5 Soal Kombinatorika tentang Papan Catur Beserta Soal dan Pembahasan

5 Soal Kombinatorika tentang Papan Catur Beserta Soal dan Pembahasan

Pendahuluan

Papan catur adalah salah satu permainan klasik yang populer di seluruh dunia. Permainan ini terdiri dari 64 kotak yang disusun dalam 8 baris dan 8 kolom, dengan warna hitam dan putih yang bergantian. Permainan ini melibatkan konsep kombinatorika, yaitu cabang matematika yang mempelajari cara menghitung jumlah kemungkinan atau kombinasi dari suatu himpunan.

Dalam artikel ini, kita akan membahas 5 soal kombinatorika yang berkaitan dengan papan catur. Setiap soal akan disertai dengan penjelasan dan pembahasan yang rinci, sehingga Anda dapat memahami konsep dan aplikasinya dengan lebih baik.

Soal 1: Menghitung Jumlah Kotak pada Papan Catur

Pertanyaan: Berapa jumlah kotak pada sebuah papan catur?

Pembahasan: Papan catur terdiri dari 8 baris dan 8 kolom, sehingga total jumlah kotak pada papan catur adalah:

• Jumlah baris x Jumlah kolom = 8 x 8 = 64 kotak

Jadi, jumlah kotak pada sebuah papan catur adalah 64 kotak.

Soal 2: Menghitung Jumlah Diagonal pada Papan Catur

Pertanyaan: Berapa jumlah diagonal pada sebuah papan catur?

Pembahasan: Pada papan catur, terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder.

Diagonal utama adalah garis yang menghubungkan sudut kiri atas dengan sudut kanan bawah, atau sudut kanan atas dengan sudut kiri bawah. Jumlah diagonal utama pada papan catur adalah 2.

Diagonal sekunder adalah garis yang menghubungkan sudut kiri bawah dengan sudut kanan atas, atau sudut kanan bawah dengan sudut kiri atas. Jumlah diagonal sekunder pada papan catur juga adalah 2.

Jadi, total jumlah diagonal pada papan catur adalah 2 (diagonal utama) + 2 (diagonal sekunder) = 4 diagonal.

Soal 3: Menghitung Jumlah Cara Meletakkan Ratu pada Papan Catur

Pertanyaan: Berapa jumlah cara meletakkan ratu pada sebuah papan catur, jika ratu tidak boleh saling mengancam?

Pembahasan: Untuk meletakkan ratu pada papan catur tanpa saling mengancam, kita harus memastikan bahwa tidak ada ratu yang berada di baris, kolom, atau diagonal yang sama.

Pada papan catur 8x8, kita dapat meletakkan ratu di setiap baris, namun hanya ada 8 kolom yang berbeda. Jadi, jumlah cara meletakkan ratu tanpa saling mengancam adalah:

• 8 (baris) x 8 (kolom) = 64 cara

Jadi, jumlah cara meletakkan ratu pada papan catur tanpa saling mengancam adalah 64 cara.

Soal 4: Menghitung Jumlah Cara Meletakkan 2 Ratu pada Papan Catur

Pertanyaan: Berapa jumlah cara meletakkan 2 ratu pada sebuah papan catur, jika ratu tidak boleh saling mengancam?

Pembahasan: Untuk meletakkan 2 ratu pada papan catur tanpa saling mengancam, kita harus memastikan bahwa tidak ada ratu yang berada di baris, kolom, atau diagonal yang sama.

Pertama, kita dapat meletakkan ratu pertama di 64 kotak yang tersedia. Kemudian, kita harus mencari 63 kotak yang tersisa untuk meletakkan ratu kedua, dengan memastikan bahwa ratu kedua tidak saling mengancam dengan ratu pertama.

Jadi, jumlah cara meletakkan 2 ratu tanpa saling mengancam adalah:

• 64 (ratu pertama) x 63 (ratu kedua) = 4.032 cara

Jadi, jumlah cara meletakkan 2 ratu pada papan catur tanpa saling mengancam adalah 4.032 cara.

Soal 5: Menghitung Jumlah Cara Meletakkan 3 Ratu pada Papan Catur

Pertanyaan: Berapa jumlah cara meletakkan 3 ratu pada sebuah papan catur, jika ratu tidak boleh saling mengancam?

Pembahasan: Untuk meletakkan 3 ratu pada papan catur tanpa saling mengancam, kita harus memastikan bahwa tidak ada ratu yang berada di baris, kolom, atau diagonal yang sama.

Pertama, kita dapat meletakkan ratu pertama di 64 kotak yang tersedia. Kemudian, kita harus mencari 63 kotak yang tersisa untuk meletakkan ratu kedua, dengan memastikan bahwa ratu kedua tidak saling mengancam dengan ratu pertama. Setelah itu, kita harus mencari 62 kotak yang tersisa untuk meletakkan ratu ketiga, dengan memastikan bahwa ratu ketiga tidak saling mengancam dengan ratu pertama dan ratu kedua.

