Cara Mudah Hitung Pecahan Faktorial Matematika Kelas 12

Cara Mudah Hitung Pecahan Faktorial Matematika Kelas 12

Pengantar: Memahami Pecahan Faktorial

Pecahan faktorial adalah konsep matematika yang sering muncul dalam pelajaran matematika kelas 12. Meskipun tampak rumit, pecahan faktorial sebenarnya dapat dihitung dengan cara yang sederhana dan mudah dipahami. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menghitung pecahan faktorial serta memberikan beberapa contoh soal untuk mempraktikkannya.

Apa Itu Pecahan Faktorial?

Pecahan faktorial adalah representasi matematika dari hasil perkalian bilangan asli berurutan, yang kemudian dinyatakan dalam bentuk pecahan. Secara umum, pecahan faktorial ditulis dengan notasi n!, di mana n adalah bilangan asli.

Contoh:

• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040

Namun, dalam banyak kasus, hasil faktorial yang diperoleh terlalu besar untuk dinyatakan dalam bilangan bulat. Oleh karena itu, kita perlu menyajikannya dalam bentuk pecahan.

Cara Menghitung Pecahan Faktorial

Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitung pecahan faktorial:

1. Tentukan nilai n: Nilai n adalah bilangan asli yang akan dihitung faktorialnya.

2. Buat daftar bilangan asli dari 1 hingga n: Tuliskan semua bilangan asli dari 1 hingga n dalam urutan menurun.

3. Kalikan semua bilangan dalam daftar: Kalikan semua bilangan dalam daftar tersebut untuk mendapatkan hasil faktorial.

4. Sederhanakan pecahan: Jika hasil faktorial terlalu besar untuk dinyatakan dalam bilangan bulat, sederhanakan pecahan tersebut dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor prima yang sama.

Ayo, kita coba praktik dengan contoh soal!

Contoh Soal 1: Hitung Pecahan Faktorial 7!

Diketahui:

• n = 7

Langkah 1: Tentukan nilai n = 7.

Langkah 2: Buat daftar bilangan asli dari 1 hingga n = 7. 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

Langkah 3: Kalikan semua bilangan dalam daftar. 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040

Langkah 4: Sederhanakan pecahan. Tidak perlu disederhanakan karena hasil faktorial 7! = 5040 masih dapat dinyatakan dalam bilangan bulat.

Jadi, pecahan faktorial 7! = 5040.

Contoh Soal 2: Hitung Pecahan Faktorial 12!

Diketahui:

• n = 12

Langkah 1: Tentukan nilai n = 12.

Langkah 2: Buat daftar bilangan asli dari 1 hingga n = 12. 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

Langkah 3: Kalikan semua bilangan dalam daftar. 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 479001600

Langkah 4: Sederhanakan pecahan. Hasil faktorial 12! = 479001600 terlalu besar untuk dinyatakan dalam bilangan bulat, sehingga perlu disederhanakan.

Kita dapat menyederhanakan pecahan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor prima yang sama.

Faktor prima dari 479001600 adalah: 2^9 x 3^4 x 5^2 x 7^1 x 11^1 x 13^1

Sehingga, pecahan faktorial 12! dapat disederhanakan menjadi: 12! = (2^9 x 3^4 x 5^2 x 7^1 x 11^1 x 13^1) / (2^9 x 3^4 x 5^2 x 7^1 x 11^1 x 13^1) = 1

Jadi, pecahan faktorial 12! = 1.

Contoh Soal 3: Hitung Pecahan Faktorial 15!

Diketahui:

• n = 15

Langkah 1: Tentukan nilai n = 15.

Langkah 2: Buat daftar bilangan asli dari 1 hingga n = 15. 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

Langkah 3: Kalikan semua bilangan dalam daftar. 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1307674368000

Langkah 4: Sederhanakan pecahan. Hasil faktorial 15! = 1307674368000 terlalu besar untuk dinyatakan dalam bilangan bulat, sehingga perlu disederhanakan.

Kita dapat menyederhanakan pecahan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor prima yang sama.

Faktor prima dari 1307674368000 adalah: 2^14 x 3^6 x 5^3 x 7^2 x 11^1 x 13^1 x 15^1

Sehingga, pecahan faktorial 15! dapat disederhanakan menjadi: 15! = (2^14 x 3^6 x 5^3 x 7^2 x 11^1 x 13^1 x 15^1) / (2^14 x 3^6 x 5^3 x 7^2 x 11^1 x 13^1 x 15^1) = 1

Jadi, pecahan faktorial 15! = 1.

Penjelasan lebih rinci:

1. Aljabar:

   • Faktorial: Faktorial adalah operasi aljabar yang sering digunakan dalam berbagai perhitungan matematika. Faktorial dari suatu bilangan $n$, dilambangkan dengan $n!$, adalah hasil kali semua bilangan bulat positif dari 1 hingga $n$.
   • Manipulasi Ekspresi: Menghitung pecahan faktorial sering melibatkan manipulasi ekspresi aljabar untuk menyederhanakan atau menghitung nilai dari suatu pecahan yang mengandung faktorial.

2. Kombinatorika:

   • Permutasi dan Kombinasi: Faktorial sering digunakan dalam perhitungan permutasi dan kombinasi, yang merupakan konsep utama dalam kombinatorika.
   • Koefisien Binomial: Pecahan faktorial digunakan untuk menghitung koefisien binomial, yang merupakan bagian penting dari teori kombinatorika.

Contoh Pecahan Faktorial:

1. Permutasi:

   • Jumlah cara menyusun $r$  objek dari $n$  objek yang berbeda adalah: $$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

2. Kombinasi:

   • Jumlah cara memilih $\mathrm{r \; objek\; dari }$$n$  objek yang berbeda adalah: $$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

3. Koefisien Binomial:

   • Koefisien binomial dalam ekspansi binomial adalah: $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Contoh Penghitungan Pecahan Faktorial:

1. Menghitung Kombinasi:

   • Misalnya, menghitung $C(5, 3)$: $$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = 10$$ 

2. Menghitung Pecahan Faktorial Sederhana:

   • Misalnya, menghitung $\frac{7!}{5!}$: $$\frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42$$ 

Penerapan dalam Aljabar dan Kombinatorika:

• Aljabar:

  • Manipulasi dan penyederhanaan ekspresi faktorial.
  • Menggunakan sifat-sifat faktorial dalam berbagai perhitungan aljabar.

• Kombinatorika:

  • Menghitung jumlah cara pengaturan dan pemilihan objek dalam masalah kombinatorial.
  • Menggunakan koefisien binomial dalam ekspansi binomial dan analisis kombinatorial.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah mempelajari cara menghitung pecahan faktorial dengan mudah. Kunci utamanya adalah memahami konsep faktorial, membuat daftar bilangan asli, mengalikan semua bilangan dalam daftar, dan menyederhanakan pecahan jika hasilnya terlalu besar.

Dengan memahami konsep ini, Anda dapat dengan mudah menghitung pecahan faktorial untuk berbagai nilai n. Ingatlah, pecahan faktorial sering muncul dalam soal-soal matematika kelas 12, sehingga kemampuan menghitung pecahan faktorial ini akan sangat berguna.

Selamat berlatih dan semoga artikel ini bermanfaat bagi Anda!