5 Soal Kalkulus Integral Substitusi Trigonometri dengan Pembahasan dan Jawaban

 

5 Soal Kalkulus Integral Substitusi Trigonometri Lengkap dengan Pembahasan dan Jawaban

5 Soal Kalkulus Integral Substitusi Trigonometri Lengkap dengan Pembahasan dan Jawaban

Integral substitusi trigonometri adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan integral yang melibatkan bentuk-bentuk tertentu yang lebih mudah ditangani dengan substitusi trigonometri. Berikut ini adalah lima contoh soal integral substitusi trigonometri lengkap dengan pembahasan dan jawabannya.

Soal 1: Integral dengan Substitusi x=asinθx = a \sin \theta 

Soal:
Hitunglah integral berikut:

a2x2dx\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx

Pembahasan:

  1. Substitusi Trigonometri:

    x=asinθdx=acosθdθx = a \sin \theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \cos \theta \, d\theta a2x2=a2a2sin2θ=acosθ\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta} = a \cos \theta
  2. Substitusi ke dalam Integral:

    a2x2dx=acosθacosθdθ=a2cos2θdθ\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \int a \cos \theta \cdot a \cos \theta \, d\theta = a^2 \int \cos^2 \theta \, d\theta
  3. Gunakan Identitas Trigonometri:

    cos2θ=1+cos2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} a2cos2θdθ=a21+cos2θ2dθ=a22(1+cos2θ)dθ\int a^2 \cos^2 \theta \, d\theta = a^2 \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{a^2}{2} \int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta
    =a22(1dθ+cos2θdθ)= \frac{a^2}{2} \left( \int 1 \, d\theta + \int \cos 2\theta \, d\theta \right)
    =a22(θ+sin2θ2)+C= \frac{a^2}{2} \left( \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + C
  4. Substitusi Balik:

    θ=arcsinxasin2θ=2sinθcosθ=2xacosθ=2xa1(xa)2=2xaa2x2\theta = \arcsin \frac{x}{a} \quad \Rightarrow \quad \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \frac{x}{a} \cos \theta = 2 \frac{x}{a} \sqrt{1 - \left( \frac{x}{a} \right)^2} = \frac{2x}{a} \sqrt{a^2 - x^2}
    a2x2dx=a22(arcsinxa+xaa2x2a)+C\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{a^2}{2} \left( \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{a} \cdot \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} \right) + C
    =a22arcsinxa+x2a2x2+C= \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + C

Jawaban:

a2x2dx=a22arcsinxa+x2a2x2+C\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + C

Soal 2: Integral dengan Substitusi x=atanθx = a \tan \theta

Soal:
Hitunglah integral berikut:

dxa2+x2\int \frac{dx}{a^2 + x^2}

Pembahasan:

  1. Substitusi Trigonometri:

    x=atanθdx=asec2θdθx = a \tan \theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \sec^2 \theta \, d\theta
    a2+x2=a2+a2tan2θ=a2(1+tan2θ)=a2sec2θa^2 + x^2 = a^2 + a^2 \tan^2 \theta = a^2 (1 + \tan^2 \theta) = a^2 \sec^2 \theta
  2. Substitusi ke dalam Integral:

    dxa2+x2=asec2θdθa2sec2θ=asec2θdθa2sec2θ=dθa\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \int \frac{a \sec^2 \theta \, d\theta}{a^2 \sec^2 \theta} = \int \frac{a \sec^2 \theta \, d\theta}{a^2 \sec^2 \theta} = \int \frac{d\theta}{a}
  3. Integrasi:

    dθa=θa+C\int \frac{d\theta}{a} = \frac{\theta}{a} + C
  4. Substitusi Balik:

    θ=arctanxa\theta = \arctan \frac{x}{a} dxa2+x2=1aarctanxa+C\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C

Jawaban:

dxa2+x2=1aarctanxa+C\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C

Soal 3: Integral dengan Substitusi x=asecθx = a \sec \theta

Soal:
Hitunglah integral berikut:

dxxx2a2\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - a^2}}

Pembahasan:

  1. Substitusi Trigonometri:

    x=asecθdx=asecθtanθdθx = a \sec \theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \sec \theta \tan \theta \, d\theta x2a2=a2sec2θa2=asec2θ1=atanθ\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{a^2 \sec^2 \theta - a^2} = a \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = a \tan \theta
  2. Substitusi ke dalam Integral:

    dxxx2a2=asecθtanθdθasecθatanθ=dθa=1adθ\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - a^2}} = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta \, d\theta}{a \sec \theta \cdot a \tan \theta} = \int \frac{d\theta}{a} = \frac{1}{a} \int d\theta
  3. Integrasi:

    dθ=θ+C\int d\theta = \theta + C
  4. Substitusi Balik:

