10 Soal Deret Geometri Kombinatorika Matematika Berikut Pembahasan dan Jawaban Lengkap

 

10 Soal Deret Geometri Kombinatorika Matematika Berikut Pembahasan dan Jawaban Lengkap

Pendahuluan

Deret geometri dan kombinatorika merupakan dua topik penting dalam matematika yang sering muncul dalam ujian dan soal-soal matematika. Memahami konsep dan cara penyelesaian soal-soal terkait deret geometri dan kombinatorika dapat sangat membantu dalam menghadapi berbagai ujian matematika.

Dalam artikel ini, kita akan membahas 5 soal deret geometri dan kombinatorika beserta pembahasan dan jawaban lengkapnya. Soal-soal ini mencakup berbagai konsep dan tingkat kesulitan, sehingga diharapkan dapat membantu pembaca untuk meningkatkan pemahaman dan kemampuan dalam menyelesaikan soal-soal serupa.

Soal 1: Deret Geometri

Diketahui suatu deret geometri dengan suku pertama (a) = 2 dan rasio (r) = 3. Tentukan jumlah 5 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, yaitu:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Dimana:

• S_n adalah jumlah n suku pertama deret geometri
• a adalah suku pertama deret
• r adalah rasio deret
• n adalah banyaknya suku yang dijumlahkan

Pada soal ini, diketahui:

• a = 2
• r = 3
• n = 5 (jumlah suku yang ingin dicari)

Maka, kita dapat menghitung jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut:

S_5 = a * (1 - r^n) / (1 - r) S_5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) S_5 = 2 * (1 - 243) / (-2) S_5 = 2 * (-242) / (-2) S_5 = 242

Jadi, jumlah 5 suku pertama deret geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3 adalah 242.

Soal 2: Kombinatorika - Permutasi

Sebuah kelas terdiri dari 10 siswa. Jika 5 siswa akan dipilih untuk menjadi ketua kelas, wakil ketua, sekretaris, bendahara, dan humas, maka banyaknya cara memilih 5 siswa tersebut adalah...

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan konsep permutasi. Permutasi adalah banyaknya cara menyusun n objek berbeda dalam urutan tertentu.

Rumus permutasi adalah: P(n,r) = n! / (n-r)!

Dimana:

• n adalah banyaknya objek
• r adalah banyaknya objek yang disusun

Pada soal ini, kita memiliki 10 siswa dan ingin memilih 5 siswa untuk menjadi ketua kelas, wakil ketua, sekretaris, bendahara, dan humas. Jadi:

• n = 10 (banyaknya siswa)
• r = 5 (banyaknya siswa yang dipilih)

Maka, banyaknya cara memilih 5 siswa tersebut adalah:

P(10,5) = 10! / (10-5)! P(10,5) = 10! / 5! P(10,5) = 30240

Jadi, banyaknya cara memilih 5 siswa untuk menjadi ketua kelas, wakil ketua, sekretaris, bendahara, dan humas adalah 30240.

Soal 3: Kombinatorika - Kombinasi

Dalam sebuah lomba, terdapat 20 peserta. Jika akan dipilih 3 pemenang, maka banyaknya cara memilih 3 pemenang tersebut adalah...

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan konsep kombinasi. Kombinasi adalah banyaknya cara memilih r objek dari n objek tanpa memperhatikan urutan.

Rumus kombinasi adalah: C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)

Dimana:

• n adalah banyaknya objek
• r adalah banyaknya objek yang dipilih

Pada soal ini, kita memiliki 20 peserta dan akan memilih 3 pemenang. Jadi:

• n = 20 (banyaknya peserta)
• r = 3 (banyaknya pemenang yang dipilih)

Maka, banyaknya cara memilih 3 pemenang tersebut adalah:

C(20,3) = 20! / (3! * (20-3)!) C(20,3) = 20! / (3! * 17!) C(20,3) = 1140

Jadi, banyaknya cara memilih 3 pemenang dari 20 peserta adalah 1140.

Soal 4: Kombinatorika - Permutasi dengan Pengulangan

Sebuah kode terdiri dari 4 digit, di mana setiap digit dapat berupa angka 1, 2, atau 3. Berapa banyak kode yang dapat dibuat?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan konsep permutasi dengan pengulangan. Permutasi dengan pengulangan adalah banyaknya cara menyusun n objek berbeda dalam urutan tertentu, di mana setiap objek dapat dipilih kembali.

Rumus permutasi dengan pengulangan adalah: P(n,r) = n^r

Dimana:

• n adalah banyaknya objek
• r adalah banyaknya objek yang disusun

Pada soal ini, kita memiliki 3 angka (1, 2, dan 3) dan akan menyusun 4 digit. Jadi:

• n = 3 (banyaknya angka)
• r = 4 (banyaknya digit)

Maka, banyaknya kode yang dapat dibuat adalah:

P(3,4) = 3^4 P(3,4) = 81

Jadi, banyaknya kode yang dapat dibuat dari 4 digit, di mana setiap digit dapat berupa angka 1, 2, atau 3, adalah 81.

