5 Soal Persamaan Diferensial dengan Kondisi Batas

5 Soal Persamaan Diferensial dengan Kondisi Batas Kalkulus Beserta Pembahasan Metode dan Jawabannya

Persamaan diferensial dengan kondisi batas adalah masalah matematika yang sering muncul dalam berbagai bidang ilmu, seperti fisika, teknik, dan ekonomi. Kondisi batas memberikan informasi tambahan yang membantu dalam menemukan solusi yang unik untuk persamaan diferensial. Dalam artikel ini, kita akan membahas lima soal persamaan diferensial dengan kondisi batas beserta metode penyelesaiannya dan jawabannya.

Soal 1: Persamaan Diferensial Orde Pertama

Soal: Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan kondisi batas yang diberikan: $y^{\mathrm{\prime }}+y=e^{-x},y(0)=\mathrm{1 }$

Metode Penyelesaian:

1. Metode Integrating Factor:

   • Bentuk umum persamaan: $y' + p(x)y = q(x)$ 
   • Di sini, $p(x)=\mathrm{1\; dan }$$q(x) = e^{-x}$ 
   • Integrating factor $\mu(x) = e^{\int p(x) \, dx} = e^{x}$

2.  Menerapkan Integrating Factor:

   $$e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}e^{-x} \implies (e^{x}y)' = 1$$

3. Integrasi:

   $$e^{x}y = \int 1 \, dx \implies e^{x}y = x + C$$ 

4. Menerapkan Kondisi Batas:

   $$y(0) = 1 \implies e^{0} \cdot 1 = 0 + C \implies C = 1$$ 

5. Solusi Akhir:

   $$e^{x}y = x + 1 \implies y = e^{-x}(x + 1)$$ 

Jawaban: $y = e^{-x}(x + 1)$ 

Soal 2: Persamaan Diferensial Orde Kedua Homogen

Soal: Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan kondisi batas yang diberikan: $y'' - 3y' + 2y = 0, \quad y(0) = 2, \quad y'(0) = 0$ 

Metode Penyelesaian:

1. Bentuk Karakteristik:

   $$r^2 - 3r + 2 = 0$$ 
   
   • Faktorkan persamaan karakteristik:
   $$(r - 1)(r - 2) = 0 \implies r = 1, 2$$ 

2. Solusi Umum:

   $$y(x) = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$$ 

3. Menerapkan Kondisi Batas:

   • Dari $y(0) = 2$ 

     $$C_1 + C_2 = 2$$ 

   • Dari $y'(0) = 0$ 

     $$y'(x) = C_1e^{x} + 2C_2e^{2x}$$ 
     $$y'(0) = C_1 + 2C_2 = 0$$ 

4. Sistem Persamaan:

   $$\begin{cases} C_1 + C_2 = 2 \\ C_1 + 2C_2 = 0 \end{cases}$$

5. Menyelesaikan Sistem:

   $$C_2 = -2, \quad C_1 = 4$$ 

6. Solusi Akhir:

   $$y(x) = 4e^{x} - 2e^{2x}$$ 

Jawaban: $y(x) = 4e^{x} - 2e^{2x}$ 

Soal 3: Persamaan Diferensial Orde Kedua Non-Homogen

Soal: Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan kondisi batas yang diberikan: $y'' + y = \sin x, \quad y(0) = 0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ 

Metode Penyelesaian:

1. Solusi Homogen:

   $$y_h'' + y_h = 0 \implies y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x$$ 

2. Solusi Particular:

   • Asumsikan $y_p = A \sin x$ , karena $\sin x$ adalah solusi dari persamaan diferensial non-homogen.
   $$y_p'' + y_p = \sin x \implies -A \sin x + A \sin x = \sin x \implies A = -1$$ 

3. Solusi Total:

   $$y = y_h + y_p \implies y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \sin x$$ 

4. Menerapkan Kondisi Batas:

   • Dari $y(0) = 0$ 

     $$C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 - \sin 0 = 0 \implies C_1 = 0$$ 

   • Dari $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ 

     $$C_2 \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} = 0 \implies C_2 - 1 = 0 \implies C_2 = 1$$ 

5. Solusi Akhir:

   $$y = \sin x - \sin x = 0$$ 

Jawaban: $y = \sin x - \sin x = 0$ 

Soal 4: Persamaan Diferensial Orde Pertama Non-Homogen

Soal: Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan kondisi batas yang diberikan: $y^{\mathrm{\prime }}+2y=3,y(1)=\mathrm{1 }$

Metode Penyelesaian:

1. Metode Integrating Factor:

   • Integrating factor $\mu (x)=e^{\int 2dx}=e^{2\mathrm{x }}$

2. Menerapkan Integrating Factor:

   $$e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 3e^{2x} \implies (e^{2x}y)' = 3e^{2x}$$ 

3. Integrasi:

   $$e^{2x}y = \int 3e^{2x} \, dx = \frac{3}{2}e^{2x} + C$$ 

4. Solusi Umum:

   $$y = \frac{3}{2} + Ce^{-2x}$$ 

5. Menerapkan Kondisi Batas:

   $$y(1) = 1 \implies \frac{3}{2} + Ce^{-2} = 1 \implies C = 1 - \frac{3}{2}e^{2}$$ 

6. Solusi Akhir:

   $$y = \frac{3}{2} + \left(1 - \frac{3}{2}e^{2}\right)e^{-2x}$$ 

Jawaban: $y = \frac{3}{2} + \left(1 - \frac{3}{2}e^{2}\right)e^{-2x}$ 

Soal 5: Persamaan Diferensial Orde Kedua dengan Syarat Awal

Soal: Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan kondisi batas yang diberikan: $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=0,y(0)=2,y^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{\pi }{4}\right)=\mathrm{0 }$

Metode Penyelesaian:

1. Bentuk Karakteristik:

   $$r^2 + 4 = 0 \implies r = \pm 2i$$ 

2. Solusi Umum:

   $$y(x) = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$$ 

3. Menerapkan Kondisi Batas:

   • Dari $y(0) = 2$:

     $$C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 = 2 \implies C_1 = 2$$ 

   • Dari $y'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$:

     $$y' = -2C_1 \sin 2x + 2C_2 \cos 2x$$