Soal Persamaan Trigonometri Sederhana Bimbel Jakarta Timur

 

Sebelum melangkah ke Soal Persamaan Trigonometri Sederhana Bimbel Jakarta Timur akan memberikan definisi dari Persamaan Trigonometri. Persamaan Matematika trigonometri adalah persamaan matematika yang memuat fungsi perbandingan sudut yang belum diketahui baik dalam besaran derajat  ataupun radian. Untuk masing-masing perbandingan sudut yaitu sinus, cosinus dan tangen terdapat rumus dalam menyelesaikan persamaan trigonometri sederhananya seperti yang termuat dalam tabel berikut:

Berikut adalah contoh soal dan pembahasan persamaan trigonometri sederhana

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 0,5, untuk 0°≤ x ≤ 360° !

Pembahasan:

sin x = 0,5, maka

sin x = sin 30°, 𝞪 = 30°

➢ x = 30° + k.360° 

k = 0

x = 30° (memenuhi)

k = 1

x = 30° + 360° = 390° (tidak memenuhi karena > 360°)

➢ x = 180° - 30° + k.360° = 150° + k.360°

k = 0

x = 150° (memenuhi)

k = 1

x = 150° + 360° = 510° (tidak memenuhi karena > 360°)

HP = {30°, 150°}

2. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = ½√3 untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

sin 2x = ½√3, maka

sin 2x = sin 𝝅/3, 𝞪 = 𝝅/3

➢ x =  𝝅/3 + k.2𝝅

k = 0

x =  𝝅/3 (memenuhi)

k = 1

x = 𝝅/3 + 2𝝅  (tidak memenuhi karena > 2𝝅)

➢ x = 𝝅 - 𝝅/3 + k.2𝝅 = ²/₃𝝅 + k.2𝝅

k = 0

x = ²/₃𝝅 (memenuhi)

k = 1

x = ²/₃𝝅 + 2𝝅 (tidak memenuhi karena > 2𝝅)

HP = {¹/₃𝝅, ²/₃𝝅}

3. Himpunan penyelesaian dari cos 3x = ½√2 untuk 0°≤ x ≤ 180° adalah....

Pembahasan:

cos 3x = ½√2, maka

cos 3x = cos 45°, 𝞪 = 45°

➢ 3x = 45° + k.360° 

k = 0

3x = 45°

x = 15° (memenuhi)

k = 1

3x = 45° + 360° = 405° 

x = 135°

k = 2 

3x = 45° + 720° = 765° 

x = 255° (tidak memenuhi karena > 180°)

➢ 3x = - 45° + k.360° 

k = 0

3x = -45° (tidak memenuhi karena < 0)

k = 1

3x = -45° + 360° = 315° 

x = 105° (memenuhi)

k = 2

3x = -45° + 720° = 675°

x = 225° (tidak memenuhi karena > 180°)

HP = {15°, 135°, 315°}

4. Himpunan penyelesaian dari 2cos 2x - 1 = 0 untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

2cos 2x - 1 = 0

2cos 2x = 1

cos 2x = 1/2

cos 2x = cos 𝝅/3, 𝞪 = 𝝅/3

➢ 2x =  𝝅/3 + k.2𝝅

k = 0

2x =  𝝅/3 

x = 𝝅/6 (memenuhi)

k = 1

2x = 𝝅/3 + 2𝝅 = 2¹/₃𝝅 

x = 1¹/₆𝝅 (memenuhi)

k = 2 tidak memenuhi karena hasilnya > 2𝝅

➢ 2x = - 𝝅/3 + k.2𝝅 = ²/₃𝝅 + k.2𝝅

k = 0

2x = - ²/₃𝝅 (tidak memenuhi karena < 0)

k = 1

2x = -²/₃𝝅 + 2𝝅 = ⁴/₃𝝅

x = ²/₃ 𝝅 (memenuhi)

HP = {¹/₆𝝅, ²/₃𝝅, 1¹/₆𝝅}

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2sin²x - 1 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 360° !

Pembahasan:

2sin²x - 1 = 0

2sin²x = 1  

sin²x = 1/2

sin x = ½√2

sin x = sin 45°, 𝞪 = 45°

➢ x = 45° + k.360° 

k = 0

x = 45° (memenuhi)

k = 1

x = 45° + 360° = 405° (tidak memenuhi karena > 360°)

➢ x = 180° - 45° + k.360° = 135° + k.360°

k = 0

x = 135° (memenuhi)

k = 1

x = 150° + 360° = 510° (tidak memenuhi karena > 360°)

HP = {45°, 135°}

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari tan²x - 3 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 360° !

