15 soal Menyusun Angka kombinatorika berikut pembahasan dan jawaban

 

15 soal Menyusun Angka kombinatorika berikut pembahasan dan jawaban

Pendahuluan

Kombinatorika adalah cabang matematika yang mempelajari cara menghitung jumlah objek atau elemen dalam suatu himpunan. Salah satu topik penting dalam kombinatorika adalah subset, yang merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan.

Soal 1

Berapa banyak cara untuk menyusun angka 12345 tanpa pengulangan?

Pembahasan:

Untuk menyusun angka 12345 tanpa pengulangan, kita menggunakan faktorial dari jumlah digit, yaitu 5!.

$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$ 

Jawaban:

Terdapat 120 cara untuk menyusun angka 12345 tanpa pengulangan.

---

Soal 2

Berapa banyak cara untuk menyusun angka 1123?

Pembahasan:

Karena angka 1 muncul dua kali, kita harus membagi total permutasi oleh faktorial dari jumlah pengulangan angka 1.

$$\text{Total permutasi} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$$ 

Jawaban:

Terdapat 12 cara untuk menyusun angka 1123.

---

Soal 3

Berapa banyak cara untuk menyusun angka 123456 jika hanya angka 1 dan 2 yang boleh muncul lebih dari sekali, maksimal dua kali?

Pembahasan:

Kita perlu menghitung jumlah susunan yang memungkinkan angka 1 dan 2 muncul dua kali masing-masing. Misalnya kita menyusun 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6:

$$\text{Total permutasi} = \frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$$ 

Jawaban:

Terdapat 10.080 cara untuk menyusun angka 123456 dengan angka 1 dan 2 yang muncul maksimal dua kali.

---

Soal 4

Berapa banyak cara untuk menyusun angka 1234567890 dengan syarat angka 0 tidak boleh berada di posisi pertama?

Pembahasan:

Pertama, kita hitung total permutasi dari 10 angka, kemudian kita kurangi permutasi yang dimulai dengan angka 0.

Total permutasi dari 10 angka:

$$10! = 3628800$$ 

Permutasi yang dimulai dengan angka 0 (9 angka tersisa):

$$9! = 362880$$ 

Jumlah susunan yang tidak dimulai dengan angka 0:

$$10! - 9! = 3628800 - 362880 = 3265920$$ 

Jawaban:

Terdapat 3.265.920 cara untuk menyusun angka 1234567890 dengan syarat angka 0 tidak boleh berada di posisi pertama.

---

Soal 5

Berapa banyak cara untuk menyusun angka 122333?

Pembahasan:

Karena ada pengulangan angka 1 dua kali, angka 2 dua kali, dan angka 3 tiga kali, kita gunakan rumus permutasi dengan pengulangan:

$$\text{Total permutasi} = \frac{6!}{1!2!3!} = \frac{720}{1 \times 2 \times 6} = \frac{720}{12} = 60$$ 

Jawaban:

Terdapat 60 cara untuk menyusun angka 122333.

---

Demikian lima soal tentang menyusun angka dalam kombinatorika beserta pembahasan dan jawabannya. Teknik ini melibatkan penggunaan faktorial dan permutasi dengan pengulangan untuk menghitung jumlah susunan yang mungkin.

Soal 6

Suatu kelas terdiri dari 15 siswa. Jika akan dibentuk 3 kelompok, berapa banyak cara yang berbeda untuk membentuk 3 kelompok tersebut?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus kombinasi. Rumus kombinasi digunakan untuk menghitung banyaknya cara memilih k objek dari n objek tanpa memperhatikan urutan.

Rumus kombinasi: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Dimana:

• n adalah banyaknya objek keseluruhan
• k adalah banyaknya objek yang dipilih

Dalam soal ini, kita ingin membentuk 3 kelompok dari 15 siswa. Jadi:

• n = 15 (banyaknya siswa)
• k = 3 (banyaknya kelompok yang akan dibentuk)

Maka, banyaknya cara yang berbeda untuk membentuk 3 kelompok adalah: C(15, 3) = 15! / (3! * (15-3)!) = 455

Jadi, banyaknya cara yang berbeda untuk membentuk 3 kelompok dari 15 siswa adalah 455 cara.

Jawaban

Banyaknya cara yang berbeda untuk membentuk 3 kelompok dari 15 siswa adalah 455 cara.

Soal 7

Berapa banyak bilangan bulat positif 4 digit yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 jika setiap angka hanya boleh digunakan sekali?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus permutasi. Rumus permutasi digunakan untuk menghitung banyaknya cara menyusun k objek dari n objek dengan memperhatikan urutan.

