5 Soal Deret Taylor Kalkulus beserta Pembahasan dan Jawaban

 

5 Soal Deret Taylor Kalkulus beserta Pembahasan dan Jawaban

Pendahuluan

Deret Taylor adalah salah satu topik penting dalam kalkulus lanjut. Deret Taylor digunakan untuk mengekspresikan fungsi dalam bentuk deret tak hingga, yang berguna untuk menghampiri nilai fungsi di sekitar suatu titik. Pemahaman yang baik tentang deret Taylor sangat penting, terutama bagi mahasiswa yang sedang mempelajari kalkulus lanjut.

Dalam artikel ini, kita akan membahas 5 soal deret Taylor beserta pembahasannya. Soal-soal ini mencakup berbagai konsep dan aplikasi dari deret Taylor, sehingga dapat membantu Anda memahami topik ini secara komprehensif.

Soal 1

Tentukan deret Taylor untuk fungsi f(x) = sin(x) di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4.

Pembahasan

Untuk menentukan deret Taylor untuk fungsi f(x) = sin(x) di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4, kita dapat menggunakan rumus deret Taylor:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f'''(a)(x-a)^3 + (1/4!)f''''(a)(x-a)^4 + ...

Dengan a = 0 dan f(x) = sin(x), kita memperoleh:

f(0) = sin(0) = 0 f'(x) = cos(x) f''(x) = -sin(x) f'''(x) = -cos(x) f''''(x) = sin(x)

Substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus deret Taylor:

f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) + (1/2!)f''(0)(x-0)^2 + (1/3!)f'''(0)(x-0)^3 + (1/4!)f''''(0)(x-0)^4 + ... = 0 + cos(0)(x) + (1/2!)(-sin(0))(x)^2 + (1/3!)(-cos(0))(x)^3 + (1/4!)(sin(0))(x)^4 + ... = x - (1/6)x^3 + (1/120)x^5 + ...

Jadi, deret Taylor untuk fungsi f(x) = sin(x) di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4 adalah:

sin(x) = x - (1/6)x^3 + (1/120)x^5 + ...

Soal 2

Tentukan deret Taylor untuk fungsi f(x) = ln(1+x) di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4.

Pembahasan

Untuk menentukan deret Taylor untuk fungsi f(x) = ln(1+x) di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4, kita dapat menggunakan rumus deret Taylor:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f'''(a)(x-a)^3 + (1/4!)f''''(a)(x-a)^4 + ...

Dengan a = 0 dan f(x) = ln(1+x), kita memperoleh:

f(0) = ln(1+0) = 0 f'(x) = 1/(1+x) f''(x) = -1/((1+x)^2) f'''(x) = 2/((1+x)^3) f''''(x) = -6/((1+x)^4)

Substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus deret Taylor:

f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) + (1/2!)f''(0)(x-0)^2 + (1/3!)f'''(0)(x-0)^3 + (1/4!)f''''(0)(x-0)^4 + ... = 0 + 1(x) + (1/2!)(-1)(x)^2 + (1/3!)(2)(x)^3 + (1/4!)(-6)(x)^4 + ... = x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 - (1/4)x^4 + ...

Jadi, deret Taylor untuk fungsi f(x) = ln(1+x) di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4 adalah:

ln(1+x) = x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 - (1/4)x^4 + ...

Soal 3

Tentukan deret Taylor untuk fungsi f(x) = e^x di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4.

Pembahasan

Untuk menentukan deret Taylor untuk fungsi f(x) = e^x di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4, kita dapat menggunakan rumus deret Taylor:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f'''(a)(x-a)^3 + (1/4!)f''''(a)(x-a)^4 + ...

Dengan a = 0 dan f(x) = e^x, kita memperoleh:

f(0) = e^0 = 1 f'(x) = e^x f''(x) = e^x f'''(x) = e^x f''''(x) = e^x

Substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus deret Taylor:

f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) + (1/2!)f''(0)(x-0)^2 + (1/3!)f'''(0)(x-0)^3 + (1/4!)f''''(0)(x-0)^4 + ... = 1 + e^0(x) + (1/2!)e^0(x)^2 + (1/3!)e^0(x)^3 + (1/4!)e^0(x)^4 + ... = 1 + x + (1/2!)x^2 + (1/3!)x^3 + (1/4!)x^4 + ...