Pembahasan:

tan²x - 3 = 0

tan²x = 3 

tan x = √3

tan x = tan 60°, 𝞪 = 60°

➢ x = 60° + k.180°

k = 0

x = 60° (memenuhi)

k = 1

x = 60° + 180° = 240° (memenuhi)

k = 2 (tidak memenuhi karena > 360°)

HP = {60°, 240°}

7. Himpunan penyelesaian dari 3tan²x - 1 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

3tan²x - 1 = 0

3tan²x = 1 

tan²x = 1/3

tan x = 1/√3

tan x = ¹/₆ 𝝅, 𝞪 = ¹/₆ 𝝅

➢ x = ¹/₆ 𝝅 + k.𝝅

k = 0

x = ¹/₆ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

x = ¹/₆ 𝝅 + 𝝅 = 1¹/₆ 𝝅 (memenuhi)

HP = {¹/₆ 𝝅, 1¹/₆ 𝝅}

8. Himpunan penyelesaian dari 4cos²x - 3 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

4cos²x - 3 = 0

4cos²x = 3

cos²x = 3/4

cos x = ½√3

cos x = cos ¹/₆ 𝝅

➢ x = ¹/₆ 𝝅 + k.2𝝅

k = 0

x = ¹/₆ 𝝅  (memenuhi)

k = 1

x = ¹/₆ 𝝅 + 2𝝅 = 2 ¹/₆ 𝝅 (tidak memenuhi karena hasilnya > 2𝝅)

➢ x = - ¹/₆ 𝝅 + k.2𝝅 

k = 0

x = - ¹/₆ 𝝅 (tidak memenuhi karena < 0)

k = 1

x = -¹/₆ 𝝅 + 2𝝅 = 1 ⁵/₆ 𝝅 (memenuhi)

HP = {¹/₆𝝅, 1⁵/₆ 𝝅}

9. Himpunan penyelesaian dari cos (2x+10)° = cos 40° untuk 0°≤ x ≤ 180° adalah....

Pembahasan:

cos (2x+10)° = cos 40°

➢ 2x+10° =  40° + k.360°

k = 0

2x+10° =  40°

2x = 30°

x = 15° (memenuhi)

k = 1

2x+10° =  40° + 360°

2x = 390°

x = 195° (tidak memenuhi)

➢ 2x+10° =  -40° + k.360°

k = 0

2x+10° =  -40°

2x = -50°

x = -25° (tidak memenuhi)

k = 1

2x+10° =  -40° + 360°

2x = 310°

x = 155° (memenuhi)

HP = {15°, 155°}

10. Himpunan penyelesaian dari sin (x+𝝅/₃) = ½√3 untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

sin (x+𝝅/₄) = ½√3

sin (x+𝝅/₄) = sin 𝝅/₃

➢ x+𝝅/₄ = 𝝅/₃ + k.2𝝅

k = 0

x+𝝅/₄ = 𝝅/₃

x = 𝝅/₃ - 𝝅/₄

x = ¹/₁₂ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

x+𝝅/₄ = 𝝅/₃ + 2𝝅

x = 2¹/₁₂ 𝝅 (tidak memenuhi)

➢ x+𝝅/₄ = 𝝅 - 𝝅/₃ + k.2𝝅

x = ²/₃ 𝝅 - 𝝅/₄ + k.2𝝅

x = ⁵/₁₂ 𝝅 + k.2𝝅

k = 0

x = ⁵/₁₂ 𝝅 (memenuhi)

k = 1, x = 2⁵/₁₂ 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {¹/₁₂ 𝝅, ⁵/₁₂ 𝝅}

11. Himpunan penyelesaian dari sin 3x = cos x, untuk 0°≤ x ≤ 180° adalah....

Pembahasan:

sin 3x = cos x (ingat cos A = sin (90° - A))

sin 3x = sin (90° - x)

➢3x = 90° - x + k.360°

4x = 90° + k.360°

k = 0

4x = 90°

x = 22,5° (memenuhi)

k = 1

4x = 90° + 360°

4x = 450°

x = 112,5° (memenuhi)

k = 2

4x = 90° + 720°

4x = 810°

x = 202,5° (tidak memenuhi)

