Soal Persamaan Trigonometri Sederhana Bimbel Jakarta Timur

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 0,5, untuk 0°≤ x ≤ 360° !

Pembahasan:

sin x = 0,5, maka

sin x = sin 30°, 𝞪 = 30°

➢ x = 30° + k.360° 

k = 0

x = 30° (memenuhi)

k = 1

x = 30° + 360° = 390° (tidak memenuhi karena > 360°)

➢ x = 180° - 30° + k.360° = 150° + k.360°

k = 0

x = 150° (memenuhi)

k = 1

x = 150° + 360° = 510° (tidak memenuhi karena > 360°)

HP = {30°, 150°}

2. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = ½√3 untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

sin 2x = ½√3, maka

sin 2x = sin 𝝅/3, 𝞪 = 𝝅/3

➢ x =  𝝅/3 + k.2𝝅

k = 0

x =  𝝅/3 (memenuhi)

k = 1

x = 𝝅/3 + 2𝝅  (tidak memenuhi karena > 2𝝅)

➢ x = 𝝅 - 𝝅/3 + k.2𝝅 = ²/₃𝝅 + k.2𝝅

k = 0

x = ²/₃𝝅 (memenuhi)

k = 1

x = ²/₃𝝅 + 2𝝅 (tidak memenuhi karena > 2𝝅)

HP = {¹/₃𝝅, ²/₃𝝅}

3. Himpunan penyelesaian dari cos 3x = ½√2 untuk 0°≤ x ≤ 180° adalah....

Pembahasan:

cos 3x = ½√2, maka

cos 3x = cos 45°, 𝞪 = 45°

➢ 3x = 45° + k.360° 

k = 0

3x = 45°

x = 15° (memenuhi)

k = 1

3x = 45° + 360° = 405° 

x = 135°

k = 2 

3x = 45° + 720° = 765° 

x = 255° (tidak memenuhi karena > 180°)

➢ 3x = - 45° + k.360° 

k = 0

3x = -45° (tidak memenuhi karena < 0)

k = 1

3x = -45° + 360° = 315° 

x = 105° (memenuhi)

k = 2

3x = -45° + 720° = 675°

x = 225° (tidak memenuhi karena > 180°)

HP = {15°, 135°, 315°}

4. Himpunan penyelesaian dari 2cos 2x - 1 = 0 untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

2cos 2x - 1 = 0

2cos 2x = 1

cos 2x = 1/2

cos 2x = cos 𝝅/3, 𝞪 = 𝝅/3

➢ 2x =  𝝅/3 + k.2𝝅

k = 0

2x =  𝝅/3 

x = 𝝅/6 (memenuhi)

k = 1

2x = 𝝅/3 + 2𝝅 = 2¹/₃𝝅 

x = 1¹/₆𝝅 (memenuhi)

k = 2 tidak memenuhi karena hasilnya > 2𝝅

➢ 2x = - 𝝅/3 + k.2𝝅 = ²/₃𝝅 + k.2𝝅

k = 0

2x = - ²/₃𝝅 (tidak memenuhi karena < 0)

k = 1

2x = -²/₃𝝅 + 2𝝅 = ⁴/₃𝝅

x = ²/₃ 𝝅 (memenuhi)

HP = {¹/₆𝝅, ²/₃𝝅, 1¹/₆𝝅}

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2sin²x - 1 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 360° !

Pembahasan:

2sin²x - 1 = 0

2sin²x = 1  

sin²x = 1/2

sin x = ½√2

sin x = sin 45°, 𝞪 = 45°

➢ x = 45° + k.360° 

k = 0

x = 45° (memenuhi)

k = 1

x = 45° + 360° = 405° (tidak memenuhi karena > 360°)

➢ x = 180° - 45° + k.360° = 135° + k.360°

k = 0

x = 135° (memenuhi)

k = 1

x = 150° + 360° = 510° (tidak memenuhi karena > 360°)

HP = {45°, 135°}

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari tan²x - 3 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 360° !