Soal 5: Kombinatorika - Kombinasi dengan Pengulangan

Dalam sebuah lomba, terdapat 5 hadiah yang terdiri dari 2 hadiah uang tunai, 2 hadiah barang elektronik, dan 1 hadiah liburan. Jika akan dipilih 3 pemenang, maka banyaknya cara memilih 3 pemenang tersebut adalah...

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan konsep kombinasi dengan pengulangan. Kombinasi dengan pengulangan adalah banyaknya cara memilih r objek dari n objek, di mana setiap objek dapat dipilih kembali.

Rumus kombinasi dengan pengulangan adalah: C(n+r-1,r) = (n+r-1)! / (r! * (n-1)!)

Dimana:

• n adalah banyaknya jenis objek
• r adalah banyaknya objek yang dipilih

Pada soal ini, kita memiliki 5 hadiah yang terdiri dari 2 hadiah uang tunai, 2 hadiah barang elektronik, dan 1 hadiah liburan. Kita akan memilih 3 pemenang. Jadi:

• n = 3 (banyaknya jenis hadiah)
• r = 3 (banyaknya pemenang yang dipilih)

Maka, banyaknya cara memilih 3 pemenang tersebut adalah:

C(3+3-1,3) = C(5,3) C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) C(5,3) = 5! / (3! * 2!) C(5,3) = 10

Jadi, banyaknya cara memilih 3 pemenang dari 5 hadiah yang terdiri dari 2 hadiah uang tunai, 2 hadiah barang elektronik, dan 1 hadiah liburan adalah 10.

Soal 6: Jumlah Deret Geometri

Soal: Diberikan deret geometri dengan suku pertama $a = 3$  dan rasio $r = 2$. Hitung jumlah 6 suku pertama deret tersebut.

Pembahasan: Jumlah $n$ suku pertama dari deret geometri adalah: $S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$

Untuk $a = 3$ , $r=\mathrm{2\; ,\; dan }$$n = 6$ 

$$S_6 = 3 \frac{2^6 - 1}{2 - 1} = 3 \frac{64 - 1}{1} = 3 \times 63 = 189$$ 

Jawaban: $S_6=\mathrm{189 }$

Soal 7: Suku ke-n Deret Geometri

Soal: Diberikan deret geometri dengan suku pertama $a = 5$  dan rasio $r = \frac{1}{3}$ . Hitung suku ke-5 dari deret tersebut.

Pembahasan: Suku ke-$n$ dari deret geometri adalah: $a_n = a \cdot r^{n-1}$ 

Untuk $a = 5$ , $r = \frac{1}{3}$, dan $n=\mathrm{5\; a}$

$$a_5 = 5 \left( \frac{1}{3} \right)^{5-1} = 5 \left( \frac{1}{3} \right)^4 = 5 \left( \frac{1}{81} \right) = \frac{5}{81}$$

Jawaban: $a_5 = \frac{5}{81}$

Soal 8: Menentukan Rasio dari Deret Geometri

Soal: Diberikan deret geometri di mana suku pertama $a = 4$  dan suku ketiga $a_3 = 36$ . Tentukan rasio $\mathrm{r \; dari\; deret\; tersebut.}$

Pembahasan: Suku ke-3 dari deret geometri adalah: $a_3 = a \cdot r^2$ 

Untuk $a = 4$  dan $a_3 = 36$ 

$$36 = 4 \cdot r^2 \implies r^2 = \frac{36}{4} = 9 \implies r = 3 \text{ atau } r = -3$$ 

Jawaban: $r=3\text{ atau }r=-\mathrm{3 }$

Soal 9: Kombinasi dari Sebuah Set

Soal: Berapa banyak cara untuk memilih 3 elemen dari sebuah set dengan 7 elemen?

Pembahasan: Jumlah cara memilih $k$ elemen dari $n$ elemen adalah: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Untuk $n=\mathrm{7\; dan }$$k = 3$ 

$$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$ 

Jawaban: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)=\mathrm{35 }$

Soal 10: Permutasi dari Sebuah Set

Soal: Berapa banyak cara untuk menyusun ulang 4 elemen dari sebuah set dengan 6 elemen?

Pembahasan: Jumlah cara menyusun ulang $k$ elemen dari $n$ elemen adalah: $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$

Untuk $n=\mathrm{6 \; dan }$$k = 4$ 

$$P(6, 4) = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$$ 

Jawaban: $P(6, 4) = 360$ 

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas 5 soal deret geometri dan kombinatorika beserta pembahasan dan jawaban lengkapnya. Soal-soal tersebut mencakup berbagai konsep, mulai dari deret geometri, permutasi, kombinasi, hingga permutasi dan kombinasi dengan pengulangan.

Memahami konsep dan cara penyelesaian soal-soal serupa sangat penting dalam menghadapi berbagai ujian dan soal-soal matematika. Diharapkan artikel ini dapat membantu pembaca untuk meningkatkan pemahaman dan kemampuan dalam menyelesaikan soal-soal deret geometri dan kombinatorika.