5 Soal Integral Lipat Dua Kalkulus dengan Pembahasan dan Jawaban | Radarhot com
phone: +62 822-1002-7724
e-mail: dfn@dr.com

5 Soal Integral Lipat Dua Kalkulus dengan Pembahasan dan Jawaban

 

5 Soal Integral Lipat Dua Kalkulus dengan Pembahasan dan Jawaban


5 Soal Integral Lipat Dua Kalkulus dengan Pembahasan dan Jawaban

Pendahuluan

Integral lipat dua merupakan salah satu konsep penting dalam kalkulus lanjut. Integrasi ganda atau integral lipat dua digunakan untuk menghitung volume benda tiga dimensi atau luas permukaan di bawah kurva dua dimensi. Dalam artikel ini, kita akan membahas 5 soal integral lipat dua beserta pembahasannya.


Soal 1

Hitunglah integral lipat dua berikut: R(x+y)dA\iint_R (x + y) \, dAdengan RR  adalah persegi yang dibatasi oleh 0x10 \leq x \leq 1 dan 0y10 \leq y \leq 1 

Pembahasan: Batas integral: 0101(x+y)dydx\int_0^1 \int_0^1 (x + y) \, dy \, dx 

Integralkan terlebih dahulu terhadap y : 01[01(x+y)dy]dx=01[xy+y22]01
=01(x1+122)dx=01(x+12)dx= \int_0^1 \left( x \cdot 1 + \frac{1^2}{2} \right) dx = \int_0^1 (x + \frac{1}{2}) \, dx 

Integralkan terhadap xx: [x22+x2]01=12+12=1\left[ \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 

Jawaban: R(x+y)dA=1\iint_R (x + y) \, dA = 1

 Soal 2

Hitunglah integral lipat dua berikut: D(x2+y2)dA\iint_D (x^2 + y^2) \, dA  dengan DD  adalah lingkaran dengan pusat di (0,0) dan jari-jari 2.

Pembahasan: Gunakan koordinat polar. x=rcosθx = r \cos \theta, y=rsinθ , dan dA=rdrdθdA = r \, dr \, d\theta  Batas integral adalah 0r20 \leq r \leq 2  dan 0θ2π0 \leq \theta \leq 2\pi 

D(x2+y2)dA=02π02(r2)rdrdθ\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (r^2) \cdot r \, dr \, d\theta =02π02r3drdθ= \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 \, dr \, d\theta 

Integralkan terhadap rr : 02π[r44]02dθ=02π(164)dθ=02π4dθ\int_0^{2\pi} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 \, d\theta = \int_0^{2\pi} \left( \frac{16}{4} \right) \, d\theta = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta 

Integralkan terhadap θ\theta : 4θ02π=42π=8π4\theta \Big|_0^{2\pi} = 4 \cdot 2\pi = 8\pi

Jawaban: D(x2+y2)dA=8π\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = 8\pi 

Soal 3

Hitunglah integral lipat dua berikut: Rex+ydA\iint_R e^{x+y} \, dA  dengan RR  adalah persegi panjang yang dibatasi oleh 0x10 \leq x \leq 1  dan 0y

Pembahasan: Batas integral: 0201ex+ydxd

Integralkan terlebih dahulu terhadap x : 02[01ex+ydx]dy=02[ex+y]01dy\int_0^2 \left[ \int_0^1 e^{x+y} \, dx \right] dy = \int_0^2 \left[ e^{x+y} \right]_0^1 \, dy  =02(e1+yey)dy=02ey(e1)d

Integralkan terhadap y : (e1)02eydy=(e1)[ey]02=(e1)(e21)(e-1) \int_0^2 e^y \, dy = (e-1) \left[ e^y \right]_0^2 = (e-1) (e^2 - 1) 

Jawaban: Rex+ydA=(e1)(e21)\iint_R e^{x+y} \, dA = (e-1)(e^2 - 1) 

Soal 4

Hitunglah integral lipat dua berikut: RxydA\iint_R xy \, dA  dengan R adalah persegi panjang yang dibatasi oleh 1x1 dan 0y2 .

Pembahasan: Batas integral: 0211xydxd

Integralkan terlebih dahulu terhadap xx : 02[11xydx]dy=02[xy22]11dy=02(y2(y2))dy=02ydy= \int_0^2 \left( \frac{y}{2} - \left( -\frac{y}{2} \right) \right) dy = \int_0^2 y \, dy 

Integralkan terhadap yy : [y22]02=42=2\left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = \frac{4}{2} = 2 

Jawaban: RxydA=2\iint_R xy \, dA = 2 

Soal 5

Hitunglah integral lipat dua berikut: Rsin(x+y)dA\iint_R \sin(x+y) \, dA  dengan RR  adalah persegi panjang yang dibatasi oleh 0xπ0 \leq x \leq \pi  dan 0yπ0 \leq y \leq \pi

 Pembahasan: Batas integral: 0π0πsin(x+y)dxdy\int_0^\pi \int_0^\pi \sin(x+y) \, dx \, dy 

Integralkan terlebih dahulu terhadap xx: 0π[0πsin(x+y)dx]dy=0π[cos(x+y)]0πdy\int_0^\pi \left[ \int_0^\pi \sin(x+y) \, dx \right] dy = \int_0^\pi \left[ -\cos(x+y) \right]_0^\pi \, dy =0π(cos(π+y)+cos(y))dy= \int_0^\pi \left( -\cos(\pi+y) + \cos(y) \right) dy 

Kita tahu bahwa cos(π+y)=cos(y)\cos(\pi+y) = -\cos(y) , sehingga: 0π(cos(y)+cos(y))dy=20πcos(y)d

Integralkan terhadap yy : 2[sin(y)]0π=2(sin(π)sin(0))=20=

Jawaban: Rsin(x+y)dA=0\iint_R \sin(x+y) \, dA = 0 

 

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas 5 soal integral lipat dua beserta pembahasannya. Integral lipat dua merupakan konsep penting dalam kalkulus lanjut, yang digunakan untuk menghitung volume benda tiga dimensi atau luas permukaan di bawah kurva dua dimensi. Dengan memahami langkah-langkah penyelesaian integral lipat dua, Anda dapat menyelesaikan berbagai jenis soal yang melibatkan konsep ini.

0 Komentar: