15 soal Integral Tersusun Kalkulus berikut pembahasan dan jawabannya

 

Menguasai Integral Tersusun: Kunci Sukses dalam Kalkulus

Pendahuluan

Integral tersusun merupakan salah satu konsep penting dalam mata kuliah kalkulus. Kemampuan untuk memahami dan menyelesaikan soal-soal integral tersusun menjadi kunci bagi mahasiswa untuk menguasai kalkulus dengan baik. Dalam artikel ini, kita akan membahas 5 soal integral tersusun beserta pembahasannya secara rinci.

Soal 1: Hitung Integral Tersusun Berikut

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x^2 - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:

∫₂₃ f(x) dx + ∫₁₂ g(x) dx

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.

1. Menghitung ∫₂₃ f(x) dx

   • Fungsi f(x) = 2x + 3
   • Batas integral: dari x = 2 hingga x = 3
   • Menghitung integral f(x) dx: ∫₂₃ f(x) dx = ∫₂₃ (2x + 3) dx = [2x^2/2 + 3x]₂₃ = [2(3^2)/2 + 3(3) - 2(2^2)/2 - 3(2)] = [9 + 9 - 4 - 6] = 8

2. Menghitung ∫₁₂ g(x) dx

   • Fungsi g(x) = x^2 - 1
   • Batas integral: dari x = 1 hingga x = 2
   • Menghitung integral g(x) dx: ∫₁₂ g(x) dx = ∫₁₂ (x^2 - 1) dx = [x^3/3 - x]₁₂ = [(2^3/3 - 2) - (1^3/3 - 1)] = [(8/3 - 2) - (1/3 - 1)] = (6/3) - (-2/3) = 8/3

3. Menjumlahkan hasil kedua integral: ∫₂₃ f(x) dx + ∫₁₂ g(x) dx = 8 + 8/3 = 24/3 = 8

Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah 8.

Soal 2: Hitung Integral Tersusun Berikut

Diketahui fungsi f(x) = x^2 + 2x - 1 dan g(x) = 3x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:

∫₀₁ f(x) dx - ∫₁₂ g(x) dx

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.

1. Menghitung ∫₀₁ f(x) dx

   • Fungsi f(x) = x^2 + 2x - 1
   • Batas integral: dari x = 0 hingga x = 1
   • Menghitung integral f(x) dx: ∫₀₁ f(x) dx = ∫₀₁ (x^2 + 2x - 1) dx = [x^3/3 + x^2 - x]₀₁ = [(1/3 + 1 - 1) - (0 + 0 - 0)] = 1/3

2. Menghitung ∫₁₂ g(x) dx

   • Fungsi g(x) = 3x - 1
   • Batas integral: dari x = 1 hingga x = 2
   • Menghitung integral g(x) dx: ∫₁₂ g(x) dx = ∫₁₂ (3x - 1) dx = [3x^2/2 - x]₁₂ = [(3(2^2)/2 - 2) - (3(1^2)/2 - 1)] = (6 - 2) - (3/2 - 1) = 4 - 1/2 = 7/2

3. Menghitung selisih kedua integral: ∫₀₁ f(x) dx - ∫₁₂ g(x) dx = 1/3 - 7/2 = -5/6

Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah -5/6.

Soal 3: Hitung Integral Tersusun Berikut

Diketahui fungsi f(x) = 3x^2 - 2x + 1 dan g(x) = 2x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:

∫₋₂₋₁ f(x) dx + ∫₋₁₀ g(x) dx

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.

1. Menghitung ∫₋₂₋₁ f(x) dx

   • Fungsi f(x) = 3x^2 - 2x + 1
   • Batas integral: dari x = -2 hingga x = -1
   • Menghitung integral f(x) dx: ∫₋₂₋₁ f(x) dx = ∫₋₂₋₁ (3x^2 - 2x + 1) dx = [3x^3/3 - x^2 + x]₋₂₋₁ = [(3(-1)^3/3 - (-1)^2 + (-1)) - (3(-2)^3/3 - (-2)^2 + (-2))] = (-1 - 1 - 1) - (-(8/3) - 4 - 2) = -3 - (-14/3) = -3 + 14/3 = 5/3

2. Menghitung ∫₋₁₀ g(x) dx

   • Fungsi g(x) = 2x - 1
   • Batas integral: dari x = -1 hingga x = 0
   • Menghitung integral g(x) dx: ∫₋₁₀ g(x) dx = ∫₋₁₀ (2x - 1) dx = [x^2 - x]₋₁₀ = [(0^2 - 0) - ((-1)^2 - (-1))] = 0 - (1 + 1) = -2

3. Menjumlahkan hasil kedua integral: ∫₋₂₋₁ f(x) dx + ∫₋₁₀ g(x) dx = 5/3 + (-2) = -1/3

Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah -1/3.

