Cara Menentukan Turunan Fungsi U pangkat n
Pengantar
Dalam matematika, salah satu konsep penting yang sering dibahas adalah turunan fungsi. Turunan fungsi merupakan alat yang sangat berguna untuk menganalisis perilaku suatu fungsi, seperti menentukan titik kritis, nilai maksimum atau minimum, serta berbagai aplikasi lainnya dalam kalkulus.
Salah satu jenis fungsi yang sering ditemui adalah fungsi dengan bentuk u^n, di mana u adalah variabel dan n adalah bilangan real. Menentukan turunan dari fungsi seperti ini memiliki aturan khusus yang disebut aturan pangkat. Dalam artikel ini, kita akan membahas secara rinci bagaimana cara menentukan turunan dari fungsi u^n.
Apa itu Turunan Fungsi?
Sebelum kita membahas cara menentukan turunan fungsi u^n, no ada baiknya kita memahami dulu apa itu turunan fungsi secara umum.
Turunan fungsi didefinisikan sebagai laju perubahan suatu fungsi terhadap perubahan variabelnya. Secara matematis, turunan fungsi f(x) terhadap variabel x dinotasikan sebagai f'(x) atau df/dx. Turunan fungsi menggambarkan kemiringan garis singgung pada suatu titik pada kurva fungsi tersebut.
Menentukan turunan fungsi merupakan salah satu topik penting dalam kalkulus diferensial. Dengan mengetahui turunan fungsi, kita dapat menganalisis sifat-sifat fungsi, seperti titik kritis, nilai maksimum atau minimum, serta kemonotonan fungsi.
Aturan Pangkat untuk Menentukan Turunan Fungsi u^n
Nah, sekarang kita akan fokus pada cara menentukan turunan fungsi u^n. Untuk fungsi u^n, berlaku aturan pangkat dalam menentukan turunannya, yaitu:
d/dx (u^n) = n * u^(n-1) * du/dx
Di mana:
- u adalah variabel fungsi
- n adalah bilangan real (bisa bulat, pecahan, atau negatif)
- du/dx adalah turunan u terhadap x
Aturan ini dapat diturunkan dari konsep limit dan teorema rantai dalam kalkulus diferensial. Ayo, kita pelajari lebih lanjut dengan beberapa contoh!
Contoh 1: Menentukan Turunan Fungsi u^2
Misalkan kita memiliki fungsi f(x) = u^2, di mana u = 3x + 2.
Untuk menentukan turunan f(x), kita dapat menggunakan aturan pangkat:
d/dx (u^2) = 2 * u^(2-1) * du/dx = 2 * u^1 * du/dx = 2 * (3x + 2) * 3 = 18x + 12
Jadi, turunan fungsi f(x) = u^2, dengan u = 3x + 2, adalah f'(x) = 18x + 12.
Contoh 2: Menentukan Turunan Fungsi u^-3
Misalkan kita memiliki fungsi g(x) = u^-3, di mana u = 2x - 1.
Untuk menentukan turunan g(x), kita dapat menggunakan aturan pangkat:
d/dx (u^-3) = -3 * u^(-3-1) * du/dx = -3 * u^-4 * du/dx = -3 * (2x - 1)^-4 * 2 = -6 * (2x - 1)^-4
Jadi, turunan fungsi g(x) = u^-3, dengan u = 2x - 1, adalah g'(x) = -6 * (2x - 1)^-4.
Contoh 3: Menentukan Turunan Fungsi u^1/2
Misalkan kita memiliki fungsi h(x) = u^(1/2), di mana u = 4x^2 + 1.
Untuk menentukan turunan h(x), kita dapat menggunakan aturan pangkat:
d/dx (u^(1/2)) = 1/2 * u^(1/2-1) * du/dx = 1/2 * u^(-1/2) * du/dx = 1/2 * (4x^2 + 1)^(-1/2) * 8x = 4x / sqrt(4x^2 + 1)
Jadi, turunan fungsi h(x) = u^(1/2), dengan u = 4x^2 + 1, adalah h'(x) = 4x / sqrt(4x^2 + 1).
Contoh 4: Menentukan Turunan Fungsi u^n dengan n Bilangan Bulat Negatif
Misalkan kita memiliki fungsi i(x) = u^-4, di mana u = x^2 + 3.
Untuk menentukan turunan i(x), kita dapat menggunakan aturan pangkat:
d/dx (u^-4) = -4 * u^(-4-1) * du/dx = -4 * u^-5 * du/dx = -4 * (x^2 + 3)^-5 * 2x = -8x / (x^2 + 3)^5
Jadi, turunan fungsi i(x) = u^-4, dengan u = x^2 + 3, adalah i'(x) = -8x / (x^2 + 3)^5.
Contoh 5: Menentukan Turunan Fungsi u^n dengan n Bilangan Pecahan
Misalkan kita memiliki fungsi j(x) = u^(1/3), di mana u = 5x - 2.
Untuk menentukan turunan j(x), kita dapat menggunakan aturan pangkat:
d/dx (u^(1/3)) = 1/3 * u^(1/3-1) * du/dx = 1/3 * u^(-2/3) * du/dx = 1/3 * (5x - 2)^(-2/3) * 5 = 5/3 * (5x - 2)^(-2/3)
Jadi, turunan fungsi j(x) = u^(1/3), dengan u = 5x - 2, adalah j'(x) = 5/3 * (5x - 2)^(-2/3).
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah mempelajari cara menentukan turunan fungsi u^n dengan menggunakan aturan pangkat. Aturan ini berlaku untuk berbagai bentuk fungsi, baik dengan n bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, maupun bilangan pecahan.
Dengan memahami aturan pangkat ini, kita dapat dengan mudah menentukan turunan dari berbagai jenis fungsi aljabar yang melibatkan variabel u yang dipangkatkan. Penguasaan terhadap aturan turunan ini sangat penting dalam mempelajari kalkulus diferensial dan menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan konsep turunan.
Jika Anda masih merasa kesulitan, jangan ragu untuk mempraktikkan lebih banyak contoh soal. Semakin banyak Anda berlatih, semakin mahir Anda akan menjadi dalam menentukan turunan fungsi u^n.