5 Soal Turunan Implisit Kalkulus dengan Pembahasan dan Jawaban

 

5 Soal Turunan Implisit Kalkulus dengan Pembahasan dan Jawaban

Pendahuluan

Turunan implisit adalah teknik turunan yang digunakan untuk mencari turunan dari fungsi implisit, yaitu fungsi yang tidak dinyatakan secara eksplisit dalam bentuk y = f(x). Dalam kalkulus, memahami konsep turunan implisit sangat penting, terutama untuk memecahkan masalah yang melibatkan hubungan antara dua atau lebih variabel.

Dalam artikel ini, kita akan membahas 5 soal turunan implisit kalkulus lengkap dengan pembahasan dan jawabannya. Dengan mempelajari contoh-contoh soal ini, Anda akan semakin mahir dalam menyelesaikan persoalan turunan implisit.

Soal 1: Turunan Implisit Fungsi Kuadrat

Diberikan persamaan implisit: x^2 + y^2 = 25

a. Tentukan turunan implisit dari persamaan tersebut. b. Hitunglah nilai dy/dx saat x = 3 dan y = 4.

Pembahasan

a. Untuk mencari turunan implisit dari persamaan x^2 + y^2 = 25, kita dapat menggunakan aturan diferensiasi implisit.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Diferensiasikan kedua ruas persamaan terhadap x: 2x + 2y * (dy/dx) = 0
2. Sederhanakan persamaan untuk mendapatkan turunan implisit dy/dx: dy/dx = -x/y

b. Untuk menghitung nilai dy/dx saat x = 3 dan y = 4, kita tinggal memasukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus yang telah ditemukan:

dy/dx = -x/y dy/dx = -(3)/4 dy/dx = -0,75

Jadi, nilai dy/dx saat x = 3 dan y = 4 adalah -0,75.

Soal 2: Turunan Implisit Fungsi Trigonometri

Diberikan persamaan implisit: sin(x) + cos(y) = 1

a. Tentukan turunan implisit dari persamaan tersebut. b. Hitunglah nilai dy/dx saat x = π/4 dan y = π/4.

Pembahasan

a. Untuk mencari turunan implisit dari persamaan sin(x) + cos(y) = 1, kita dapat menggunakan aturan diferensiasi implisit.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Diferensiasikan kedua ruas persamaan terhadap x: cos(x) + (-sin(y)) * (dy/dx) = 0
2. Sederhanakan persamaan untuk mendapatkan turunan implisit dy/dx: dy/dx = -cot(x) / cot(y)

b. Untuk menghitung nilai dy/dx saat x = π/4 dan y = π/4, kita tinggal memasukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus yang telah ditemukan:

dy/dx = -cot(x) / cot(y) dy/dx = -(cot(π/4)) / (cot(π/4)) dy/dx = -1

Jadi, nilai dy/dx saat x = π/4 dan y = π/4 adalah -1.

Soal 3: Turunan Implisit Fungsi Eksponensial

Diberikan persamaan implisit: x^2 * e^y = 25

a. Tentukan turunan implisit dari persamaan tersebut. b. Hitunglah nilai dy/dx saat x = 5 dan y = 3.

Pembahasan

a. Untuk mencari turunan implisit dari persamaan x^2 * e^y = 25, kita dapat menggunakan aturan diferensiasi implisit.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Diferensiasikan kedua ruas persamaan terhadap x: 2x * e^y + x^2 * e^y * (dy/dx) = 0
2. Sederhanakan persamaan untuk mendapatkan turunan implisit dy/dx: dy/dx = -2x / (x^2 * e^y)

b. Untuk menghitung nilai dy/dx saat x = 5 dan y = 3, kita tinggal memasukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus yang telah ditemukan:

dy/dx = -2x / (x^2 * e^y) dy/dx = -(2 * 5) / (5^2 * e^3) dy/dx = -0,4 / (25 * e^3)

Jadi, nilai dy/dx saat x = 5 dan y = 3 adalah -0,4 / (25 * e^3).

Soal 4: Turunan Implisit Fungsi Rasional

Diberikan persamaan implisit: x^2 / y + y / x = 4

a. Tentukan turunan implisit dari persamaan tersebut. b. Hitunglah nilai dy/dx saat x = 2 dan y = 1.

Pembahasan

a. Untuk mencari turunan implisit dari persamaan x^2 / y + y / x = 4, kita dapat menggunakan aturan diferensiasi implisit.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Diferensiasikan kedua ruas persamaan terhadap x: (2x/y) - (x^2/y^2) * (dy/dx) + (1/x) - (y/x^2) * (dy/dx) = 0
2. Sederhanakan persamaan untuk mendapatkan turunan implisit dy/dx: dy/dx = (2x/y - 1/x) / (x^2/y^2 + y/x^2)

b. Untuk menghitung nilai dy/dx saat x = 2 dan y = 1, kita tinggal memasukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus yang telah ditemukan:

dy/dx = (2x/y - 1/x) / (x^2/y^2 + y/x^2) dy/dx = (2 * 2/1 - 1/2) / (2^2/1^2 + 1/2^2) dy/dx = (4 - 0,5) / (4 + 0,25) dy/dx = 3,5 / 4,25 dy/dx = 0,823529

Jadi, nilai dy/dx saat x = 2 dan y = 1 adalah 0,823529.

Soal 5: Turunan Implisit Fungsi Logaritmik

Diberikan persamaan implisit: ln(x) + ln(y) = 3

a. Tentukan turunan implisit dari persamaan tersebut. b. Hitunglah nilai dy/dx saat x = e^2 dan y = e.

Pembahasan

a. Untuk mencari turunan implisit dari persamaan ln(x) + ln(y) = 3, kita dapat menggunakan aturan diferensiasi implisit.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Diferensiasikan kedua ruas persamaan terhadap x: (1/x) + (1/y) * (dy/dx) = 0
2. Sederhanakan persamaan untuk mendapatkan turunan implisit dy/dx: dy/dx = -x/y

b. Untuk menghitung nilai dy/dx saat x = e^2 dan y = e, kita tinggal memasukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus yang telah ditemukan:

dy/dx = -x/y dy/dx = -(e^2)/e dy/dx = -e

Jadi, nilai dy/dx saat x = e^2 dan y = e adalah -e.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah mempelajari 5 soal turunan implisit kalkulus lengkap dengan pembahasan dan jawabannya. Melalui contoh-contoh soal ini, kita dapat memahami bagaimana menerapkan konsep turunan implisit untuk menyelesaikan permasalahan yang melibatkan hubungan antara dua atau lebih variabel.

Dengan terus berlatih soal-soal turunan implisit, Anda akan semakin mahir dalam menguasai teknik ini dan dapat mengaplikasikannya dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan ilmu-ilmu lainnya. Semoga artikel ini bermanfaat bagi Anda!