Soal 4: Hitung Integral Tersusun Berikut

Diketahui fungsi f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 1 dan g(x) = 2x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:

∫₁₂ f(x) dx - ∫₀₁ g(x) dx

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.

1. Menghitung ∫₁₂ f(x) dx

   • Fungsi f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 1
   • Batas integral: dari x = 1 hingga x = 2
   • Menghitung integral f(x) dx: ∫₁₂ f(x) dx = ∫₁₂ (4x^3 - 2x^2 + 3x - 1) dx = [4x^4/4 - 2x^3/3 + 3x^2/2 - x]₁₂ = [(4(2^4)/4 - 2(2^3)/3 + 3(2^2)/2 - 2) - (4(1^4)/4 - 2(1^3)/3 + 3(1^2)/2 - 1)] = [(32/4 - 16/3 + 6 - 2) - (1 - 2/3 + 3/2 - 1)] = (8 - 16/3 + 6 - 2) - (1 - 2/3 + 3/2 - 1) = -4/3

2. Menghitung ∫₀₁ g(x) dx

   • Fungsi g(x) = 2x - 1
   • Batas integral: dari x = 0 hingga x = 1
   • Menghitung integral g(x) dx: ∫₀₁ g(x) dx = ∫₀₁ (2x - 1) dx = [x^2 - x]₀₁ = [(1^2 - 1) - (0^2 - 0)] = 0 - 0 = 0

3. Menghitung selisih kedua integral: ∫₁₂ f(x) dx - ∫₀₁ g(x) dx = -4/3 - 0 = -4/3

Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah -4/3.

Soal 5: Hitung Integral Tersusun Berikut

Diketahui fungsi f(x) = 5x^2 - 3x + 2 dan g(x) = 3x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:

∫₋₁₀ f(x) dx + ∫₀₁ g(x) dx

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.

1. Menghitung ∫₋₁₀ f(x) dx

   • Fungsi f(x) = 5x^2 - 3x + 2
   • Batas integral: dari x = -1 hingga x = 0
   • Menghitung integral f(x) dx: ∫₋₁₀ f(x) dx = ∫₋₁₀ (5x^2 - 3x + 2) dx = [5x^3/3 - 3x^2/2 + 2x]₋₁₀ = [(5(0^3)/3 - 3(0^2)/2 + 2(0)) - (5(-1)^3/3 - 3(-1)^2/2 + 2(-1))] = 0 - (-(5/3 + 3/2 - 2)) = 5/3 + 3/2 - 2 = 1/6

2. Menghitung ∫₀₁ g(x) dx

   • Fungsi g(x) = 3x - 1
   • Batas integral: dari x = 0 hingga x = 1
   • Menghitung integral g(x) dx: ∫₀₁ g(x) dx = ∫₀₁ (3x - 1) dx = [3x^2/2 - x]₀₁ = [(3(1^2)/2 - 1) - (3(0^2)/2 - 0)] = (3/2 - 1) - 0 = 1/2

3. Menjumlahkan hasil kedua integral: ∫₋₁₀ f(x) dx + ∫₀₁ g(x) dx = 1/6 + 1/2 = 2/3

Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah 2/3.

Soal 6

Tentukan integral berikut menggunakan metode integral parsial:

$$\int x e^x \, dx$$ 

Pembahasan:

Kita gunakan metode integral parsial $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ .

Pilih $u = x$ dan $dv = e^x \, dx$ . Maka, $du = dx$  dan $v = e^x$ 

$$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C$$ 

Jawaban:

$$\int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C$$ 

---

Soal 7

Hitung integral berikut dengan metode substitusi:

$$\int (3x^2 + 2x) e^{x^3 + x^2} \, dx$$ 

Pembahasan:

Gunakan substitusi $u = x^3 + x^2$ . Maka, $du=(3x^2+2x)d\mathrm{x\; ,\; sehingga\; integral\; berubah\; menjadi:}$

$$\int e^u \, du = e^u + C$$ 

Kembali ke variabel $x$:

$$e^{x^3 + x^2} + C$$ 

Jawaban:

$$\int (3x^2 + 2x) e^{x^3 + x^2} \, dx = e^{x^3 + x^2} + C$$ 

---

Soal 8

Evaluasi integral berikut menggunakan teknik integral parsial:

$$\int x \ln(x) \, dx$$

Pembahasan:

Gunakan metode integral parsial $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 

Pilih $u=\ln (x)\; dan$$dv = x \, dx$  Maka, $du = \frac{1}{x} \, dx$  dan $v = \frac{x^2}{2}$ 

$$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx$$
$$= \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C$$

Jawaban:

$$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C$$

---

Soal 9

Tentukan integral berikut menggunakan metode substitusi trigonometri:

$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx$$

Pembahasan:

Gunakan substitusi trigonometri $x = 2 \sin(\theta)$. Maka, $dx = 2 \cos(\theta) \, d\theta$.

$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^2(\theta)}} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta$$
$$= \int \frac{2 \cos(\theta)}{2 \cos(\theta)} \, d\theta = \int 1 \, d\theta = \theta + C$$

Kembali ke variabel $x$:

$$\theta = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$$

Jawaban:

$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C$$

---

Soal 10

Hitung integral berikut dengan metode substitusi u:

$$\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx$$

Pembahasan:

Gunakan substitusi $u = x^2 + 1$. Maka, $du = 2x \, dx$, sehingga $\frac{1}{2} du = x \, dx$.

$$\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C$$

Kembali ke variabel $x$:

$$\frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C$$

Jawaban:

$$\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C$$

---

Soal 11

Hitung integral berikut menggunakan metode integral parsial:

$$\int x \sin(x) \, dx$$ 

Pembahasan:

Gunakan metode integral parsial $\int udv=uv-\int vd\mathrm{u }$

Pilih $u = x$ dan $dv = \sin(x) \, dx$ . Maka, $du = dx$  dan $v = -\cos(x)$ 

$$\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C$$ 

Jawaban:

$$\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C$$ 

---

Soal 12

Hitung integral berikut dengan metode substitusi:

$$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$$ 

Pembahasan:

Gunakan substitusi $u=x^2+\mathrm{1 \; Maka, }$$du = 2x \, dx$ , sehingga integral berubah menjadi:

$$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C$$ 

Kembali ke variabel $x$:

$$\ln|x^2 + 1| + C$$ 

Karena $x^2 + 1$ selalu positif, kita bisa menghilangkan tanda mutlak:

$$\ln(x^2 + 1) + C$$ 

Jawaban:

$$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \ln(x^2 + 1) + C$$ 

---

Soal 13

Evaluasi integral berikut menggunakan teknik integral parsial:

$$\int x e^{2x} \, dx$$

 Pembahasan:

Gunakan metode integral parsial $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Pilih $u = x$  dan $dv = e^{2x} \, dx$  Maka, $du = dx$  dan $v = \frac{1}{2} e^{2x}$ 

$$\int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C$$ 

Jawaban:

$$\int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C$$ 

---

Soal 14

Tentukan integral berikut menggunakan metode substitusi trigonometri:

$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$$ 

Pembahasan:

Gunakan substitusi trigonometri $x = \sin(\theta)$. Maka, $dx = \cos(\theta) \, d\theta$.

$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} \cdot \cos(\theta) \, d\theta$$ 
$$= \int \frac{1}{\cos(\theta)} \cdot \cos(\theta) \, d\theta = \int 1 \, d\theta = \theta + C$$ 

Kembali ke variabel $x$ :

$$\theta = \arcsin(x)$$ 

Jawaban:

$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C$$ 

---

Soal 15

Hitung integral berikut dengan metode substitusi:

$$\int x \sqrt{x^2 + 4} \, dx$$ 

Pembahasan:

Gunakan substitusi $u = x^2 + 4$. Maka, $du = 2x \, dx$, sehingga $\frac{1}{2} du = x \, dx$.

$$\int x \sqrt{x^2 + 4} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C$$ 

Kembali ke variabel $x$:

$$\frac{1}{3} (x^2 + 4)^{3/2} + C$$ 

Jawaban:

$$\int x \sqrt{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{3} (x^2 + 4)^{3/2} + C$$ 

---

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas 15 soal integral tersusun beserta pembahasannya secara rinci. Melalui contoh-contoh tersebut, kita dapat mempelajari teknik-teknik dalam menyelesaikan soal integral tersusun, seperti:

1. Memahami fungsi yang diberikan dan menentukan batas integralnya.
2. Menghitung integral untuk masing-masing fungsi secara terpisah.
3. Menjumlahkan atau mengurangi hasil integral sesuai dengan operasi yang diberikan dalam soal.

Penguasaan terhadap konsep integral tersusun ini akan sangat membantu mahasiswa dalam menghadapi soal-soal kalkulus yang lebih kompleks. Dengan latihan yang cukup dan pemahaman yang mendalam, mahasiswa dapat menyelesaikan soal-soal integral tersusun dengan baik.