15 soal Integral Tersusun Kalkulus berikut pembahasan dan jawabannya

 


15 soal Integral Tersusun Kalkulus berikut pembahasan dan jawabannya


Menguasai Integral Tersusun: Kunci Sukses dalam Kalkulus

Pendahuluan

Integral tersusun merupakan salah satu konsep penting dalam mata kuliah kalkulus. Kemampuan untuk memahami dan menyelesaikan soal-soal integral tersusun menjadi kunci bagi mahasiswa untuk menguasai kalkulus dengan baik. Dalam artikel ini, kita akan membahas 5 soal integral tersusun beserta pembahasannya secara rinci.

Soal 1: Hitung Integral Tersusun Berikut

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x^2 - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:

∫₂₃ f(x) dx + ∫₁₂ g(x) dx

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.

  1. Menghitung ∫₂₃ f(x) dx

    • Fungsi f(x) = 2x + 3
    • Batas integral: dari x = 2 hingga x = 3
    • Menghitung integral f(x) dx: ∫₂₃ f(x) dx = ∫₂₃ (2x + 3) dx = [2x^2/2 + 3x]₂₃ = [2(3^2)/2 + 3(3) - 2(2^2)/2 - 3(2)] = [9 + 9 - 4 - 6] = 8
  2. Menghitung ∫₁₂ g(x) dx

    • Fungsi g(x) = x^2 - 1
    • Batas integral: dari x = 1 hingga x = 2
    • Menghitung integral g(x) dx: ∫₁₂ g(x) dx = ∫₁₂ (x^2 - 1) dx = [x^3/3 - x]₁₂ = [(2^3/3 - 2) - (1^3/3 - 1)] = [(8/3 - 2) - (1/3 - 1)] = (6/3) - (-2/3) = 8/3
  3. Menjumlahkan hasil kedua integral: ∫₂₃ f(x) dx + ∫₁₂ g(x) dx = 8 + 8/3 = 24/3 = 8

Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah 8.

Soal 2: Hitung Integral Tersusun Berikut

Diketahui fungsi f(x) = x^2 + 2x - 1 dan g(x) = 3x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:

∫₀₁ f(x) dx - ∫₁₂ g(x) dx

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.

  1. Menghitung ∫₀₁ f(x) dx

    • Fungsi f(x) = x^2 + 2x - 1
    • Batas integral: dari x = 0 hingga x = 1
    • Menghitung integral f(x) dx: ∫₀₁ f(x) dx = ∫₀₁ (x^2 + 2x - 1) dx = [x^3/3 + x^2 - x]₀₁ = [(1/3 + 1 - 1) - (0 + 0 - 0)] = 1/3
  2. Menghitung ∫₁₂ g(x) dx

    • Fungsi g(x) = 3x - 1
    • Batas integral: dari x = 1 hingga x = 2
    • Menghitung integral g(x) dx: ∫₁₂ g(x) dx = ∫₁₂ (3x - 1) dx = [3x^2/2 - x]₁₂ = [(3(2^2)/2 - 2) - (3(1^2)/2 - 1)] = (6 - 2) - (3/2 - 1) = 4 - 1/2 = 7/2
  3. Menghitung selisih kedua integral: ∫₀₁ f(x) dx - ∫₁₂ g(x) dx = 1/3 - 7/2 = -5/6

Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah -5/6.

Soal 3: Hitung Integral Tersusun Berikut

Diketahui fungsi f(x) = 3x^2 - 2x + 1 dan g(x) = 2x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:

∫₋₂₋₁ f(x) dx + ∫₋₁₀ g(x) dx

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.