Rumus permutasi: P(n, k) = n! / (n-k)!

Dimana:

• n adalah banyaknya objek keseluruhan
• k adalah banyaknya objek yang disusun

Dalam soal ini, kita ingin menyusun bilangan bulat positif 4 digit dari 5 angka (1, 2, 3, 4, dan 5), dengan setiap angka hanya boleh digunakan sekali.

Jadi:

• n = 5 (banyaknya angka)
• k = 4 (banyaknya angka yang disusun)

Maka, banyaknya bilangan bulat positif 4 digit yang dapat disusun adalah: P(5, 4) = 5! / (5-4)! = 5! / 1! = 120

Jadi, banyaknya bilangan bulat positif 4 digit yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 dengan setiap angka hanya boleh digunakan sekali adalah 120 bilangan.

Jawaban

Banyaknya bilangan bulat positif 4 digit yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 dengan setiap angka hanya boleh digunakan sekali adalah 120 bilangan.

Soal 8

Dalam suatu acara, terdapat 10 hadiah yang akan dibagikan kepada 10 orang peserta. Jika setiap peserta hanya boleh menerima satu hadiah, berapa banyak cara yang mungkin untuk membagikan hadiah-hadiah tersebut?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus permutasi. Rumus permutasi digunakan untuk menghitung banyaknya cara menyusun k objek dari n objek dengan memperhatikan urutan.

Rumus permutasi: P(n, k) = n! / (n-k)!

Dimana:

• n adalah banyaknya objek keseluruhan
• k adalah banyaknya objek yang disusun

Dalam soal ini, kita ingin membagikan 10 hadiah kepada 10 orang peserta, dengan setiap peserta hanya boleh menerima satu hadiah.

Jadi:

• n = 10 (banyaknya hadiah)
• k = 10 (banyaknya peserta yang menerima hadiah)

Maka, banyaknya cara yang mungkin untuk membagikan hadiah-hadiah tersebut adalah: P(10, 10) = 10! / (10-10)! = 10! / 0! = 10! = 3628800

Jadi, banyaknya cara yang mungkin untuk membagikan 10 hadiah kepada 10 orang peserta, dengan setiap peserta hanya boleh menerima satu hadiah, adalah 3.628.800 cara.

Jawaban

Banyaknya cara yang mungkin untuk membagikan 10 hadiah kepada 10 orang peserta, dengan setiap peserta hanya boleh menerima satu hadiah, adalah 3.628.800 cara.

Soal 9

Suatu kelompok terdiri dari 8 pria dan 6 wanita. Jika akan dibentuk panitia yang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita, berapa banyak cara yang berbeda untuk membentuk panitia tersebut?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus kombinasi. Rumus kombinasi digunakan untuk menghitung banyaknya cara memilih k objek dari n objek tanpa memperhatikan urutan.

Rumus kombinasi: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Dimana:

• n adalah banyaknya objek keseluruhan
• k adalah banyaknya objek yang dipilih

Dalam soal ini, kita ingin membentuk panitia yang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita dari 8 pria dan 6 wanita.

Jadi:

• n1 = 8 (banyaknya pria)
• k1 = 3 (banyaknya pria yang dipilih)
• n2 = 6 (banyaknya wanita)
• k2 = 2 (banyaknya wanita yang dipilih)

Maka, banyaknya cara yang berbeda untuk membentuk panitia tersebut adalah: C(8, 3) * C(6, 2) = (8! / (3! * (8-3)!)) * (6! / (2! * (6-2)!)) = 56 * 15 = 840

Jadi, banyaknya cara yang berbeda untuk membentuk panitia yang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita dari 8 pria dan 6 wanita adalah 840 cara.

Jawaban

Banyaknya cara yang berbeda untuk membentuk panitia yang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita dari 8 pria dan 6 wanita adalah 840 cara.

Soal 10

Dalam suatu perlombaan, terdapat 6 hadiah yang akan diberikan kepada 6 orang pemenang. Jika setiap pemenang hanya boleh menerima satu hadiah, berapa banyak cara yang mungkin untuk membagikan hadiah-hadiah tersebut?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus permutasi. Rumus permutasi digunakan untuk menghitung banyaknya cara menyusun k objek dari n objek dengan memperhatikan urutan.

Rumus permutasi: P(n, k) = n! / (n-k)!

Dimana:

• n adalah banyaknya objek keseluruhan
• k adalah banyaknya objek yang disusun

Dalam soal ini, kita ingin membagikan 6 hadiah kepada 6 orang pemenang, dengan setiap pemenang hanya boleh menerima satu hadiah.

Jadi:

• n = 6 (banyaknya hadiah)
• k = 6 (banyaknya pemenang yang menerima hadiah)

Maka, banyaknya cara yang mungkin untuk membagikan hadiah-hadiah tersebut adalah: P(6, 6) = 6! / (6-6)! = 6! / 0! = 6! = 720

Jadi, banyaknya cara yang mungkin untuk membagikan 6 hadiah kepada 6 orang pemenang, dengan setiap pemenang hanya boleh menerima satu hadiah, adalah 720 cara.

Jawaban

Banyaknya cara yang mungkin untuk membagikan 6 hadiah kepada 6 orang pemenang, dengan setiap pemenang hanya boleh menerima satu hadiah, adalah 720 cara.

Tentu saya dapat membantu Anda dengan menyusun soal-soal kombinatorika beserta pembahasannya. Berikut adalah 5 soal kombinatorika dengan pembahasan dan jawaban:

Soal 11

Berapa banyak cara untuk menyusun 4 buah bola yang terdiri dari 2 bola merah dan 2 bola biru?

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita dapat menggunakan prinsip perkalian. Pertama-tama, kita harus menentukan berapa banyak cara untuk menyusun 2 bola merah, kemudian berapa banyak cara untuk menyusun 2 bola biru, dan selanjutnya mengalikan keduanya.

Jumlah cara menyusun 2 bola merah = 2! = 2 Jumlah cara menyusun 2 bola biru = 2! = 2

Jumlah total cara menyusun 4 bola = 2 x 2 = 4

Jadi, ada 4 cara untuk menyusun 4 buah bola yang terdiri dari 2 bola merah dan 2 bola biru.

Jawaban

4 cara

Soal 12

Berapa banyak cara untuk menyusun 6 buah buku yang terdiri dari 2 buku matematika, 2 buku fisika, dan 2 buku biologi?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus permutasi. Jumlah buku yang akan disusun adalah 6, terdiri dari 2 buku matematika, 2 buku fisika, dan 2 buku biologi.

Jumlah cara menyusun 2 buku matematika = 2! Jumlah cara menyusun 2 buku fisika = 2! Jumlah cara menyusun 2 buku biologi = 2!

Jumlah total cara menyusun 6 buku = 2! x 2! x 2! = 8 x 2 x 2 = 32

Jadi, ada 32 cara untuk menyusun 6 buah buku yang terdiri dari 2 buku matematika, 2 buku fisika, dan 2 buku biologi.

Jawaban

32 cara

Soal 13

Berapa banyak cara untuk menyusun 5 buah buku yang terdiri dari 2 buku matematika, 2 buku fisika, dan 1 buku biologi?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus permutasi. Jumlah buku yang akan disusun adalah 5, terdiri dari 2 buku matematika, 2 buku fisika, dan 1 buku biologi.

Jumlah cara menyusun 2 buku matematika = 2! Jumlah cara menyusun 2 buku fisika = 2! Jumlah cara menyusun 1 buku biologi = 1!

Jumlah total cara menyusun 5 buku = 2! x 2! x 1! = 4 x 2 x 1 = 8

Jadi, ada 8 cara untuk menyusun 5 buah buku yang terdiri dari 2 buku matematika, 2 buku fisika, dan 1 buku biologi.

Jawaban

8 cara

Soal 14

Berapa banyak cara untuk menyusun 6 buah buku yang terdiri dari 3 buku matematika dan 3 buku fisika?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus permutasi. Jumlah buku yang akan disusun adalah 6, terdiri dari 3 buku matematika dan 3 buku fisika.

Jumlah cara menyusun 3 buku matematika = 3! Jumlah cara menyusun 3 buku fisika = 3!

Jumlah total cara menyusun 6 buku = 3! x 3! = 6 x 6 = 36

Jadi, ada 36 cara untuk menyusun 6 buah buku yang terdiri dari 3 buku matematika dan 3 buku fisika.

Jawaban

36 cara

Soal 15

Berapa banyak cara untuk menyusun 8 buah buku yang terdiri dari 3 buku matematika, 3 buku fisika, dan 2 buku biologi?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus permutasi. Jumlah buku yang akan disusun adalah 8, terdiri dari 3 buku matematika, 3 buku fisika, dan 2 buku biologi.

Jumlah cara menyusun 3 buku matematika = 3! Jumlah cara menyusun 3 buku fisika = 3! Jumlah cara menyusun 2 buku biologi = 2!

Jumlah total cara menyusun 8 buku = 3! x 3! x 2! = 6 x 6 x 2 = 72

Jadi, ada 72 cara untuk menyusun 8 buah buku yang terdiri dari 3 buku matematika, 3 buku fisika, dan 2 buku biologi.

Jawaban

72 cara