Contoh soal proyeksi vektor orthogonal | Matematika Peminatan

Memahami Proyeksi Vektor Orthogonal pada Matematika Peminatan Kelas 10

Pengantar

Dalam pelajaran matematika peminatan kelas 10, salah satu topik yang dipelajari adalah proyeksi vektor orthogonal. Proyeksi vektor orthogonal merupakan konsep penting dalam aljabar linear yang memungkinkan kita untuk menguraikan sebuah vektor menjadi komponen-komponen yang saling tegak lurus.

Memahami proyeksi vektor orthogonal tidak hanya penting dalam konteks matematika, tetapi juga memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, dan ilmu komputer. Dengan menguasai konsep ini, kita dapat melakukan analisis yang lebih mendalam terhadap sistem-sistem linier dan menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan vektor.

Dalam artikel ini, kita akan membahas lebih dalam mengenai proyeksi vektor orthogonal, termasuk contoh soal dan cara menyelesaikannya. Diharapkan, setelah membaca artikel ini, Anda akan memiliki pemahaman yang lebih baik tentang konsep ini dan dapat menerapkannya dalam menyelesaikan berbagai permasalahan matematika.

Apa itu Proyeksi Vektor Orthogonal?

Proyeksi vektor orthogonal adalah proses untuk mencari komponen sebuah vektor pada sebuah subruang vektor yang lain. Dalam hal ini, subruang vektor yang dimaksud adalah ruang vektor yang saling tegak lurus (orthogonal) dengan vektor yang akan diproyeksikan.

Secara matematis, jika kita memiliki vektor u dan vektor v yang saling tegak lurus, maka proyeksi vektor u pada vektor v dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

proj_v(u) = (u ⋅ v) / (v ⋅ v) × v

Dimana:

• proj_v(u) adalah proyeksi vektor u pada vektor v
• u ⋅ v adalah hasil perkalian titik (dot product) antara vektor u dan v
• v ⋅ v adalah hasil perkalian titik antara vektor v dengan dirinya sendiri

Proyeksi vektor orthogonal memiliki beberapa sifat penting, yaitu:

1. Proyeksi vektor orthogonal selalu menghasilkan vektor yang lebih pendek atau sama panjang dengan vektor aslinya.
2. Proyeksi vektor orthogonal selalu tegak lurus dengan vektor yang menjadi acuan proyeksi.
3. Jika vektor u dan v saling tegak lurus, maka proyeksi vektor u pada vektor v adalah nol.

Dengan memahami konsep proyeksi vektor orthogonal, kita dapat menyelesaikan berbagai permasalahan matematika yang melibatkan vektor, seperti mencari komponen vektor pada sumbu koordinat, menentukan jarak antara dua vektor, dan lain-lain.

Contoh Soal Proyeksi Vektor Orthogonal

Berikut ini adalah beberapa contoh soal proyeksi vektor orthogonal yang dapat Anda pelajari:

Contoh Soal 1

Diketahui vektor u = (2, 3, -1) dan vektor v = (1, 2, 1). Tentukan proyeksi vektor u pada vektor v.

Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan rumus proyeksi vektor orthogonal:

proj_v(u) = (u ⋅ v) / (v ⋅ v) × v

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Hitung hasil perkalian titik (dot product) antara vektor u dan v: u ⋅ v = (2 × 1) + (3 × 2) + (-1 × 1) = 2 + 6 - 1 = 7

2. Hitung hasil perkalian titik antara vektor v dengan dirinya sendiri: v ⋅ v = (1 × 1) + (2 × 2) + (1 × 1) = 1 + 4 + 1 = 6

3. Hitung proyeksi vektor u pada vektor v: proj_v(u) = (u ⋅ v) / (v ⋅ v) × v proj_v(u) = 7 / 6 × (1, 2, 1) proj_v(u) = (7/6, 14/6, 7/6)

Jadi, proyeksi vektor u pada vektor v adalah (7/6, 14/6, 7/6).

Contoh Soal 2

Diketahui vektor u = (1, 2, 3) dan vektor v = (2, -1, 1). Tentukan proyeksi vektor u pada vektor v.

Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan rumus proyeksi vektor orthogonal:

proj_v(u) = (u ⋅ v) / (v ⋅ v) × v

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Hitung hasil perkalian titik (dot product) antara vektor u dan v: u ⋅ v = (1 × 2) + (2 × (-1)) + (3 × 1) = 2 - 2 + 3 = 3

2. Hitung hasil perkalian titik antara vektor v dengan dirinya sendiri: v ⋅ v = (2 × 2) + (-1 × (-1)) + (1 × 1) = 4 + 1 + 1 = 6

3. Hitung proyeksi vektor u pada vektor v: proj_v(u) = (u ⋅ v) / (v ⋅ v) × v proj_v(u) = 3 / 6 × (2, -1, 1) proj_v(u) = (1, -1/2, 1/2)

Jadi, proyeksi vektor u pada vektor v adalah (1, -1/2, 1/2).

Contoh Soal 3

Diketahui vektor u = (4, 3, -2) dan vektor v = (2, 1, 1). Tentukan proyeksi vektor u pada vektor v.

Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan rumus proyeksi vektor orthogonal:

proj_v(u) = (u ⋅ v) / (v ⋅ v) × v

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Hitung hasil perkalian titik (dot product) antara vektor u dan v: u ⋅ v = (4 × 2) + (3 × 1) + (-2 × 1) = 8 + 3 - 2 = 9

2. Hitung hasil perkalian titik antara vektor v dengan dirinya sendiri: v ⋅ v = (2 × 2) + (1 × 1) + (1 × 1) = 4 + 1 + 1 = 6

3. Hitung proyeksi vektor u pada vektor v: proj_v(u) = (u ⋅ v) / (v ⋅ v) × v proj_v(u) = 9 / 6 × (2, 1, 1) proj_v(u) = (3, 3/2, 3/2)

Jadi, proyeksi vektor u pada vektor v adalah (3, 3/2, 3/2).

Contoh-contoh soal di atas menunjukkan bagaimana kita dapat menghitung proyeksi vektor orthogonal dengan menggunakan rumus yang telah dijelaskan sebelumnya. Dengan memahami konsep ini, Anda dapat menyelesaikan berbagai permasalahan matematika yang melibatkan vektor-vektor.

Latihan Soal

Setelah memahami konsep proyeksi vektor orthogonal dan mempelajari beberapa contoh soal, cobalah untuk menyelesaikan latihan soal berikut:

1. Diketahui vektor u = (1, 2, 3) dan vektor v = (2, 1, -1). Tentukan proyeksi vektor u pada vektor v.

2. Diketahui vektor u = (4, -2, 1) dan vektor v = (1, 1, 1). Tentukan proyeksi vektor u pada vektor v.

3. Diketahui vektor u = (-1, 3, 2) dan vektor v = (1, 2, 1). Tentukan proyeksi vektor u pada vektor v.

4. Diketahui vektor u = (2, -1, 3) dan vektor v = (1, 1, 1). Tentukan proyeksi vektor u pada vektor v.

5. Diketahui vektor u = (3, 2, -1) dan vektor v = (1, -1, 2). Tentukan proyeksi vektor u pada vektor v.

Selamat mengerjakan! Jangan ragu untuk bertanya jika Anda menemui kesulitan dalam menyelesaikan soal-soal tersebut.

Kesimpulan

Proyeksi vektor orthogonal merupakan konsep penting dalam aljabar linear yang memungkinkan kita untuk menguraikan sebuah vektor menjadi komponen-komponen yang saling tegak lurus. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menyelesaikan berbagai permasalahan matematika yang melibatkan vektor-vektor.

Dalam artikel ini, kita telah mempelajari apa itu proyeksi vektor orthogonal, bagaimana menghitung proyeksi vektor orthogonal, serta beberapa contoh soal dan latihan yang dapat Anda kerjakan untuk memperdalam pemahaman Anda.

Semoga artikel ini bermanfaat bagi Anda dalam mempelajari proyeksi vektor orthogonal pada matematika peminatan kelas 10. Jangan ragu untuk terus berlatih dan mendalami konsep ini agar Anda dapat menguasainya dengan baik.