  1. Menghitung ∫₋₂₋₁ f(x) dx

    • Fungsi f(x) = 3x^2 - 2x + 1
    • Batas integral: dari x = -2 hingga x = -1
    • Menghitung integral f(x) dx: ∫₋₂₋₁ f(x) dx = ∫₋₂₋₁ (3x^2 - 2x + 1) dx = [3x^3/3 - x^2 + x]₋₂₋₁ = [(3(-1)^3/3 - (-1)^2 + (-1)) - (3(-2)^3/3 - (-2)^2 + (-2))] = (-1 - 1 - 1) - (-(8/3) - 4 - 2) = -3 - (-14/3) = -3 + 14/3 = 5/3
  2. Menghitung ∫₋₁₀ g(x) dx

    • Fungsi g(x) = 2x - 1
    • Batas integral: dari x = -1 hingga x = 0
    • Menghitung integral g(x) dx: ∫₋₁₀ g(x) dx = ∫₋₁₀ (2x - 1) dx = [x^2 - x]₋₁₀ = [(0^2 - 0) - ((-1)^2 - (-1))] = 0 - (1 + 1) = -2
  3. Menjumlahkan hasil kedua integral: ∫₋₂₋₁ f(x) dx + ∫₋₁₀ g(x) dx = 5/3 + (-2) = -1/3

Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah -1/3.

Soal 4: Hitung Integral Tersusun Berikut

Diketahui fungsi f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 1 dan g(x) = 2x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:

∫₁₂ f(x) dx - ∫₀₁ g(x) dx

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.

  1. Menghitung ∫₁₂ f(x) dx

    • Fungsi f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 1
    • Batas integral: dari x = 1 hingga x = 2
    • Menghitung integral f(x) dx: ∫₁₂ f(x) dx = ∫₁₂ (4x^3 - 2x^2 + 3x - 1) dx = [4x^4/4 - 2x^3/3 + 3x^2/2 - x]₁₂ = [(4(2^4)/4 - 2(2^3)/3 + 3(2^2)/2 - 2) - (4(1^4)/4 - 2(1^3)/3 + 3(1^2)/2 - 1)] = [(32/4 - 16/3 + 6 - 2) - (1 - 2/3 + 3/2 - 1)] = (8 - 16/3 + 6 - 2) - (1 - 2/3 + 3/2 - 1) = -4/3
  2. Menghitung ∫₀₁ g(x) dx

    • Fungsi g(x) = 2x - 1
    • Batas integral: dari x = 0 hingga x = 1
    • Menghitung integral g(x) dx: ∫₀₁ g(x) dx = ∫₀₁ (2x - 1) dx = [x^2 - x]₀₁ = [(1^2 - 1) - (0^2 - 0)] = 0 - 0 = 0
  3. Menghitung selisih kedua integral: ∫₁₂ f(x) dx - ∫₀₁ g(x) dx = -4/3 - 0 = -4/3

Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah -4/3.

Soal 5: Hitung Integral Tersusun Berikut

Diketahui fungsi f(x) = 5x^2 - 3x + 2 dan g(x) = 3x - 1. Hitunglah nilai dari integral tersusun berikut:

∫₋₁₀ f(x) dx + ∫₀₁ g(x) dx

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung dua integral yang disusun menjadi satu.

  1. Menghitung ∫₋₁₀ f(x) dx

    • Fungsi f(x) = 5x^2 - 3x + 2
    • Batas integral: dari x = -1 hingga x = 0
    • Menghitung integral f(x) dx: ∫₋₁₀ f(x) dx = ∫₋₁₀ (5x^2 - 3x + 2) dx = [5x^3/3 - 3x^2/2 + 2x]₋₁₀ = [(5(0^3)/3 - 3(0^2)/2 + 2(0)) - (5(-1)^3/3 - 3(-1)^2/2 + 2(-1))] = 0 - (-(5/3 + 3/2 - 2)) = 5/3 + 3/2 - 2 = 1/6
  2. Menghitung ∫₀₁ g(x) dx

    • Fungsi g(x) = 3x - 1
    • Batas integral: dari x = 0 hingga x = 1
    • Menghitung integral g(x) dx: ∫₀₁ g(x) dx = ∫₀₁ (3x - 1) dx = [3x^2/2 - x]₀₁ = [(3(1^2)/2 - 1) - (3(0^2)/2 - 0)] = (3/2 - 1) - 0 = 1/2
  3. Menjumlahkan hasil kedua integral: ∫₋₁₀ f(x) dx + ∫₀₁ g(x) dx = 1/6 + 1/2 = 2/3

Jadi, nilai dari integral tersusun yang diberikan adalah 2/3.