Jadi, deret Taylor untuk fungsi f(x) = e^x di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4 adalah:

e^x = 1 + x + (1/2!)x^2 + (1/3!)x^3 + (1/4!)x^4 + ...

Soal 4

Tentukan deret Taylor untuk fungsi f(x) = cos(x) di sekitar titik x = π/2 hingga orde ke-4.

Pembahasan

Untuk menentukan deret Taylor untuk fungsi f(x) = cos(x) di sekitar titik x = π/2 hingga orde ke-4, kita dapat menggunakan rumus deret Taylor:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f'''(a)(x-a)^3 + (1/4!)f''''(a)(x-a)^4 + ...

Dengan a = π/2 dan f(x) = cos(x), kita memperoleh:

f(π/2) = cos(π/2) = 0 f'(x) = -sin(x) f''(x) = -cos(x) f'''(x) = sin(x) f''''(x) = cos(x)

Substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus deret Taylor:

f(x) = f(π/2) + f'(π/2)(x-π/2) + (1/2!)f''(π/2)(x-π/2)^2 + (1/3!)f'''(π/2)(x-π/2)^3 + (1/4!)f''''(π/2)(x-π/2)^4 + ... = 0 + (-sin(π/2))(x-π/2) + (1/2!)(-cos(π/2))(x-π/2)^2 + (1/3!)(sin(π/2))(x-π/2)^3 + (1/4!)(cos(π/2))(x-π/2)^4 + ... = -(x-π/2) - (1/2!)(x-π/2)^2 + (1/3!)(x-π/2)^3 + (1/4!)(x-π/2)^4 + ...

Jadi, deret Taylor untuk fungsi f(x) = cos(x) di sekitar titik x = π/2 hingga orde ke-4 adalah:

cos(x) = -(x-π/2) - (1/2!)(x-π/2)^2 + (1/3!)(x-π/2)^3 + (1/4!)(x-π/2)^4 + ...

Soal 5

Tentukan deret Taylor untuk fungsi f(x) = 1/(1+x^2) di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4.

Pembahasan

Untuk menentukan deret Taylor untuk fungsi f(x) = 1/(1+x^2) di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4, kita dapat menggunakan rumus deret Taylor:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f'''(a)(x-a)^3 + (1/4!)f''''(a)(x-a)^4 + ...

Dengan a = 0 dan f(x) = 1/(1+x^2), kita memperoleh:

f(0) = 1/(1+0^2) = 1 f'(x) = -2x/(1+x^2)^2 f''(x) = (4x^2 - 2)/(1+x^2)^3 f'''(x) = (-8x^3 + 12x)/(1+x^2)^4 f''''(x) = (32x^4 - 80x^2 + 12)/(1+x^2)^5

Substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus deret Taylor:

f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) + (1/2!)f''(0)(x-0)^2 + (1/3!)f'''(0)(x-0)^3 + (1/4!)f''''(0)(x-0)^4 + ... = 1 + (-20)(x) + (1/2!)(40^2 - 2)(x)^2 + (1/3!)(-80^3 + 120)(x)^3 + (1/4!)(320^4 - 800^2 + 12)(x)^4 + ... = 1 - x^2 + (1/3)x^4 + ...

Jadi, deret Taylor untuk fungsi f(x) = 1/(1+x^2) di sekitar titik x = 0 hingga orde ke-4 adalah:

1/(1+x^2) = 1 - x^2 + (1/3)x^4 + ...

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas 5 soal deret Taylor beserta pembahasannya. Soal-soal tersebut mencakup berbagai fungsi, seperti sin(x), ln(1+x), e^x, cos(x), dan 1/(1+x^2), serta berbagai titik di sekitar mana deret Taylor tersebut ditentukan.

Pemahaman yang baik tentang deret Taylor sangat penting dalam mempelajari kalkulus lanjut. Soal-soal yang telah dibahas di atas dapat membantu Anda meningkatkan pemahaman Anda tentang topik ini dan mempersiapkan Anda untuk menghadapi soal-soal serupa di masa depan.

Jika Anda masih memiliki pertanyaan atau membutuhkan bantuan lebih lanjut, jangan ragu untuk menghubungi saya. Saya akan senang untuk membantu Anda memahami deret Taylor dan topik-topik kalkulus lainnya.