10 Soal Permutasi Sederhana Kombinatorika dengan Pembahasan dan Jawaban
Pendahuluan
Permutasi adalah salah satu topik penting dalam ilmu kombinatorika, yang mempelajari cara menghitung jumlah kemungkinan atau susunan dalam sebuah himpunan. Memahami konsep permutasi sangat penting, terutama dalam bidang-bidang seperti matematika, komputer, dan statistik.
Permutasi adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang pengaturan atau susunan objek. Permutasi sering digunakan dalam berbagai bidang, seperti komputer, statistik, dan ekonomi. Dalam artikel ini, kita akan membahas 10 soal permutasi sederhana beserta pembahasannya.
Dalam artikel ini, kita akan membahas 10 soal permutasi sederhana beserta pembahasan dan jawabannya. Melalui contoh-contoh ini, Anda akan mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang konsep permutasi dan bagaimana menerapkannya dalam berbagai situasi.
Soal 1
Berapa banyak kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "BUKU"?
Pembahasan: Kata "BUKU" terdiri dari 4 huruf yang berbeda, yaitu B, U, K, dan U. Untuk menghitung banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat, kita dapat menggunakan rumus permutasi:
P(n,r) = n!/(n-r)!
Dimana:
- n = jumlah huruf dalam kata (4)
- r = jumlah huruf yang disusun (4)
Dengan demikian, banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
P(4,4) = 4!/(4-4)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Jawaban: Terdapat 24 kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "BUKU".
Soal 2
Berapa banyak kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "RUMAH" jika terdapat 2 huruf "A" yang identik?
Pembahasan: Kata "RUMAH" terdiri dari 5 huruf, yaitu R, U, M, A, dan A. Namun, karena terdapat 2 huruf "A" yang identik, maka kita harus membaginya dengan 2! untuk menghitung jumlah permutasi yang unik.
Rumus permutasi yang digunakan adalah:
P(n,r) = n!/(n1! * n2! * ... * nk!)
Dimana:
- n = jumlah huruf dalam kata (5)
- r = jumlah huruf yang disusun (5)
- n1, n2, ..., nk = jumlah huruf yang identik
Dalam kasus ini, n1 = 3 (R, U, M) dan n2 = 2 (A, A).
Sehingga, banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
P(5,5) = 5!/(3! * 2!) = 120/6 = 20
Jawaban: Terdapat 20 kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "RUMAH" jika terdapat 2 huruf "A" yang identik.
Soal 3
Berapa banyak kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "KOMPUTER" jika terdapat 2 huruf "U" yang identik?
Pembahasan: Kata "KOMPUTER" terdiri dari 8 huruf, yaitu K, O, M, P, U, T, E, dan U. Karena terdapat 2 huruf "U" yang identik, maka kita harus membaginya dengan 2! untuk menghitung jumlah permutasi yang unik.
Rumus permutasi yang digunakan adalah:
P(n,r) = n!/(n1! * n2! * ... * nk!)
Dimana:
- n = jumlah huruf dalam kata (8)
- r = jumlah huruf yang disusun (8)
- n1, n2, ..., nk = jumlah huruf yang identik
Dalam kasus ini, n1 = 2 (U, U), n2 = 1 (K), n3 = 1 (O), n4 = 1 (M), n5 = 1 (P), n6 = 1 (T), dan n7 = 1 (E).
Sehingga, banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
P(8,8) = 8!/(2! * 1! * 1! * 1! * 1! * 1! * 1!) = 40320/2 = 20160
Jawaban: Terdapat 20160 kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "KOMPUTER" jika terdapat 2 huruf "U" yang identik.
Soal 4
Berapa banyak kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika terdapat 2 huruf "A" dan 2 huruf "I" yang identik?
Pembahasan: Kata "MATEMATIKA" terdiri dari 10 huruf, yaitu M, A, T, E, M, A, T, I, K, dan A. Karena terdapat 2 huruf "A" dan 2 huruf "I" yang identik, maka kita harus membaginya dengan 2! untuk menghitung jumlah permutasi yang unik.
Rumus permutasi yang digunakan adalah:
P(n,r) = n!/(n1! * n2! * ... * nk!)
Dimana:
- n = jumlah huruf dalam kata (10)
- r = jumlah huruf yang disusun (10)
- n1, n2, ..., nk = jumlah huruf yang identik
Dalam kasus ini, n1 = 2 (A, A), n2 = 2 (I, I), n3 = 2 (M, M), n4 = 2 (T, T), dan n5 = 1 (K).
Sehingga, banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
P(10,10) = 10!/(2! * 2! * 2! * 2! * 1!) = 3628800/16 = 226800
Jawaban: Terdapat 226800 kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika terdapat 2 huruf "A" dan 2 huruf "I" yang identik.
Soal 5
Berapa banyak kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika terdapat 3 huruf "A" yang identik?
Pembahasan: Kata "MATEMATIKA" terdiri dari 10 huruf, yaitu M, A, T, E, M, A, T, I, K, dan A. Karena terdapat 3 huruf "A" yang identik, maka kita harus membaginya dengan 3! untuk menghitung jumlah permutasi yang unik.
Rumus permutasi yang digunakan adalah:
P(n,r) = n!/(n1! * n2! * ... * nk!)
Dimana:
- n = jumlah huruf dalam kata (10)
- r = jumlah huruf yang disusun (10)
- n1, n2, ..., nk = jumlah huruf yang identik
Dalam kasus ini, n1 = 3 (A, A, A), n2 = 2 (M, M), n3 = 2 (T, T), n4 = 1 (I), dan n5 = 1 (K), n6 = 1 (E).
Sehingga, banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
P(10,10) = 10!/(3! * 2! * 2! * 1! * 1! * 1!) = 3628800/12 = 302400
Jawaban: Terdapat 302400 kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika terdapat 3 huruf "A" yang identik.
Soal 6
Berapa banyak kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika terdapat 2 huruf "M", 2 huruf "T", dan 3 huruf "A" yang identik?
Pembahasan: Kata "MATEMATIKA" terdiri dari 10 huruf, yaitu M, A, T, E, M, A, T, I, K, dan A. Karena terdapat 2 huruf "M", 2 huruf "T", dan 3 huruf "A" yang identik, maka kita harus membaginya dengan 2!, 2!, dan 3! untuk menghitung jumlah permutasi yang unik.
Rumus permutasi yang digunakan adalah:
P(n,r) = n!/(n1! * n2! * ... * nk!)
Dimana:
- n = jumlah huruf dalam kata (10)
- r = jumlah huruf yang disusun (10)
- n1, n2, ..., nk = jumlah huruf yang identik
Dalam kasus ini, n1 = 3 (A, A, A), n2 = 2 (M, M), n3 = 2 (T, T), n4 = 1 (I), dan n5 = 1 (K), n6 = 1 (E).
Sehingga, banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
P(10,10) = 10!/(3! * 2! * 2! * 1! * 1! * 1!) = 3628800/24 = 151200
Jawaban: Terdapat 151200 kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika terdapat 2 huruf "M", 2 huruf "T", dan 3 huruf "A" yang identik.
Soal 7
Berapa banyak kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika terdapat 3 huruf "A", 2 huruf "T", dan 2 huruf "M" yang identik?
Pembahasan: Kata "MATEMATIKA" terdiri dari 10 huruf, yaitu M, A, T, E, M, A, T, I, K, dan A. Karena terdapat 3 huruf "A", 2 huruf "T", dan 2 huruf "M" yang identik, maka kita harus membaginya dengan 3!, 2!, dan 2! untuk menghitung jumlah permutasi yang unik.
Rumus permutasi yang digunakan adalah:
P(n,r) = n!/(n1! * n2! * ... * nk!)
Dimana:
- n = jumlah huruf dalam kata (10)
- r = jumlah huruf yang disusun (10)
- n1, n2, ..., nk = jumlah huruf yang identik
Dalam kasus ini, n1 = 3 (A, A, A), n2 = 2 (T, T), n3 = 2 (M, M), n4 = 1 (I), dan n5 = 1 (K), n6 = 1 (E).
Sehingga, banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
P(10,10) = 10!/(3! * 2! * 2! * 1! * 1! * 1!) = 3628800/12 = 302400
Jawaban: Terdapat 302400 kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika terdapat 3 huruf "A", 2 huruf "T", dan 2 huruf "M" yang identik.
Soal 8
Berapa banyak kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika terdapat 3 huruf "A", 2 huruf "T", dan 2 huruf "M" yang identik, serta huruf "I" dan "K" tidak boleh berdampingan?
Pembahasan: Kata "MATEMATIKA" terdiri dari 10 huruf, yaitu M, A, T, E, M, A, T, I, K, dan A. Karena terdapat 3 huruf "A", 2 huruf "T", dan 2 huruf "M" yang identik, maka kita harus membaginya dengan 3!, 2!, dan 2! untuk menghitung jumlah permutasi yang unik.
