5 Soal Susunan Keluarga Kombinatorika Beserta Jawaban

Artikel: 5 Soal Susunan Keluarga Kombinatorika Beserta Jawaban

Soal 1: Susunan Kursi

Soal:
Sebuah keluarga terdiri dari 5 anggota: Ayah, Ibu, Anak A, Anak B, dan Anak C. Berapa banyak cara mereka bisa duduk di lima kursi dalam satu baris?

Pembahasan:

Untuk menentukan jumlah cara mereka bisa duduk, kita perlu menghitung jumlah permutasi dari 5 orang.

Jumlah permutasi dari 5 orang adalah:

$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$ 

Jawaban: Ada 120 cara untuk menyusun 5 anggota keluarga di lima kursi dalam satu baris.

Soal 2: Susunan Kursi dengan Anak A dan Anak B Harus Bersebelahan

Soal:
Berapa banyak cara yang mungkin jika Anak A dan Anak B harus duduk bersebelahan?

Pembahasan:

Kita dapat menganggap Anak A dan Anak B sebagai satu unit, sehingga kita memiliki 4 unit untuk diatur: (Anak A dan Anak B), Ibu, Ayah, dan Anak C.

Jumlah permutasi dari 4 unit adalah:

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$ 

Karena Anak A dan Anak B dapat ditukar tempatnya dalam unit mereka, ada 2 cara untuk mengatur mereka dalam unit tersebut.

Total cara adalah:

$$4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$$ 

Jawaban: Ada 48 cara untuk menyusun 5 anggota keluarga dengan Anak A dan Anak B selalu duduk bersebelahan.

Soal 3: Susunan Kursi dengan Ayah dan Ibu Tidak Boleh Bersebelahan

Soal:
Berapa banyak cara jika Ayah dan Ibu tidak boleh duduk bersebelahan?

Pembahasan:

Pertama, kita hitung total jumlah susunan tanpa pembatasan:

$$5! = 120$$ 

Kemudian, kita hitung jumlah susunan di mana Ayah dan Ibu duduk bersebelahan.

Kita dapat menganggap Ayah dan Ibu sebagai satu unit, sehingga kita memiliki 4 unit untuk diatur: (Ayah dan Ibu), Anak A, Anak B, dan Anak C.

Jumlah permutasi dari 4 unit adalah:

$$4! = 24$$ 

Ayah dan Ibu dapat ditukar tempatnya dalam unit mereka, jadi ada 2 cara untuk mengatur mereka dalam unit tersebut.

Total cara dengan Ayah dan Ibu bersebelahan adalah:

$$4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$$ 

Jumlah cara di mana Ayah dan Ibu tidak bersebelahan adalah:

$$120 - 48 = 72$$ 

Jawaban: Ada 72 cara untuk menyusun 5 anggota keluarga dengan Ayah dan Ibu tidak duduk bersebelahan.

Soal 4: Pembagian Kelompok dengan Syarat

Soal:
Sebuah keluarga terdiri dari 6 anggota: Ayah, Ibu, Anak A, Anak B, Anak C, dan Anak D. Berapa banyak cara membagi mereka menjadi dua kelompok yang masing-masing terdiri dari 3 orang jika Ayah dan Ibu harus berada dalam kelompok yang berbeda?

Pembahasan:

Pertama, kita hitung jumlah cara membagi 6 anggota menjadi dua kelompok yang masing-masing terdiri dari 3 orang tanpa syarat tambahan.

Jumlah cara adalah kombinasi dari 6 memilih 3:

$$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = 20$$ 

Namun, setiap pembagian dihitung dua kali (karena urutan kelompok tidak penting), jadi jumlah cara yang unik adalah:

$$\frac{20}{2} = 10$$ 

Sekarang kita hitung jumlah cara jika Ayah dan Ibu harus berada dalam kelompok yang sama.

Pilih 1 dari 2 kelompok untuk Ayah dan Ibu, ada 2 cara. Kemudian, pilih 1 dari 4 orang yang tersisa untuk bergabung dengan mereka:

$$2 \times \binom{4}{1} = 2 \times 4 = 8$$ 

Jumlah cara untuk membagi menjadi dua kelompok dengan Ayah dan Ibu dalam kelompok yang berbeda adalah:

$$10 - 8 = 2$$ 

Jawaban: Ada 2 cara untuk membagi 6 anggota keluarga menjadi dua kelompok yang masing-masing terdiri dari 3 orang jika Ayah dan Ibu harus berada dalam kelompok yang berbeda.

Soal 5: Susunan Anak-Anak

Soal:
Sebuah keluarga terdiri dari 4 anak: Anak A, Anak B, Anak C, dan Anak D. Berapa banyak cara untuk menyusun mereka dalam satu baris jika Anak A harus berada di posisi pertama?

Pembahasan:

Jika Anak A harus berada di posisi pertama, kita hanya perlu menyusun 3 anak yang tersisa.

Jumlah permutasi dari 3 anak adalah:

$$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$ 

Jawaban: Ada 6 cara untuk menyusun 4 anak dalam satu baris jika Anak A harus berada di posisi pertama.

Kesimpulan

Melalui lima soal di atas, kita telah melihat berbagai teknik kombinatorika yang dapat digunakan untuk menghitung susunan anggota keluarga dalam konteks yang berbeda. Dari permutasi hingga kombinasi, setiap teknik memberikan cara yang sistematis untuk menentukan jumlah susunan yang mungkin. Dengan memahami prinsip-prinsip dasar ini, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah kombinatorika dengan lebih mudah.