(x), kita harus mencari fungsi invers f^-1(x). Fungsi invers dari logaritma adalah eksponensial, sehingga f^-1(x) = e^x.

Langkah 4: Substitusikan Fungsi g(x) ke Komposisi Fungsi Sekarang, kita substitusikan fungsi g(x) = e^x ke dalam komposisi fungsi awal: (f∘g)(x) = log(3e^x - 1)

Jadi, fungsi asal (input function) yang kita cari adalah g(x) = e^x.

Contoh 3: Menentukan Fungsi Asal dari (f∘g)(x) = sin(2x + 1)

Diberikan komposisi fungsi: (f∘g)(x) = sin(2x + 1)

Langkah 1: Identifikasi Komposisi Fungsi Jelas bahwa fungsi yang diberikan merupakan komposisi fungsi, karena memiliki bentuk (f∘g)(x).

Langkah 2: Tentukan Fungsi Luar (f(x)) Fungsi luar (f(x)) adalah sin(x), karena ini adalah fungsi yang diaplikasikan terakhir dalam komposisi.

Langkah 3: Balikkan Fungsi Luar (f(x)) Untuk membalikkan fungsi f(x) = sin(x), kita harus mencari fungsi invers f^-1(x). Fungsi invers dari sinus adalah arcsin, sehingga f^-1(x) = arcsin(x).

Langkah 4: Substitusikan Fungsi g(x) ke Komposisi Fungsi Sekarang, kita substitusikan fungsi g(x) = arcsin(x) ke dalam komposisi fungsi awal: (f∘g)(x) = sin(2 arcsin(x) + 1)

Jadi, fungsi asal (input function) yang kita cari adalah g(x) = arcsin((x - 1)/2).

Latihan

Coba selesaikan latihan-latihan berikut untuk semakin memantapkan pemahaman Anda tentang menentukan fungsi asal dalam komposisi fungsi:

1. Tentukan fungsi asal (input function) dari (f∘g)(x) = 3 log(2x - 1) + 5.
2. Tentukan fungsi asal (input function) dari (f∘g)(x) = e^(3x - 2).
3. Tentukan fungsi asal (input function) dari (f∘g)(x) = cos(πx/2 + 1).

Semoga penjelasan dan contoh-contoh di atas dapat membantu Anda memahami konsep menentukan fungsi asal dalam komposisi fungsi. Jika Anda masih memiliki pertanyaan atau membutuhkan bantuan lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya.