Menguasai Integral Tersusun: Kunci Sukses dalam Kalkulus
Pendahuluan
Integral tersusun merupakan salah satu konsep penting dalam mata kuliah kalkulus. Kemampuan untuk memahami dan menyelesaikan soal-soal integral tersusun menjadi kunci bagi mahasiswa untuk menguasai kalkulus dengan baik. Dalam artikel ini, kita akan membahas 5 soal integral tersusun beserta pembahasannya secara rinci.
Soal 1: Hitung Integral Tersusun Berikut
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x^2 - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:
∫₂₃ f(x) dx + ∫₁₂ g(x) dx
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.
Menghitung ∫₂₃ f(x) dx
- Fungsi f(x) = 2x + 3
- Batas integral: dari x = 2 hingga x = 3
- Menghitung integral f(x) dx: ∫₂₃ f(x) dx = ∫₂₃ (2x + 3) dx = [2x^2/2 + 3x]₂₃ = [2(3^2)/2 + 3(3) - 2(2^2)/2 - 3(2)] = [9 + 9 - 4 - 6] = 8
Menghitung ∫₁₂ g(x) dx
- Fungsi g(x) = x^2 - 1
- Batas integral: dari x = 1 hingga x = 2
- Menghitung integral g(x) dx: ∫₁₂ g(x) dx = ∫₁₂ (x^2 - 1) dx = [x^3/3 - x]₁₂ = [(2^3/3 - 2) - (1^3/3 - 1)] = [(8/3 - 2) - (1/3 - 1)] = (6/3) - (-2/3) = 8/3
Menjumlahkan hasil kedua integral: ∫₂₃ f(x) dx + ∫₁₂ g(x) dx = 8 + 8/3 = 24/3 = 8
Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah 8.
Soal 2: Hitung Integral Tersusun Berikut
Diketahui fungsi f(x) = x^2 + 2x - 1 dan g(x) = 3x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:
∫₀₁ f(x) dx - ∫₁₂ g(x) dx
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.
Menghitung ∫₀₁ f(x) dx
- Fungsi f(x) = x^2 + 2x - 1
- Batas integral: dari x = 0 hingga x = 1
- Menghitung integral f(x) dx: ∫₀₁ f(x) dx = ∫₀₁ (x^2 + 2x - 1) dx = [x^3/3 + x^2 - x]₀₁ = [(1/3 + 1 - 1) - (0 + 0 - 0)] = 1/3
Menghitung ∫₁₂ g(x) dx
- Fungsi g(x) = 3x - 1
- Batas integral: dari x = 1 hingga x = 2
- Menghitung integral g(x) dx: ∫₁₂ g(x) dx = ∫₁₂ (3x - 1) dx = [3x^2/2 - x]₁₂ = [(3(2^2)/2 - 2) - (3(1^2)/2 - 1)] = (6 - 2) - (3/2 - 1) = 4 - 1/2 = 7/2
Menghitung selisih kedua integral: ∫₀₁ f(x) dx - ∫₁₂ g(x) dx = 1/3 - 7/2 = -5/6
Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah -5/6.
Soal 3: Hitung Integral Tersusun Berikut
Diketahui fungsi f(x) = 3x^2 - 2x + 1 dan g(x) = 2x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:
∫₋₂₋₁ f(x) dx + ∫₋₁₀ g(x) dx
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.
Menghitung ∫₋₂₋₁ f(x) dx
- Fungsi f(x) = 3x^2 - 2x + 1
- Batas integral: dari x = -2 hingga x = -1
- Menghitung integral f(x) dx: ∫₋₂₋₁ f(x) dx = ∫₋₂₋₁ (3x^2 - 2x + 1) dx = [3x^3/3 - x^2 + x]₋₂₋₁ = [(3(-1)^3/3 - (-1)^2 + (-1)) - (3(-2)^3/3 - (-2)^2 + (-2))] = (-1 - 1 - 1) - (-(8/3) - 4 - 2) = -3 - (-14/3) = -3 + 14/3 = 5/3
Menghitung ∫₋₁₀ g(x) dx
- Fungsi g(x) = 2x - 1
- Batas integral: dari x = -1 hingga x = 0
- Menghitung integral g(x) dx: ∫₋₁₀ g(x) dx = ∫₋₁₀ (2x - 1) dx = [x^2 - x]₋₁₀ = [(0^2 - 0) - ((-1)^2 - (-1))] = 0 - (1 + 1) = -2
Menjumlahkan hasil kedua integral: ∫₋₂₋₁ f(x) dx + ∫₋₁₀ g(x) dx = 5/3 + (-2) = -1/3
Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah -1/3.
Soal 4: Hitung Integral Tersusun Berikut
Diketahui fungsi f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 1 dan g(x) = 2x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:
∫₁₂ f(x) dx - ∫₀₁ g(x) dx
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.
Menghitung ∫₁₂ f(x) dx
- Fungsi f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 1
- Batas integral: dari x = 1 hingga x = 2
- Menghitung integral f(x) dx: ∫₁₂ f(x) dx = ∫₁₂ (4x^3 - 2x^2 + 3x - 1) dx = [4x^4/4 - 2x^3/3 + 3x^2/2 - x]₁₂ = [(4(2^4)/4 - 2(2^3)/3 + 3(2^2)/2 - 2) - (4(1^4)/4 - 2(1^3)/3 + 3(1^2)/2 - 1)] = [(32/4 - 16/3 + 6 - 2) - (1 - 2/3 + 3/2 - 1)] = (8 - 16/3 + 6 - 2) - (1 - 2/3 + 3/2 - 1) = -4/3
Menghitung ∫₀₁ g(x) dx
- Fungsi g(x) = 2x - 1
- Batas integral: dari x = 0 hingga x = 1
- Menghitung integral g(x) dx: ∫₀₁ g(x) dx = ∫₀₁ (2x - 1) dx = [x^2 - x]₀₁ = [(1^2 - 1) - (0^2 - 0)] = 0 - 0 = 0
Menghitung selisih kedua integral: ∫₁₂ f(x) dx - ∫₀₁ g(x) dx = -4/3 - 0 = -4/3
Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah -4/3.
Soal 5: Hitung Integral Tersusun Berikut
Diketahui fungsi f(x) = 5x^2 - 3x + 2 dan g(x) = 3x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:
∫₋₁₀ f(x) dx + ∫₀₁ g(x) dx
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.
Menghitung ∫₋₁₀ f(x) dx
- Fungsi f(x) = 5x^2 - 3x + 2
- Batas integral: dari x = -1 hingga x = 0
- Menghitung integral f(x) dx: ∫₋₁₀ f(x) dx = ∫₋₁₀ (5x^2 - 3x + 2) dx = [5x^3/3 - 3x^2/2 + 2x]₋₁₀ = [(5(0^3)/3 - 3(0^2)/2 + 2(0)) - (5(-1)^3/3 - 3(-1)^2/2 + 2(-1))] = 0 - (-(5/3 + 3/2 - 2)) = 5/3 + 3/2 - 2 = 1/6
Menghitung ∫₀₁ g(x) dx
- Fungsi g(x) = 3x - 1
- Batas integral: dari x = 0 hingga x = 1
- Menghitung integral g(x) dx: ∫₀₁ g(x) dx = ∫₀₁ (3x - 1) dx = [3x^2/2 - x]₀₁ = [(3(1^2)/2 - 1) - (3(0^2)/2 - 0)] = (3/2 - 1) - 0 = 1/2
Menjumlahkan hasil kedua integral: ∫₋₁₀ f(x) dx + ∫₀₁ g(x) dx = 1/6 + 1/2 = 2/3
Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah 2/3.
Soal 6
Tentukan integral berikut menggunakan metode integral parsial:
Pembahasan:
Kita gunakan metode integral parsial .
Pilih dan . Maka, dan
Jawaban:
Soal 7
Hitung integral berikut dengan metode substitusi:
Pembahasan:
Gunakan substitusi . Maka,
Kembali ke variabel :
Jawaban:
Soal 8
Evaluasi integral berikut menggunakan teknik integral parsial:
Pembahasan:
Gunakan metode integral parsial
Pilih Maka, dan
Jawaban:
Soal 9
Tentukan integral berikut menggunakan metode substitusi trigonometri:
Pembahasan:
Gunakan substitusi trigonometri . Maka, .
Kembali ke variabel :
Jawaban:
Soal 10
Hitung integral berikut dengan metode substitusi u:
Pembahasan:
Gunakan substitusi . Maka, , sehingga .
Kembali ke variabel :
Jawaban:
Soal 11
Hitung integral berikut menggunakan metode integral parsial:
Pembahasan:
Gunakan metode integral parsial
Pilih dan . Maka, dan
Jawaban:
Soal 12
Hitung integral berikut dengan metode substitusi:
Pembahasan:
Gunakan substitusi , sehingga integral berubah menjadi:
Kembali ke variabel :
Karena selalu positif, kita bisa menghilangkan tanda mutlak:
Jawaban:
Soal 13
Evaluasi integral berikut menggunakan teknik integral parsial:
Pembahasan:
Gunakan metode integral parsial
Pilih dan Maka, dan
Jawaban:
Soal 14
Tentukan integral berikut menggunakan metode substitusi trigonometri:
Pembahasan:
Gunakan substitusi trigonometri . Maka, .
Kembali ke variabel :
Jawaban:
Soal 15
Hitung integral berikut dengan metode substitusi:
Pembahasan:
Gunakan substitusi . Maka, , sehingga .
Kembali ke variabel :
Jawaban:
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas 15 soal integral tersusun beserta pembahasannya secara rinci. Melalui contoh-contoh tersebut, kita dapat mempelajari teknik-teknik dalam menyelesaikan soal integral tersusun, seperti:
- Memahami fungsi yang diberikan dan menentukan batas integralnya.
- Menghitung integral untuk masing-masing fungsi secara terpisah.
- Menjumlahkan atau mengurangi hasil integral sesuai dengan operasi yang diberikan dalam soal.
Penguasaan terhadap konsep integral tersusun ini akan sangat membantu mahasiswa dalam menghadapi soal-soal kalkulus yang lebih kompleks. Dengan latihan yang cukup dan pemahaman yang mendalam, mahasiswa dapat menyelesaikan soal-soal integral tersusun dengan baik.