➢ 3x = (180 - (90° - x)) + k.360°

3x = 90° + x + k.360°

2x = 90° + k.360°

k = 0

2x = 90°

x = 45° (memenuhi)

k = 1

2x = 90° + 360°

2x = 450°

x = 225° (tidak memenuhi)

HP = {45°, 112,5°, 225°}

12. Nilai x yang memenuhi 2 cos² (x/2) = 1, untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

2 cos² (x/2) = 1

  cos² (x/2) = 1/2

  cos (x/2) = ½√2

  cos (x/2) = cos 𝝅/4

➢ x/2 = 𝝅/4 + k.2𝝅

k = 0

x/2 = 𝝅/4

x = 𝝅/2 (memenuhi)

k = 1

x/2 = 𝝅/4 + 2𝝅

x = 2½ 𝝅 (tidak memenuhi)

➢ x/2 = -𝝅/4 + k.2𝝅

k = 0

x/2 = - 𝝅/4 

x = - 𝝅/2 (tidak memenuhi)

k = 1

x/2 = -𝝅/4 + 2𝝅

x = -½ 𝝅 + 4𝝅

x = 3½ 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {𝝅/2}

13. Nilai x yang memenuhi √3 tan 2x = 1, untuk 0°≤ x ≤ 𝝅 adalah...

Pembahasan:

√3 tan 2x = 1

tan 2x = 1/√3

tan 2x = tan 𝝅/6

2x = 𝝅/6 + k.𝝅

k = 0

x = ¹/₁₂ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

2x = 𝝅/6 + 𝝅 = ⁷/₆ 𝝅

x = ⁷/₁₂ 𝝅 (memenuhi)

k = 2

2x = 𝝅/6 + 2𝝅 = ¹³/₆ 𝝅

x = ¹³/₁₂ 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {¹/₁₂ 𝝅, ⁷/₁₂ 𝝅}

14. Himpunan penyelesaian dari cos (2x - 10)° = sin 20°, untuk 0°≤ x ≤ 360° adalah....

Pembahasan:

cos (2x - 10)° = sin 20°

cos (2x - 10)° = cos 70°

2x - 10° = 70°

2x = 80° + k.360° atau 2x = -80° + k.360° 

➢ 2x = 80° + k.360°

k = 0

2x = 80°

x = 40° (memenuhi)

k = 1

2x = 80° + 360°

2x = 440°

x = 220° (memenuhi)

➢ 2x = -80° + k.360°

k = 0, x = -40° (tidak memenuhi)

k = 1

2x = -80° + 360° = 280°

x = 140° (memenuhi)

k = 2

2x = -80° + 720° = 640°

x = 320° (memenuhi)

HP = {40°, 140°, 220°, 320°}

15. Himpunan penyelesaian dari tan (2x +𝝅/6) = 1, untuk 0°≤ x ≤ 𝝅 adalah...

Pembahasan:

tan (2x +𝝅/6) = 1

tan (2x +𝝅/6) = tan 𝝅/₄

2x +𝝅/6 = 𝝅/₄ + k.𝝅

k = 0

2x +𝝅/6 = 𝝅/₄

2x = ¹/₁₂ 𝝅

x = ¹/₂₄ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

2x +𝝅/6 = 𝝅/₄ + 𝝅

2x = ¹/₁₂ 𝝅 + 𝝅 = ¹³/₁₂ 𝝅

x = ¹³/₂₄ 𝝅 (memenuhi)

k = 2

2x +𝝅/6 = 𝝅/₄ + 2𝝅

2x = ¹/₁₂ 𝝅 + 2𝝅 = ²⁵/₁₂ 𝝅

x = ²⁵/₂₄ 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {¹/₂₄ 𝝅, ¹³/₂₄ 𝝅}

16. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = cos 𝝅/6 untuk 0°≤ x ≤ 𝝅 adalah...

