Menentukan Banyaknya Pemetaan dari Dua Himpunan
Pengantar
Dalam matematika, terutama dalam teori himpunan, konsep pemetaan (fungsi) merupakan salah satu topik yang penting untuk dipahami. Pemetaan adalah suatu hubungan antara dua himpunan, di mana setiap anggota dari himpunan pertama (domain) dipasangkan dengan tepat satu anggota dari himpunan kedua (kodomain).
Menentukan banyaknya pemetaan antara dua himpunan merupakan suatu permasalahan yang sering muncul dalam matematika, khususnya dalam bidang kombinatorika. Pemahaman yang baik tentang konsep pemetaan dan teknik-teknik untuk menghitung banyaknya pemetaan akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai persoalan matematika terkait.
Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana cara menentukan banyaknya pemetaan dari dua himpunan, baik untuk himpunan hingga (finite) maupun tak hingga (infinite). Kita akan mempelajari beberapa teknik dan contoh-contoh yang dapat membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik.
Definisi Pemetaan
Sebelum membahas cara menghitung banyaknya pemetaan, mari kita awali dengan memahami definisi pemetaan terlebih dahulu.
Definisi pemetaan: Pemetaan (atau fungsi) f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B.
Secara simbolik, pemetaan f dari A ke B dapat ditulis sebagai: f: A → B
Dalam pemetaan f, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan).
Banyaknya Pemetaan antara Dua Himpunan Hingga
Ketika kita memiliki dua himpunan hingga (finite), yaitu himpunan A dengan n anggota dan himpunan B dengan m anggota, maka banyaknya pemetaan dari A ke B dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
Banyaknya pemetaan dari A ke B = m^n
Penjelasan:
- Untuk setiap anggota di himpunan A, kita memiliki m pilihan anggota di himpunan B yang dapat dipasangkan.
- Karena terdapat n anggota di himpunan A, maka banyaknya kemungkinan pemetaan adalah m * m * m * ... * m (n kali).
- Sehingga, banyaknya pemetaan dari A ke B adalah m^n.
Contoh 1: Misalkan kita memiliki himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c}. Berapakah banyaknya pemetaan dari A ke B?
Penyelesaian: Diketahui:
- Himpunan A memiliki 3 anggota (n = 3)
- Himpunan B memiliki 3 anggota (m = 3)
Menggunakan rumus: Banyaknya pemetaan dari A ke B = m^n Banyaknya pemetaan dari A ke B = 3^3 = 27
Jadi, banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah 27.
Contoh 2: Misalkan kita memiliki himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {a, b}. Berapakah banyaknya pemetaan dari A ke B?
Penyelesaian: Diketahui:
- Himpunan A memiliki 4 anggota (n = 4)
- Himpunan B memiliki 2 anggota (m = 2)
Menggunakan rumus: Banyaknya pemetaan dari A ke B = m^n Banyaknya pemetaan dari A ke B = 2^4 = 16
Jadi, banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah 16.
Banyaknya Pemetaan antara Dua Himpunan Tak Hingga
Ketika kita memiliki dua himpunan tak hingga (infinite), maka banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah tak terhingga (∞).
Hal ini dikarenakan, untuk setiap anggota di himpunan A, kita memiliki tak terhingga banyak pilihan anggota di himpunan B yang dapat dipasangkan. Sehingga, banyaknya kemungkinan pemetaan juga menjadi tak terhingga.
Contoh 3: Misalkan kita memiliki himpunan A = bilangan bulat dan himpunan B = bilangan real. Berapakah banyaknya pemetaan dari A ke B?
Penyelesaian: Diketahui:
- Himpunan A = bilangan bulat (∞)
- Himpunan B = bilangan real (∞)
Karena kedua himpunan adalah tak hingga, maka banyaknya pemetaan dari A ke B juga tak terhingga (∞).
Jadi, banyaknya pemetaan dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan real adalah tak terhingga.
Pemetaan Satu-satu (Injektif)
Salah satu jenis pemetaan yang penting untuk diperhatikan adalah pemetaan satu-satu (injektif). Pemetaan satu-satu adalah pemetaan di mana setiap anggota domain dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain, dan sebaliknya, setiap anggota kodomain dipasangkan dengan tepat satu anggota domain.
Definisi pemetaan satu-satu: Pemetaan f: A → B disebut pemetaan satu-satu (injektif) jika untuk setiap x1, x2 ∈ A, jika x1 ≠ x2, maka f(x1) ≠ f(x2).
Dengan kata lain, dalam pemetaan satu-satu, tidak ada dua elemen yang berbeda di domain yang dipasangkan dengan elemen yang sama di kodomain.
Untuk menghitung banyaknya pemetaan satu-satu dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menggunakan rumus berikut:
Banyaknya pemetaan satu-satu dari A ke B = n!
di mana n adalah banyaknya anggota himpunan A.
Contoh 4: Misalkan kita memiliki himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c}. Berapakah banyaknya pemetaan satu-satu dari A ke B?
Penyelesaian: Diketahui:
- Himpunan A memiliki 3 anggota (n = 3)
Menggunakan rumus: Banyaknya pemetaan satu-satu dari A ke B = n! Banyaknya pemetaan satu-satu dari A ke B = 3! = 6
Jadi, banyaknya pemetaan satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah 6.
Contoh 5: Misalkan kita memiliki himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {a, b, c, d}. Berapakah banyaknya pemetaan satu-satu dari A ke B?
Penyelesaian: Diketahui:
- Himpunan A memiliki 4 anggota (n = 4)
Menggunakan rumus: Banyaknya pemetaan satu-satu dari A ke B = n! Banyaknya pemetaan satu-satu dari A ke B = 4! = 24
Jadi, banyaknya pemetaan satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah 24.
Pemetaan Surjektif
Selain pemetaan satu-satu, jenis pemetaan lain yang penting adalah pemetaan surjektif. Pemetaan surjektif adalah pemetaan di mana setiap anggota kodomain dipasangkan dengan setidaknya satu anggota domain.
Definisi pemetaan surjektif: Pemetaan f: A → B disebut pemetaan surjektif jika untuk setiap y ∈ B, terdapat setidaknya satu x ∈ A sehingga f(x) = y.
Dengan kata lain, dalam pemetaan surjektif, setiap anggota kodomain dipasangkan dengan minimal satu anggota domain.
Menghitung banyaknya pemetaan surjektif dari himpunan A ke himpunan B dapat dilakukan dengan menggunakan rumus yang lebih kompleks. Rumus untuk menghitung banyaknya pemetaan surjektif adalah:
Banyaknya pemetaan surjektif dari A ke B = S(n, m)
di mana:
- n adalah banyaknya anggota himpunan A
- m adalah banyaknya anggota himpunan B
- S(n, m) adalah bilangan Stirling jenis kedua, yang dapat dihitung menggunakan rekursi atau tabel.
Contoh 6: Misalkan kita memiliki himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c}. Berapakah banyaknya pemetaan surjektif dari A ke B?
Penyelesaian: Diketahui:
- Himpunan A memiliki 3 anggota (n = 3)
- Himpunan B memiliki 3 anggota (m = 3)
Menggunakan rumus: Banyaknya pemetaan surjektif dari A ke B = S(n, m) Banyaknya pemetaan surjektif dari A ke B = S(3, 3) = 6
Jadi, banyaknya pemetaan surjektif dari himpunan A ke himpunan B adalah 6.
Contoh 7: Misalkan kita memiliki himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {a, b, c}. Berapakah banyaknya pemetaan surjektif dari A ke B?
Penyelesaian: Diketahui:
- Himpunan A memiliki 4 anggota (n = 4)
- Himpunan B memiliki 3 anggota (m = 3)
Menggunakan rumus: Banyaknya pemetaan surjektif dari A ke B = S(n, m) Banyaknya pemetaan surjektif dari A ke B = S(4, 3) = 60
Jadi, banyaknya pemetaan surjektif dari himpunan A ke himpunan B adalah 60.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah mempelajari bagaimana menentukan banyaknya pemetaan dari dua himpunan, baik himpunan hingga maupun tak hingga. Kita juga telah membahas dua jenis pemetaan khusus, yaitu pemetaan satu-satu (injektif) dan pemetaan surjektif.
Menghitung banyaknya pemetaan merupakan salah satu konsep dasar dalam teori himpunan dan kombinatorika. Pemahaman yang baik tentang konsep ini akan sangat membantu Anda dalam menyelesaikan berbagai persoalan matematika terkait.
Jika Anda masih memiliki pertanyaan atau ingin mempelajari lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya. Saya akan senang untuk membantu Anda memahami topik ini dengan lebih mendalam.