Konvergensi Deret Kalkulus: 5 Soal dan Pembahasan

Konvergensi Deret Kalkulus: 5 Soal dan Pembahasan

Pengantar

Deret kalkulus merupakan salah satu topik penting dalam cabang matematika, khususnya analisis matematika. Memahami konsep konvergensi deret sangat penting karena hal ini terkait dengan kemampuan untuk menentukan apakah suatu deret akan konvergen atau divergen. Dalam artikel ini, kita akan membahas 5 soal matematika mengenai konvergensi deret beserta pembahasannya.

Soal 1

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:

${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+1}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\; +\; 1\}$

Pembahasan

Untuk menentukan apakah deret ini konvergen atau divergen, kita dapat menggunakan kriteria konvergensi yang sesuai. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan uji deret p (p-series test).

Uji deret p menyatakan bahwa deret ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^p\}$ akan konvergen jika $p>1p\; >\; 1$ dan divergen jika $p\le 1p\; \backslash leq\; 1$.

Pada deret yang diberikan, kita memiliki $\frac{1}{n^2+1}\backslash frac\{1\}\{n^2\; +\; 1\}$. Jika kita mengabaikan konstanta 1 di penyebut, maka deret ini dapat ditulis sebagai $\frac{1}{n^2}\backslash frac\{1\}\{n^2\}$. Dengan demikian, $p=2>1p\; =\; 2\; >\; 1$, maka deret ini konvergen.

Jadi, deret ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+1}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\; +\; 1\}$ konvergen.

Soal 2

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:

${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2-n+1}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\; -\; n\; +\; 1\}$

Pembahasan

Untuk menentukan konvergensi deret ini, kita dapat menggunakan uji deret p (p-series test) lagi.

Pada deret yang diberikan, kita memiliki $\frac{1}{n^2-n+1}\backslash frac\{1\}\{n^2\; -\; n\; +\; 1\}$. Jika kita mengabaikan konstanta -n + 1 di penyebut, maka deret ini dapat ditulis sebagai $\frac{1}{n^2}\backslash frac\{1\}\{n^2\}$. Dengan demikian, $p=2>1p\; =\; 2\; >\; 1$, maka deret ini konvergen.

Jadi, deret ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2-n+1}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\; -\; n\; +\; 1\}$ konvergen.

Soal 3

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:

${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3+2n^2+n+1}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^3\; +\; 2n^2\; +\; n\; +\; 1\}$

Pembahasan

Untuk menentukan konvergensi deret ini, kita dapat menggunakan uji deret p (p-series test) lagi.

Pada deret yang diberikan, kita memiliki $\frac{1}{n^3+2n^2+n+1}\backslash frac\{1\}\{n^3\; +\; 2n^2\; +\; n\; +\; 1\}$. Jika kita mengabaikan konstanta 2n^2 + n + 1 di penyebut, maka deret ini dapat ditulis sebagai $\frac{1}{n^3}\backslash frac\{1\}\{n^3\}$. Dengan demikian, $p=3>1p\; =\; 3\; >\; 1$, maka deret ini konvergen.

Jadi, deret ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3+2n^2+n+1}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^3\; +\; 2n^2\; +\; n\; +\; 1\}$ konvergen.

Soal 4

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:

${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+2n+3}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\; +\; 2n\; +\; 3\}$

Pembahasan

Untuk menentukan konvergensi deret ini, kita dapat menggunakan uji deret p (p-series test) lagi.

Pada deret yang diberikan, kita memiliki $\frac{1}{n^2+2n+3}\backslash frac\{1\}\{n^2\; +\; 2n\; +\; 3\}$. Jika kita mengabaikan konstanta 2n + 3 di penyebut, maka deret ini dapat ditulis sebagai $\frac{1}{n^2}\backslash frac\{1\}\{n^2\}$. Dengan demikian, $p=2>1p\; =\; 2\; >\; 1$, maka deret ini konvergen.

Jadi, deret ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+2n+3}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\; +\; 2n\; +\; 3\}$ konvergen.

Soal 5

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:

${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+3n+2}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\; +\; 3n\; +\; 2\}$

Pembahasan

Untuk menentukan konvergensi deret ini, kita dapat menggunakan uji deret p (p-series test) lagi.

Pada deret yang diberikan, kita memiliki $\frac{1}{n^2+3n+2}\backslash frac\{1\}\{n^2\; +\; 3n\; +\; 2\}$. Jika kita mengabaikan konstanta 3n + 2 di penyebut, maka deret ini dapat ditulis sebagai $\frac{1}{n^2}\backslash frac\{1\}\{n^2\}$. Dengan demikian, $p=2>1p\; =\; 2\; >\; 1$, maka deret ini konvergen.

Jadi, deret ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+3n+2}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\; +\; 3n\; +\; 2\}$ konvergen.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas 5 soal matematika mengenai konvergensi deret kalkulus. Dengan menggunakan uji deret p (p-series test), kita dapat menentukan apakah suatu deret konvergen atau divergen. Pemahaman yang baik tentang konvergensi deret sangat penting dalam analisis matematika dan berbagai bidang terkait.