6 Soal Kursi Melingkar Kombinatorika dengan Pembahasan

 

6 Soal Kursi Melingkar Kombinatorika dengan Pembahasan

Pengantar

Kombinatorika adalah cabang matematika yang mempelajari cara menghitung jumlah kemungkinan atau cara-cara yang berbeda untuk melakukan suatu kegiatan. Salah satu topik penting dalam kombinatorika adalah masalah kursi melingkar, di mana orang-orang duduk di kursi dalam bentuk lingkaran.

Dalam artikel ini, kita akan membahas 6 soal menarik terkait kursi melingkar dalam kombinatorika, beserta pembahasan dan jawaban lengkapnya. Soal-soal ini akan membantu Anda memahami konsep dasar dan teknik penyelesaian masalah kombinatorika pada situasi kursi melingkar.

Soal 1: Kursi Melingkar dengan Pembeda

Diberikan 5 kursi yang disusun dalam bentuk lingkaran. Jika ada 3 orang yang akan duduk di kursi-kursi tersebut, berapa banyak cara yang berbeda untuk mereka duduk?

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mempertimbangkan bahwa kursi-kursi tersebut memiliki pembeda, artinya setiap kursi dianggap berbeda satu sama lain. Dengan demikian, kita dapat menggunakan prinsip perkalian untuk menghitung jumlah kemungkinan.

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Ada 5 kursi yang tersedia.
2. Orang pertama dapat duduk di salah satu dari 5 kursi tersebut, sehingga ada 5 pilihan.
3. Setelah orang pertama duduk, tersisa 4 kursi untuk orang kedua. Jadi, orang kedua memiliki 4 pilihan.
4. Tersisa 3 kursi untuk orang ketiga, sehingga orang ketiga memiliki 3 pilihan.
5. Jumlah total kemungkinan adalah 5 x 4 x 3 = 60 cara.

Jadi, ada 60 cara yang berbeda untuk 3 orang duduk di 5 kursi melingkar.

Soal 2: Kursi Melingkar tanpa Pembeda

Diberikan 5 kursi yang disusun dalam bentuk lingkaran. Jika ada 3 orang yang akan duduk di kursi-kursi tersebut, dan kursi-kursi tersebut tidak memiliki pembeda, berapa banyak cara yang berbeda untuk mereka duduk?

Pembahasan:

Dalam soal ini, kursi-kursi dianggap tidak memiliki pembeda, artinya setiap kursi dianggap sama satu sama lain. Hal ini membuat perhitungannya sedikit berbeda dengan soal sebelumnya.

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Ada 5 kursi yang tersedia.
2. Orang pertama dapat duduk di salah satu dari 5 kursi tersebut, sehingga ada 5 pilihan.
3. Setelah orang pertama duduk, tersisa 4 kursi untuk orang kedua. Jadi, orang kedua memiliki 4 pilihan.
4. Tersisa 3 kursi untuk orang ketiga, sehingga orang ketiga memiliki 3 pilihan.
5. Namun, karena kursi-kursi tidak memiliki pembeda, kita perlu membagi jumlah total kemungkinan dengan 3! (3 factorial) untuk menghilangkan permutasi orang-orang.
6. Jumlah total kemungkinan adalah (5 x 4 x 3) / 3! = 10 cara.

Jadi, ada 10 cara yang berbeda untuk 3 orang duduk di 5 kursi melingkar tanpa pembeda.

Soal 3: Kursi Melingkar dengan Warna Berbeda

Diberikan 5 kursi yang disusun dalam bentuk lingkaran, di mana 3 kursi berwarna merah dan 2 kursi berwarna biru. Jika ada 3 orang yang akan duduk di kursi-kursi tersebut, berapa banyak cara yang berbeda untuk mereka duduk?

Pembahasan:

Dalam soal ini, kita perlu mempertimbangkan bahwa kursi-kursi memiliki warna yang berbeda, sehingga kita tidak dapat mengabaikan pembedanya.

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Ada 5 kursi yang tersedia, terdiri dari 3 kursi merah dan 2 kursi biru.
2. Orang pertama dapat duduk di salah satu dari 5 kursi tersebut, sehingga ada 5 pilihan.
3. Setelah orang pertama duduk, tersisa 4 kursi untuk orang kedua. Jadi, orang kedua memiliki 4 pilihan.
4. Tersisa 3 kursi untuk orang ketiga, sehingga orang ketiga memiliki 3 pilihan.
5. Namun, karena kursi-kursi memiliki warna yang berbeda, kita perlu membagi jumlah total kemungkinan dengan 3! (3 factorial) untuk menghilangkan permutasi orang-orang.
6. Jumlah total kemungkinan adalah (5 x 4 x 3) / 3! = 10 cara.

Jadi, ada 10 cara yang berbeda untuk 3 orang duduk di 5 kursi melingkar dengan 3 kursi merah dan 2 kursi biru.

Soal 4: Kursi Melingkar dengan Pembatas

Diberikan 8 kursi yang disusun dalam bentuk lingkaran, di mana ada 2 pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian. Jika ada 4 orang yang akan duduk di kursi-kursi tersebut, berapa banyak cara yang berbeda untuk mereka duduk?