Soal 6

Tentukan integral berikut menggunakan metode integral parsial:

xexdx\int x e^x \, dx 

Pembahasan:

Kita gunakan metode integral parsial udv=uvvdu\int u \, dv = uv - \int v \, du .

Pilih u=xu = x dan dv=exdxdv = e^x \, dx . Maka, du=dxdu = dx  dan v=exv = e^x 

xexdx=xexexdx=xexex+C=ex(x1)+C\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C 

Jawaban:

xexdx=ex(x1)+C\int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C 


Soal 7

Hitung integral berikut dengan metode substitusi:

(3x2+2x)ex3+x2dx\int (3x^2 + 2x) e^{x^3 + x^2} \, dx 

Pembahasan:

Gunakan substitusi u=x3+x2u = x^3 + x^2 . Maka, du=(3x2+2x)dx , sehingga integral berubah menjadi:

eudu=eu+C\int e^u \, du = e^u + C 

Kembali ke variabel xx:

ex3+x2+Ce^{x^3 + x^2} + C 

Jawaban:

(3x2+2x)ex3+x2dx=ex3+x2+C\int (3x^2 + 2x) e^{x^3 + x^2} \, dx = e^{x^3 + x^2} + C 


Soal 8

Evaluasi integral berikut menggunakan teknik integral parsial:

xln(x)dx\int x \ln(x) \, dx

Pembahasan:

Gunakan metode integral parsial udv=uvvdu\int u \, dv = uv - \int v \, du 

Pilih u=ln(x) dan dv=xdxdv = x \, dx  Maka, du=1xdxdu = \frac{1}{x} \, dx  dan v=x22v = \frac{x^2}{2} 

xln(x)dx=x22ln(x)x221xdx=x22ln(x)12xdx\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx
=x22ln(x)12x22+C=x22ln(x)x24+C= \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C

Jawaban:

xln(x)dx=x22ln(x)x24+C\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C


Soal 9

Tentukan integral berikut menggunakan metode substitusi trigonometri:

14x2dx\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx

Pembahasan:

Gunakan substitusi trigonometri x=2sin(θ)x = 2 \sin(\theta). Maka, dx=2cos(θ)dθdx = 2 \cos(\theta) \, d\theta.

14x2dx=144sin2(θ)2cos(θ)dθ\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^2(\theta)}} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta
=2cos(θ)2cos(θ)dθ=1dθ=θ+C= \int \frac{2 \cos(\theta)}{2 \cos(\theta)} \, d\theta = \int 1 \, d\theta = \theta + C

Kembali ke variabel xx:

θ=arcsin(x2)\theta = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)

Jawaban:

14x2dx=arcsin(x2)+C\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C


Soal 10

Hitung integral berikut dengan metode substitusi u:

xx2+1dx\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx

Pembahasan:

Gunakan substitusi u=x2+1u = x^2 + 1. Maka, du=2xdxdu = 2x \, dx, sehingga 12du=xdx\frac{1}{2} du = x \, dx.

xx2+1dx=u12du=12u1/2du=1223u3/2+C\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C

Kembali ke variabel xx:

13(x2+1)3/2+C\frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C

Jawaban:

xx2+1dx=13(x2+1)3/2+C\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C


Soal 11

Hitung integral berikut menggunakan metode integral parsial:

xsin(x)dx\int x \sin(x) \, dx 

Pembahasan:

Gunakan metode integral parsial udv=uvvd

Pilih u=xu = x dan dv=sin(x)dxdv = \sin(x) \, dx . Maka, du=dxdu = dx  dan v=cos(x)v = -\cos(x) 

xsin(x)dx=xcos(x)+cos(x)dx=xcos(x)+sin(x)+C\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C 

Jawaban:

xsin(x)dx=xcos(x)+sin(x)+C\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C 

Soal 12

Hitung integral berikut dengan metode substitusi:

2xx2+1dx\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx 

Pembahasan:

Gunakan substitusi u=x2+1  Maka, du=2xdxdu = 2x \, dx , sehingga integral berubah menjadi:

2xx2+1dx=1udu=lnu+C\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C 

Kembali ke variabel xx:

lnx2+1+C\ln|x^2 + 1| + C 

Karena x2+1x^2 + 1 selalu positif, kita bisa menghilangkan tanda mutlak:

ln(x2+1)+C\ln(x^2 + 1) + C 

Jawaban:

2xx2+1dx=ln(x2+1)+C\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \ln(x^2 + 1) + C 

Soal 13

Evaluasi integral berikut menggunakan teknik integral parsial:

xe2xdx\int x e^{2x} \, dx

 Pembahasan:

Gunakan metode integral parsial udv=uvvdu\int u \, dv = uv - \int v \, du

Pilih u=xu = x  dan dv=e2xdxdv = e^{2x} \, dx  Maka, du=dxdu = dx  dan v=12e2xv = \frac{1}{2} e^{2x} 

xe2xdx=12xe2x12e2xdx=12xe2x14e2x+C\int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C 

Jawaban:

xe2xdx=12xe2x14e2x+C\int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C 

Soal 14

Tentukan integral berikut menggunakan metode substitusi trigonometri:

11x2dx\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx 

Pembahasan:

Gunakan substitusi trigonometri x=sin(θ)x = \sin(\theta). Maka, dx=cos(θ)dθdx = \cos(\theta) \, d\theta.

11x2dx=11sin2(θ)cos(θ)dθ\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} \cdot \cos(\theta) \, d\theta 
=1cos(θ)cos(θ)dθ=1dθ=θ+C= \int \frac{1}{\cos(\theta)} \cdot \cos(\theta) \, d\theta = \int 1 \, d\theta = \theta + C 

Kembali ke variabel xx :

θ=arcsin(x)\theta = \arcsin(x) 

Jawaban:

11x2dx=arcsin(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C 

Soal 15

Hitung integral berikut dengan metode substitusi:

xx2+4dx\int x \sqrt{x^2 + 4} \, dx 

Pembahasan:

Gunakan substitusi u=x2+4u = x^2 + 4. Maka, du=2xdxdu = 2x \, dx, sehingga 12du=xdx\frac{1}{2} du = x \, dx.

xx2+4dx=u12du=12u1/2du=1223u3/2+C\int x \sqrt{x^2 + 4} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C 

Kembali ke variabel xx:

13(x2+4)3/2+C\frac{1}{3} (x^2 + 4)^{3/2} + C 

Jawaban:

xx2+4dx=13(x2+4)3/2+C\int x \sqrt{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{3} (x^2 + 4)^{3/2} + C 

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas 15 soal integral tersusun beserta pembahasannya secara rinci. Melalui contoh-contoh tersebut, kita dapat mempelajari teknik-teknik dalam menyelesaikan soal integral tersusun, seperti:

  1. Memahami fungsi yang diberikan dan menentukan batas integralnya.
  2. Menghitung integral untuk masing-masing fungsi secara terpisah.
  3. Menjumlahkan atau mengurangi hasil integral sesuai dengan operasi yang diberikan dalam soal.

Penguasaan terhadap konsep integral tersusun ini akan sangat membantu mahasiswa dalam menghadapi soal-soal kalkulus yang lebih kompleks. Dengan latihan yang cukup dan pemahaman yang mendalam, mahasiswa dapat menyelesaikan soal-soal integral tersusun dengan baik.


Komentar

Peta Bimbel Jakarta Timur

 
Use the Cookies: Kami menggunakan cookie untuk memastikan bahwa kami memberi anda pengalaman terbaik di situs web kami clicking on more information