Pembahasan:

sin 2x = cos 𝝅/6

sin 2x = sin (𝝅/2 - 𝝅/6)

sin 2x = sin 𝝅/3

➢ 2x = 𝝅/₃ + k.2𝝅

k = 0

2x = 𝝅/3

x = 𝝅/6 (memenuhi)

k = 1

2x = 𝝅/₃ + 2𝝅 = ⁷/₃ 𝝅

x = ⁷/₆ 𝝅 (tidak memenuhi)

➢ 2x = 𝝅 - 𝝅/₃ + k.2𝝅

2x = ²/₃ 𝝅 + k.2𝝅

k = 0

2x = ²/₃ 𝝅 

x = ¹/₃ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

2x = ²/₃ 𝝅 + 2𝝅

x = ¹/₃ 𝝅 + 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {¹/₆ 𝝅, ¹/₃ 𝝅}

17. Himpunan penyelesaian dari 4 sin²x - 4 sin x - 3 = 0, untuk -𝝅 ≤ x ≤ 𝝅 adalah....

Pembahasan:

4 sin²x - 4 sin x - 3 = 0

(2 sin x - 3) (2 sin x + 1) = 0

2 sin x - 3 = 0 atau 2 sin x + 1 = 0

sin x = 3/2 (tidak memenuhi) atau 

sin x = -1/2

sin x = sin (-𝝅/6)

➢ x = -𝝅/6 + k.2𝝅

k = 0

x = -𝝅/6 (memenuhi)

k = 1

x = -𝝅/6 + 2𝝅 = ¹¹/₆ 𝝅 (tidak memenuhi)

➢ x = 𝝅-𝝅/6 + k.2𝝅

k = 0

x = ⁵/₆ 𝝅 (memenuhi)

k = 1, x = 1⁵/₆ 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {-¹/₆ 𝝅, ⁵/₆ 𝝅}

18. Himpunan penyelesaian dari 2 cos²x - cos x - 1 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 360° adalah....

Pembahasan:

2 cos²x - cos x - 1 = 0

(2 cos x + 1) (cos x - 1) = 0

2 cos x + 1 = 0 atau  cos x - 1 = 0

cos x = -1/2 atau cos x = 1

cos x = cos 120° atau cos x = cos 0°

➢ cos x = cos 120°

x = 120° + k.360°

k = 0, x = 120° (memenuhi)

x = -120° + k.360°

k = 0, x = -120° (tidak memenuhi)

k = 1, x = 240° (memenuhi)

➢ cos x = cos 0°

x = 0° + k.360°

k = 0, x = 0° (memenuhi)

k = 1, x = 360° (memenuhi)

HP = {0°, 120°, 240°, 360°}

19. Himpunan penyelesaian dari 2 cos²x = 2 + sin x, untuk 0°≤ x ≤ 360° adalah....

Pembahasan:

2 cos²x = 2 + sin x

2 cos²x - 2 - sin x = 0

2(cos²x - 1) - sin x = 0

-2sin²x - sin x = 0

-sin x (2 sin x + 1) = 0

- sin x = 0 atau 2sin x = -1

sin x = 0 atau sin x = -1/2

sin x = sin 0° atau sin x = sin (-30°)

➢ sin x = sin 0°

x = 0 + k.360°

k = 0, x = 0° (memenuhi)

k = 1, x = 360°(memenuhi)

x = 180° + k.360°

k = 0, x = 180° (memenuhi)

k = 1, x = 540° (tidak memenuhi)

➢ sin x = sin(-30°)

x = -30° + k.360°

k = 0, x = -30° (tidak memenuhi)

k = 1, x = 330° (memenuhi)

x = 180°-(-30°) + k.360° = 210° + k.360°

k = 0, x = 210° (memenuhi)

HP = {0°, 210°, 330°, 360°}

20. Himpunan penyelesaian dari tan x - tan²x = 0, untuk  0 ≤ x ≤ 2𝝅 adalah....

Pembahasan:

tan x - tan²x = 0

tan x (1 - tan x) = 0

tan x = 0 atau 1 - tan x = 0

tan x = 0 atau tan x = 1

➢ tan x = 0

tan x = tan 0

x = 0 + k.𝝅

k = 0

x = 0 (memenuhi)

k = 1

x = 𝝅 (memenuhi)

k = 2

x = 2𝝅 (memenuhi)

➢ tan x = 1

tan x = tan 𝝅/4

x = 𝝅/4 + k.𝝅

k = 0

x = 𝝅/4 = ¹/₄ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

x = 𝝅/4 + 𝝅 = 1¹/₄ 𝝅 (memenuhi)

HP = {0, ¹/₄ 𝝅, 𝝅, 1¹/₄ 𝝅, 2𝝅}