Selain itu, karena huruf "I" dan "K" tidak boleh berdampingan, maka kita harus mengurangi jumlah permutasi yang menyalahi aturan tersebut.
Rumus permutasi yang digunakan adalah:
P(n,r) = n!/(n1! * n2! * ... * nk!)
Dimana:
- n = jumlah huruf dalam kata (10)
- r = jumlah huruf yang disusun (10)
- n1, n2, ..., nk = jumlah huruf yang identik
Dalam kasus ini, n1 = 3 (A, A, A), n2 = 2 (T, T), n3 = 2 (M, M), n4 = 1 (I), dan n5 = 1 (K), n6 = 1 (E).
Sehingga, banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
P(10,10) = 10!/(3! * 2! * 2! * 1! * 1! * 1!) = 3628800/12 = 302400
Namun, karena huruf "I" dan "K" tidak boleh berdampingan, maka kita harus mengurangi jumlah permutasi yang menyalahi aturan tersebut. Terdapat 5 kemungkinan letak "I" dan "K" yang tidak boleh berdampingan, yaitu:
- I K
- K I
- I M A T
- M A T I
- A T I K
Sehingga, jumlah permutasi yang tidak sesuai aturan adalah 5. Maka, jumlah permutasi yang sesuai aturan adalah:
302400 - 5 = 302395
Jawaban: Terdapat 302395 kemungkinan susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA" jika terdapat 3 huruf "A", 2 huruf "T", dan 2 huruf "M" yang identik, serta huruf "I" dan "K" tidak boleh berdampingan.
Soal 9
Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCD"?
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus permutasi:
P(n) = n!
Dimana:
- n adalah banyaknya objek yang akan disusun
Dalam kasus ini, kita memiliki 4 huruf (A, B, C, D), sehingga:
- n = 4
Dengan demikian, banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCD" adalah:
- P(4) = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Jadi, terdapat 24 susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCD".
Soal 10
Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "AABC"?
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memperhatikan bahwa terdapat 2 huruf A pada kata "AABC". Oleh karena itu, kita harus membagi jumlah permutasi dengan banyaknya kemungkinan susunan huruf A.
Rumus yang digunakan adalah: P(n) / (n1! x n2! x ... x nk!)
Dimana:
- n adalah banyaknya objek yang akan disusun
- n1, n2, ..., nk adalah banyaknya objek yang sama
Dalam kasus ini, kita memiliki:
- n = 4 (4 huruf)
- n1 = 2 (2 huruf A)
- n2 = 1 (1 huruf B)
- n3 = 1 (1 huruf C)
Dengan demikian, banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "AABC" adalah:
- P(4) / (2! x 1! x 1!) = 4! / (2 x 1 x 1) = 12
Jadi, terdapat 12 susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "AABC".
Soal 11
Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCDE" jika huruf A dan B harus berdampingan?
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan pendekatan permutasi dengan pembatasan bahwa huruf A dan B harus berdampingan.
Pertama, kita dapat menganggap bahwa AB adalah satu objek tunggal. Dengan demikian, kita memiliki 4 objek yang akan disusun, yaitu AB, C, D, dan E.
Selanjutnya, kita dapat menghitung banyaknya susunan huruf dengan menggunakan rumus permutasi:
P(n) = n!
Dimana:
- n adalah banyaknya objek yang akan disusun
Dalam kasus ini, kita memiliki 4 objek (AB, C, D, E), sehingga:
- P(4) = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Namun, kita juga perlu mempertimbangkan banyaknya susunan huruf A dan B dalam objek AB. Jumlah susunan huruf A dan B adalah 2! = 2.
Dengan demikian, banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCDE" jika huruf A dan B harus berdampingan adalah:
- 24 x 2 = 48
Jadi, terdapat 48 susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCDE" jika huruf A dan B harus berdampingan.
Soal 12
Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABAB" jika huruf A dan B harus bergantian?
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan pendekatan permutasi dengan pembatasan bahwa huruf A dan B harus bergantian.
Pertama, kita dapat menganggap bahwa ABAB adalah satu objek tunggal. Dengan demikian, kita memiliki 2 objek yang akan disusun, yaitu ABAB dan BABA.
Selanjutnya, kita dapat menghitung banyaknya susunan huruf dengan menggunakan rumus permutasi:
P(n) = n!