Pembahasan:

Dalam soal ini, kita perlu mempertimbangkan adanya pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian. Hal ini akan mempengaruhi jumlah kemungkinan yang dapat terjadi.

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Ada 8 kursi yang tersedia, dengan 2 pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian.
2. Orang pertama dapat duduk di salah satu dari 8 kursi tersebut, sehingga ada 8 pilihan.
3. Setelah orang pertama duduk, tersisa 7 kursi untuk orang kedua. Jadi, orang kedua memiliki 7 pilihan.
4. Tersisa 6 kursi untuk orang ketiga, sehingga orang ketiga memiliki 6 pilihan.
5. Tersisa 5 kursi untuk orang keempat, sehingga orang keempat memiliki 5 pilihan.
6. Namun, karena ada pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian, kita perlu membagi jumlah total kemungkinan dengan 4! (4 factorial) untuk menghilangkan permutasi orang-orang.
7. Jumlah total kemungkinan adalah (8 x 7 x 6 x 5) / 4! = 70 cara.

Jadi, ada 70 cara yang berbeda untuk 4 orang duduk di 8 kursi melingkar dengan 2 pembatas.

Soal 5: Kursi Melingkar dengan Pembatas dan Warna Berbeda

Diberikan 8 kursi yang disusun dalam bentuk lingkaran, di mana ada 2 pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian. Selain itu, 4 kursi berwarna merah dan 4 kursi berwarna biru. Jika ada 4 orang yang akan duduk di kursi-kursi tersebut, berapa banyak cara yang berbeda untuk mereka duduk?

Pembahasan:

Dalam soal ini, kita perlu mempertimbangkan adanya pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian, serta warna kursi yang berbeda-beda.

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Ada 8 kursi yang tersedia, terdiri dari 4 kursi merah dan 4 kursi biru, dengan 2 pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian.
2. Orang pertama dapat duduk di salah satu dari 8 kursi tersebut, sehingga ada 8 pilihan.
3. Setelah orang pertama duduk, tersisa 7 kursi untuk orang kedua. Jadi, orang kedua memiliki 7 pilihan.
4. Tersisa 6 kursi untuk orang ketiga, sehingga orang ketiga memiliki 6 pilihan.
5. Tersisa 5 kursi untuk orang keempat, sehingga orang keempat memiliki 5 pilihan.
6. Namun, karena ada pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian, serta kursi-kursi memiliki warna yang berbeda, kita perlu membagi jumlah total kemungkinan dengan 4! (4 factorial) untuk menghilangkan permutasi orang-orang.
7. Jumlah total kemungkinan adalah (8 x 7 x 6 x 5) / 4! = 70 cara.

Jadi, ada 70 cara yang berbeda untuk 4 orang duduk di 8 kursi melingkar dengan 2 pembatas dan 4 kursi merah serta 4 kursi biru.

Soal 6: Kursi Melingkar dengan Pembatas dan Pembeda

Diberikan 8 kursi yang disusun dalam bentuk lingkaran, di mana ada 2 pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian. Selain itu, setiap kursi memiliki pembeda (dianggap berbeda satu sama lain). Jika ada 4 orang yang akan duduk di kursi-kursi tersebut, berapa banyak cara yang berbeda untuk mereka duduk?

Pembahasan:

Dalam soal ini, kita perlu mempertimbangkan adanya pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian, serta setiap kursi memiliki pembeda.

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Ada 8 kursi yang tersedia, dengan 2 pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian, dan setiap kursi memiliki pembeda.
2. Orang pertama dapat duduk di salah satu dari 8 kursi tersebut, sehingga ada 8 pilihan.
3. Setelah orang pertama duduk, tersisa 7 kursi untuk orang kedua. Jadi, orang kedua memiliki 7 pilihan.
4. Tersisa 6 kursi untuk orang ketiga, sehingga orang ketiga memiliki 6 pilihan.
5. Tersisa 5 kursi untuk orang keempat, sehingga orang keempat memiliki 5 pilihan.
6. Karena ada pembatas yang memisahkan lingkaran menjadi 3 bagian, serta setiap kursi memiliki pembeda, kita tidak perlu membagi jumlah total kemungkinan dengan 4! (4 factorial).
7. Jumlah total kemungkinan adalah 8 x 7 x 6 x 5 = 1680 cara.

Jadi, ada 1680 cara yang berbeda untuk 4 orang duduk di 8 kursi melingkar dengan 2 pembatas dan setiap kursi memiliki pembeda.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas 6 soal menarik terkait kursi melingkar dalam kombinatorika, beserta pembahasan dan jawaban lengkapnya. Soal-soal tersebut mencakup berbagai situasi, seperti kursi dengan pembeda, tanpa pembeda, dengan warna berbeda, dengan pembatas, serta kombinasi dari beberapa karakteristik.

Memahami konsep dasar dan teknik penyelesaian masalah kombinatorika pada situasi kursi melingkar sangat penting, terutama dalam menghadapi soal-soal yang lebih kompleks. Dengan latihan dan pemahaman yang baik, Anda akan semakin mahir dalam menyelesaikan berbagai jenis masalah kombinatorika.

Jika Anda memiliki pertanyaan atau membutuhkan penjelasan lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya. Saya akan dengan senang hati membantu Anda memahami konsep-konsep kombinatorika lebih dalam.