Jadi, jumlah cara meletakkan 3 ratu tanpa saling mengancam adalah:

• 64 (ratu pertama) x 63 (ratu kedua) x 62 (ratu ketiga) = 249.984 cara

Jadi, jumlah cara meletakkan 3 ratu pada papan catur tanpa saling mengancam adalah 249.984 cara.

Bonus 5 Soal

1. Soal: Berapa banyak cara untuk meletakkan 8 ratu di atas papan catur 8x8 sehingga tidak ada ratu yang saling menyerang?

   Pembahasan: Diketahui bahwa ratu dapat menyerang ke samping, ke depan, ke belakang, dan diagonal. Oleh karena itu, untuk setiap ratu yang diletakkan, tidak boleh ada ratu lain di baris yang sama, kolom yang sama, atau diagonal dengan ratu tersebut.

   Karena ada 8 ratu dan 64 kotak di papan catur, maka cara untuk meletakkan 8 ratu tersebut tanpa saling menyerang adalah $8!8!$ karena setiap ratu harus diletakkan di baris dan kolom yang berbeda. Namun, perlu diingat bahwa ada beberapa kemungkinan di mana ratu bisa saling menyerang, jadi kita perlu menghitung kembali dengan mengurangi kemungkinan tersebut.

   Jawaban: Ada $8!8!$ - (jumlah kasus di mana ratu saling menyerang) cara untuk meletakkan 8 ratu di papan catur 8x8 sehingga tidak ada yang saling menyerang.

2. Soal: Berapa banyak cara untuk memilih 4 kelereng dari 10 kelereng yang berbeda?

   Pembahasan: Karena kita ingin memilih 4 kelereng dari 10 kelereng yang berbeda, maka kita dapat menggunakan rumus kombinasi. Rumus kombinasi adalah $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}C(n,\; k)\; =\; \backslash frac\{n!\}\{k!(n-k)!\}$, di mana $nn$ adalah jumlah total objek yang dapat dipilih dan $kk$ adalah jumlah objek yang akan dipilih.

   Dalam kasus ini, $n=10n\; =\; 10$ dan $k=4k\; =\; 4$. Sehingga jumlah cara untuk memilih 4 kelereng dari 10 kelereng adalah $C(10,4)=\frac{10!}{4!(10-4)!}C(10,\; 4)\; =\; \backslash frac\{10!\}\{4!(10-4)!\}$.

   Jawaban: Ada 210 cara untuk memilih 4 kelereng dari 10 kelereng yang berbeda.

3. Soal: Berapa banyak kata-kata yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika tidak boleh ada huruf yang diulang?

   Pembahasan: Kata "MATEMATIKA" terdiri dari 10 huruf yang terdiri dari "M", "A", "T", "E", "I", dan "K". Untuk menghitung jumlah kata-kata yang dapat dibuat tanpa huruf yang diulang, kita dapat menggunakan rumus permutasi. Rumus permutasi adalah $P(n)=n!P(n)\; =\; n!$, di mana $nn$ adalah jumlah total huruf yang akan disusun tanpa pengulangan.

   Dalam kasus ini, terdapat 10 huruf dalam kata "MATEMATIKA", sehingga jumlah kata-kata yang dapat dibuat tanpa huruf yang diulang adalah $P(10)=10!P(10)\; =\; 10!$.

   Jawaban: Ada 3.628.800 kata-kata yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika tidak ada huruf yang diulang.

4. Soal: Sebuah tim sepak bola terdiri dari 11 pemain. Berapa cara untuk memilih kapten tim jika salah satu pemain harus menjadi kapten?

   Pembahasan: Karena salah satu pemain harus menjadi kapten, maka kita hanya perlu memilih 1 pemain dari 11 pemain yang ada.

   Jawaban: Ada 11 cara untuk memilih kapten tim dari 11 pemain yang ada.

5. Soal: Berapa banyak cara untuk mengatur 5 buku berbeda di atas rak buku?

   Pembahasan: Karena terdapat 5 buku berbeda yang akan diatur di atas rak buku, maka kita dapat menggunakan rumus permutasi untuk menghitung kemungkinan pengaturan buku-buku tersebut. Rumus permutasi adalah $P(n)=n!P(n)\; =\; n!$, di mana $nn$ adalah jumlah total objek yang akan diatur tanpa pengulangan.

   Dalam kasus ini, terdapat 5 buku berbeda, sehingga jumlah cara untuk mengatur 5 buku berbeda di atas rak buku adalah $P(5)=5!P(5)\; =\; 5!$.

   Jawaban: Ada 120 cara untuk mengatur 5 buku berbeda di atas rak buku.