Konvergensi Deret Kalkulus: 5 Soal dan Pembahasan

 

Konvergensi Deret Kalkulus: 5 Soal dan Pembahasan


Konvergensi Deret Kalkulus: 5 Soal dan Pembahasan

Pengantar

Deret kalkulus merupakan salah satu topik penting dalam cabang matematika, khususnya analisis matematika. Memahami konsep konvergensi deret sangat penting karena hal ini terkait dengan kemampuan untuk menentukan apakah suatu deret akan konvergen atau divergen. Dalam artikel ini, kita akan membahas 5 soal matematika mengenai konvergensi deret beserta pembahasannya.

Soal 1

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:

n=11n2+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}

Pembahasan

Untuk menentukan apakah deret ini konvergen atau divergen, kita dapat menggunakan kriteria konvergensi yang sesuai. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan uji deret p (p-series test).

Uji deret p menyatakan bahwa deret n=11np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} akan konvergen jika p>1p > 1 dan divergen jika p1p \leq 1.

Pada deret yang diberikan, kita memiliki 1n2+1\frac{1}{n^2 + 1}. Jika kita mengabaikan konstanta 1 di penyebut, maka deret ini dapat ditulis sebagai 1n2\frac{1}{n^2}. Dengan demikian, p=2>1p = 2 > 1, maka deret ini konvergen.

Jadi, deret n=11n2+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1} konvergen.

Soal 2

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:

n=11n2n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 - n + 1}

Pembahasan

Untuk menentukan konvergensi deret ini, kita dapat menggunakan uji deret p (p-series test) lagi.

Pada deret yang diberikan, kita memiliki 1n2n+1\frac{1}{n^2 - n + 1}. Jika kita mengabaikan konstanta -n + 1 di penyebut, maka deret ini dapat ditulis sebagai 1n2\frac{1}{n^2}. Dengan demikian, p=2>1p = 2 > 1, maka deret ini konvergen.

Jadi, deret n=11n2n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 - n + 1} konvergen.

Soal 3

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:

n=11n3+2n2+n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 2n^2 + n + 1}

Pembahasan

Untuk menentukan konvergensi deret ini, kita dapat menggunakan uji deret p (p-series test) lagi.

Pada deret yang diberikan, kita memiliki 1n3+2n2+n+1\frac{1}{n^3 + 2n^2 + n + 1}. Jika kita mengabaikan konstanta 2n^2 + n + 1 di penyebut, maka deret ini dapat ditulis sebagai 1n3\frac{1}{n^3}. Dengan demikian, p=3>1p = 3 > 1, maka deret ini konvergen.

Jadi, deret n=11n3+2n2+n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 2n^2 + n + 1} konvergen.

Soal 4

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:

n=11n2+2n+3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 2n + 3}

Pembahasan

Untuk menentukan konvergensi deret ini, kita dapat menggunakan uji deret p (p-series test) lagi.

Pada deret yang diberikan, kita memiliki 1n2+2n+3\frac{1}{n^2 + 2n + 3}. Jika kita mengabaikan konstanta 2n + 3 di penyebut, maka deret ini dapat ditulis sebagai 1n2\frac{1}{n^2}. Dengan demikian, p=2>1p = 2 > 1, maka deret ini konvergen.

Jadi, deret n=11n2+2n+3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 2n + 3} konvergen.

Soal 5

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:

n=11n2+3n+2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n + 2}

Pembahasan

Untuk menentukan konvergensi deret ini, kita dapat menggunakan uji deret p (p-series test) lagi.

Pada deret yang diberikan, kita memiliki 1n2+3n+2\frac{1}{n^2 + 3n + 2}. Jika kita mengabaikan konstanta 3n + 2 di penyebut, maka deret ini dapat ditulis sebagai 1n2\frac{1}{n^2}. Dengan demikian, p=2>1p = 2 > 1, maka deret ini konvergen.

Jadi, deret n=11n2+3n+2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n + 2} konvergen.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas 5 soal matematika mengenai konvergensi deret kalkulus. Dengan menggunakan uji deret p (p-series test), kita dapat menentukan apakah suatu deret konvergen atau divergen. Pemahaman yang baik tentang konvergensi deret sangat penting dalam analisis matematika dan berbagai bidang terkait.


Komentar

Peta Bimbel Jakarta Timur

 
Use the Cookies: Kami menggunakan cookie untuk memastikan bahwa kami memberi anda pengalaman terbaik di situs web kami clicking on more information