    θ=sec1xa\theta = \sec^{-1} \frac{x}{a} dxxx2a2=1asec1xa+C\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{a} \sec^{-1} \frac{x}{a} + C

Jawaban:

dxxx2a2=1asec1xa+C\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{a} \sec^{-1} \frac{x}{a} + C

Soal 4: Integral dengan Substitusi x=asinθx = a \sin \theta (untuk bentuk yang berbeda)

Soal:
Hitunglah integral berikut:

x2a2x2dx\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx

Pembahasan:

  1. Substitusi Trigonometri:

    x=asinθdx=acosθdθx = a \sin \theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \cos \theta \, d\theta
    a2x2=acosθ\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos \theta
  2. Substitusi ke dalam Integral:

    x2a2x2dx=a2sin2θacosθacosθdθ=a3sin2θdθ\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \int \frac{a^2 \sin^2 \theta}{a \cos \theta} \cdot a \cos \theta \, d\theta = a^3 \int \sin^2 \theta \, d\theta
  3. Gunakan Identitas Trigonometri:

    sin2θ=1cos2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} a3sin2θdθ=a31cos2θ2dθ=a32(1cos2θ)dθa^3 \int \sin^2 \theta \, d\theta = a^3 \int \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{a^3}{2} \int (1 - \cos 2\theta) \, d\theta
    =a32(1dθcos2θdθ)= \frac{a^3}{2} \left( \int 1 \, d\theta - \int \cos 2\theta \, d\theta \right)
    =a32(θsin2θ2)+C= \frac{a^3}{2} \left( \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + C
  4. Substitusi Balik:

    θ=arcsinxasin2θ=2xa1(xa)2=2xaa2x2\theta = \arcsin \frac{x}{a} \quad \Rightarrow \quad \sin 2\theta = 2 \frac{x}{a} \sqrt{1 - \left( \frac{x}{a} \right)^2} = \frac{2x}{a} \sqrt{a^2 - x^2}
    x2a2x2dx=a32(arcsinxaxa2x2a2)+C\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \frac{a^3}{2} \left( \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{a^2} \right) + C
    =a32arcsinxaxa2x22+C= \frac{a^3}{2} \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C

Jawaban:

x2a2x2dx=a32arcsinxaxa2x22+C\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \frac{a^3}{2} \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C

Soal 5: Integral dengan Substitusi x=atanθx = a \tan \theta (untuk bentuk yang berbeda)

Soal:
Hitunglah integral berikut:

dxa2+x2\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}}

Pembahasan:

  1. Substitusi Trigonometri:

    x=atanθdx=asec2θdθx = a \tan \theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \sec^2 \theta \, d\theta a2+x2=a2+a2tan2θ=a1+tan2θ=asecθ\sqrt{a^2 + x^2} = \sqrt{a^2 + a^2 \tan^2 \theta} = a \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = a \sec \theta
  2. Substitusi ke dalam Integral:

    dxa2+x2=asec2θdθasecθ=secθdθ\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \int \frac{a \sec^2 \theta \, d\theta}{a \sec \theta} = \int \sec \theta \, d\theta
  3. Integrasi:

    secθdθ=lnsecθ+tanθ+C\int \sec \theta \, d\theta = \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C
  4. Substitusi Balik:

    x=atanθsecθ=1+tan2θ=1+(xa)2=a2+x2ax = a \tan \theta \quad \Rightarrow \quad \sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{1 + \left( \frac{x}{a} \right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a} dxa2+x2=lna2+x2a+xa+C=lna2+x2+xa+C\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \ln \left| \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a} + \frac{x}{a} \right| + C = \ln \left| \frac{\sqrt{a^2 + x^2} + x}{a} \right| + C

Jawaban:

dxa2+x2=lna2+x2+x+C\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \ln \left| \sqrt{a^2 + x^2} + x \right| + C

Kesimpulan

Melalui lima soal di atas, kita telah mempelajari cara menggunakan substitusi trigonometri untuk menyelesaikan berbagai bentuk integral. Teknik ini sangat berguna dalam kalkulus, terutama ketika menghadapi integral yang melibatkan bentuk-bentuk kompleks yang dapat disederhanakan melalui substitusi trigonometri. Dengan memahami langkah-langkah dan identitas trigonometri yang digunakan, kita dapat menyelesaikan integral dengan lebih efektif dan efisien.



Komentar

Peta Bimbel Jakarta Timur

 
Use the Cookies: Kami menggunakan cookie untuk memastikan bahwa kami memberi anda pengalaman terbaik di situs web kami clicking on more information