5 Soal Kalkulus Integral Substitusi Trigonometri dengan Pembahasan dan Jawaban

 

5 Soal Kalkulus Integral Substitusi Trigonometri Lengkap dengan Pembahasan dan Jawaban

Integral substitusi trigonometri adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan integral yang melibatkan bentuk-bentuk tertentu yang lebih mudah ditangani dengan substitusi trigonometri. Berikut ini adalah lima contoh soal integral substitusi trigonometri lengkap dengan pembahasan dan jawabannya.

Soal 1: Integral dengan Substitusi $x = a \sin \theta$ 

Soal:
Hitunglah integral berikut:

$$\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$$

Pembahasan:

1. Substitusi Trigonometri:

   $$x = a \sin \theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \cos \theta \, d\theta$$ $$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta} = a \cos \theta$$
   

2. Substitusi ke dalam Integral:

   $$\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \int a \cos \theta \cdot a \cos \theta \, d\theta = a^2 \int \cos^2 \theta \, d\theta$$
   

3. Gunakan Identitas Trigonometri:

   $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$ $$\int a^2 \cos^2 \theta \, d\theta = a^2 \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{a^2}{2} \int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$$
   $$= \frac{a^2}{2} \left( \int 1 \, d\theta + \int \cos 2\theta \, d\theta \right)$$
   $$= \frac{a^2}{2} \left( \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + C$$
   

4. Substitusi Balik:

   $$\theta = \arcsin \frac{x}{a} \quad \Rightarrow \quad \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \frac{x}{a} \cos \theta = 2 \frac{x}{a} \sqrt{1 - \left( \frac{x}{a} \right)^2} = \frac{2x}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$$
   $$\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{a^2}{2} \left( \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{a} \cdot \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} \right) + C$$
   $$= \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + C$$
   

Jawaban:

$$\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + C$$

Soal 2: Integral dengan Substitusi $x = a \tan \theta$

Soal:
Hitunglah integral berikut:

$$\int \frac{dx}{a^2 + x^2}$$

Pembahasan:

1. Substitusi Trigonometri:

   $$x = a \tan \theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \sec^2 \theta \, d\theta$$
   $$a^2 + x^2 = a^2 + a^2 \tan^2 \theta = a^2 (1 + \tan^2 \theta) = a^2 \sec^2 \theta$$
   

2. Substitusi ke dalam Integral:

   $$\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \int \frac{a \sec^2 \theta \, d\theta}{a^2 \sec^2 \theta} = \int \frac{a \sec^2 \theta \, d\theta}{a^2 \sec^2 \theta} = \int \frac{d\theta}{a}$$

3. Integrasi:

   $$\int \frac{d\theta}{a} = \frac{\theta}{a} + C$$
   

4. Substitusi Balik:

   $$\theta = \arctan \frac{x}{a}$$ $$\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$$
   

Jawaban:

$$\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$$

Soal 3: Integral dengan Substitusi $x = a \sec \theta$

Soal:
Hitunglah integral berikut:

$$\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - a^2}}$$

Pembahasan:

1. Substitusi Trigonometri:

   $$x = a \sec \theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \sec \theta \tan \theta \, d\theta$$ $$\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{a^2 \sec^2 \theta - a^2} = a \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = a \tan \theta$$
   

2. Substitusi ke dalam Integral:

   $$\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - a^2}} = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta \, d\theta}{a \sec \theta \cdot a \tan \theta} = \int \frac{d\theta}{a} = \frac{1}{a} \int d\theta$$
   

3. Integrasi:

   $$\int d\theta = \theta + C$$
   

4. Substitusi Balik:

   $$\theta = \sec^{-1} \frac{x}{a}$$ $$\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{a} \sec^{-1} \frac{x}{a} + C$$
   

Jawaban:

$$\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{a} \sec^{-1} \frac{x}{a} + C$$

Soal 4: Integral dengan Substitusi $x = a \sin \theta$ (untuk bentuk yang berbeda)

Soal:
Hitunglah integral berikut:

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx$$

Pembahasan:

1. Substitusi Trigonometri:

   $$x = a \sin \theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \cos \theta \, d\theta$$
   $$\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos \theta$$
   

2. Substitusi ke dalam Integral:

   $$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \int \frac{a^2 \sin^2 \theta}{a \cos \theta} \cdot a \cos \theta \, d\theta = a^3 \int \sin^2 \theta \, d\theta$$
   

3. Gunakan Identitas Trigonometri:

   $$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$ $$a^3 \int \sin^2 \theta \, d\theta = a^3 \int \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{a^3}{2} \int (1 - \cos 2\theta) \, d\theta$$
   $$= \frac{a^3}{2} \left( \int 1 \, d\theta - \int \cos 2\theta \, d\theta \right)$$
   $$= \frac{a^3}{2} \left( \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + C$$
   

4. Substitusi Balik:

   $$\theta = \arcsin \frac{x}{a} \quad \Rightarrow \quad \sin 2\theta = 2 \frac{x}{a} \sqrt{1 - \left( \frac{x}{a} \right)^2} = \frac{2x}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$$
   $$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \frac{a^3}{2} \left( \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{a^2} \right) + C$$
   $$= \frac{a^3}{2} \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C$$
   

Jawaban:

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \frac{a^3}{2} \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C$$

Soal 5: Integral dengan Substitusi $x = a \tan \theta$ (untuk bentuk yang berbeda)

Soal:
Hitunglah integral berikut:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}}$$

Pembahasan:

1. Substitusi Trigonometri:

   $$x = a \tan \theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \sec^2 \theta \, d\theta$$ $$\sqrt{a^2 + x^2} = \sqrt{a^2 + a^2 \tan^2 \theta} = a \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = a \sec \theta$$
   

2. Substitusi ke dalam Integral:

   $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \int \frac{a \sec^2 \theta \, d\theta}{a \sec \theta} = \int \sec \theta \, d\theta$$
   

3. Integrasi:

   $$\int \sec \theta \, d\theta = \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C$$
   

4. Substitusi Balik:

   $$x = a \tan \theta \quad \Rightarrow \quad \sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{1 + \left( \frac{x}{a} \right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a}$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \ln \left| \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a} + \frac{x}{a} \right| + C = \ln \left| \frac{\sqrt{a^2 + x^2} + x}{a} \right| + C$$
   

Jawaban:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \ln \left| \sqrt{a^2 + x^2} + x \right| + C$$

Kesimpulan

Melalui lima soal di atas, kita telah mempelajari cara menggunakan substitusi trigonometri untuk menyelesaikan berbagai bentuk integral. Teknik ini sangat berguna dalam kalkulus, terutama ketika menghadapi integral yang melibatkan bentuk-bentuk kompleks yang dapat disederhanakan melalui substitusi trigonometri. Dengan memahami langkah-langkah dan identitas trigonometri yang digunakan, kita dapat menyelesaikan integral dengan lebih efektif dan efisien.