Dimana:
- n adalah banyaknya objek yang akan disusun
Dalam kasus ini, kita memiliki 2 objek (ABAB dan BABA), sehingga:
- P(2) = 2! = 2 x 1 = 2
Dengan demikian, banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABAB" jika huruf A dan B harus bergantian adalah:
- 2
Jadi, terdapat 2 susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABAB" jika huruf A dan B harus bergantian.
Soal 13
Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABAB" jika huruf A dan B tidak boleh berdampingan?
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan pendekatan permutasi dengan pembatasan bahwa huruf A dan B tidak boleh berdampingan.
Pertama, kita dapat menganggap bahwa AB dan BA adalah dua objek tunggal. Dengan demikian, kita memiliki 4 objek yang akan disusun, yaitu AB, BA, A, dan B.
Selanjutnya, kita dapat menghitung banyaknya susunan huruf dengan menggunakan rumus permutasi:
P(n) = n!
Dimana:
- n adalah banyaknya objek yang akan disusun
Dalam kasus ini, kita memiliki 4 objek (AB, BA, A, B), sehingga:
- P(4) = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Namun, kita juga perlu mempertimbangkan banyaknya susunan huruf A dan B dalam objek AB dan BA. Jumlah susunan huruf A dan B adalah 2! = 2.
Dengan demikian, banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABAB" jika huruf A dan B tidak boleh berdampingan adalah:
- 24 x 2 = 48
Jadi, terdapat 48 susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABAB" jika huruf A dan B tidak boleh berdampingan.
Soal 14
Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCDE" jika huruf A dan B harus berdampingan, serta huruf C dan D juga harus berdampingan?
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan pendekatan permutasi dengan pembatasan bahwa huruf A dan B harus berdampingan, serta huruf C dan D juga harus berdampingan.
Pertama, kita dapat menganggap bahwa AB dan CD adalah dua objek tunggal. Dengan demikian, kita memiliki 3 objek yang akan disusun, yaitu AB, CD, dan E.
Selanjutnya, kita dapat menghitung banyaknya susunan huruf dengan menggunakan rumus permutasi:
P(n) = n!
Dimana:
- n adalah banyaknya objek yang akan disusun
Dalam kasus ini, kita memiliki 3 objek (AB, CD, E), sehingga:
- P(3) = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Namun, kita juga perlu mempertimbangkan banyaknya susunan huruf A dan B dalam objek AB, serta banyaknya susunan huruf C dan D dalam objek CD. Jumlah susunan huruf A dan B adalah 2!, sedangkan jumlah susunan huruf C dan D adalah 2!.
Dengan demikian, banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCDE" jika huruf A dan B harus berdampingan, serta huruf C dan D juga harus berdampingan adalah:
- 6 x 2! x 2! = 6 x 2 x 2 = 24
Jadi, terdapat 24 susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCDE" jika huruf A dan B harus berdampingan, serta huruf C dan D juga harus berdampingan.
Soal 15
Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCDE" jika huruf A dan B harus berdampingan, serta huruf C dan D juga harus berdampingan, tetapi A dan B tidak boleh berdampingan dengan C dan D?
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan pendekatan permutasi dengan pembatasan bahwa huruf A dan B harus berdampingan, huruf C dan D juga harus berdampingan, tetapi A dan B tidak boleh berdampingan dengan C dan D.
Pertama, kita dapat menganggap bahwa AB dan CD adalah dua objek tunggal. Dengan demikian, kita memiliki 3 objek yang akan disusun, yaitu AB, CD, dan E.
Selanjutnya, kita dapat menghitung banyaknya susunan huruf dengan menggunakan rumus permutasi:
P(n) = n!
Dimana:
- n adalah banyaknya objek yang akan disusun
Dalam kasus ini, kita memiliki 3 objek (AB, CD, E), sehingga:
- P(3) = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Namun, kita juga perlu mempertimbangkan banyaknya susunan huruf A dan B dalam objek AB, serta banyaknya susunan huruf C dan D dalam objek CD. Jumlah susunan huruf A dan B adalah 2!, sedangkan jumlah susunan huruf C dan D adalah 2!.
Dengan demikian, banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCDE" jika huruf A dan B harus berdampingan, huruf C dan D juga harus berdampingan, tetapi A dan B tidak boleh berdampingan dengan C dan D adalah:
- 6 x 2! x 2! = 6 x 2 x 2 = 24
Jadi, terdapat 24 susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata "ABCDE" dengan pembatasan tersebut.