Pembahasan:

tan²x - 3 = 0

tan²x = 3 

tan x = √3

tan x = tan 60°, 𝞪 = 60°

➢ x = 60° + k.180°

k = 0

x = 60° (memenuhi)

k = 1

x = 60° + 180° = 240° (memenuhi)

k = 2 (tidak memenuhi karena > 360°)

HP = {60°, 240°}

7. Himpunan penyelesaian dari 3tan²x - 1 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

3tan²x - 1 = 0

3tan²x = 1 

tan²x = 1/3

tan x = 1/√3

tan x = ¹/₆ 𝝅, 𝞪 = ¹/₆ 𝝅

➢ x = ¹/₆ 𝝅 + k.𝝅

k = 0

x = ¹/₆ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

x = ¹/₆ 𝝅 + 𝝅 = 1¹/₆ 𝝅 (memenuhi)

HP = {¹/₆ 𝝅, 1¹/₆ 𝝅}

8. Himpunan penyelesaian dari 4cos²x - 3 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

4cos²x - 3 = 0

4cos²x = 3

cos²x = 3/4

cos x = ½√3

cos x = cos ¹/₆ 𝝅

➢ x = ¹/₆ 𝝅 + k.2𝝅

k = 0

x = ¹/₆ 𝝅  (memenuhi)

k = 1

x = ¹/₆ 𝝅 + 2𝝅 = 2 ¹/₆ 𝝅 (tidak memenuhi karena hasilnya > 2𝝅)

➢ x = - ¹/₆ 𝝅 + k.2𝝅 

k = 0

x = - ¹/₆ 𝝅 (tidak memenuhi karena < 0)

k = 1

x = -¹/₆ 𝝅 + 2𝝅 = 1 ⁵/₆ 𝝅 (memenuhi)

HP = {¹/₆𝝅, 1⁵/₆ 𝝅}

9. Himpunan penyelesaian dari cos (2x+10)° = cos 40° untuk 0°≤ x ≤ 180° adalah....

Pembahasan:

cos (2x+10)° = cos 40°

➢ 2x+10° =  40° + k.360°

k = 0

2x+10° =  40°

2x = 30°

x = 15° (memenuhi)

k = 1

2x+10° =  40° + 360°

2x = 390°

x = 195° (tidak memenuhi)

➢ 2x+10° =  -40° + k.360°

k = 0

2x+10° =  -40°

2x = -50°

x = -25° (tidak memenuhi)

k = 1

2x+10° =  -40° + 360°

2x = 310°

x = 155° (memenuhi)

HP = {15°, 155°}

10. Himpunan penyelesaian dari sin (x+𝝅/₃) = ½√3 untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

sin (x+𝝅/₄) = ½√3

sin (x+𝝅/₄) = sin 𝝅/₃

➢ x+𝝅/₄ = 𝝅/₃ + k.2𝝅

k = 0

x+𝝅/₄ = 𝝅/₃

x = 𝝅/₃ - 𝝅/₄

x = ¹/₁₂ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

x+𝝅/₄ = 𝝅/₃ + 2𝝅

x = 2¹/₁₂ 𝝅 (tidak memenuhi)

➢ x+𝝅/₄ = 𝝅 - 𝝅/₃ + k.2𝝅

x = ²/₃ 𝝅 - 𝝅/₄ + k.2𝝅

x = ⁵/₁₂ 𝝅 + k.2𝝅

k = 0

x = ⁵/₁₂ 𝝅 (memenuhi)

k = 1, x = 2⁵/₁₂ 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {¹/₁₂ 𝝅, ⁵/₁₂ 𝝅}

11. Himpunan penyelesaian dari sin 3x = cos x, untuk 0°≤ x ≤ 180° adalah....

Pembahasan:

sin 3x = cos x (ingat cos A = sin (90° - A))

sin 3x = sin (90° - x)

➢3x = 90° - x + k.360°

4x = 90° + k.360°

k = 0

4x = 90°

x = 22,5° (memenuhi)

k = 1

4x = 90° + 360°

4x = 450°

x = 112,5° (memenuhi)

k = 2

4x = 90° + 720°

4x = 810°

x = 202,5° (tidak memenuhi)

➢ 3x = (180 - (90° - x)) + k.360°

3x = 90° + x + k.360°

2x = 90° + k.360°

k = 0

2x = 90°

x = 45° (memenuhi)

k = 1

2x = 90° + 360°

2x = 450°

x = 225° (tidak memenuhi)

HP = {45°, 112,5°, 225°}

12. Nilai x yang memenuhi 2 cos² (x/2) = 1, untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...

Pembahasan:

2 cos² (x/2) = 1

  cos² (x/2) = 1/2

  cos (x/2) = ½√2

  cos (x/2) = cos 𝝅/4

➢ x/2 = 𝝅/4 + k.2𝝅

k = 0

x/2 = 𝝅/4

x = 𝝅/2 (memenuhi)

k = 1

x/2 = 𝝅/4 + 2𝝅

x = 2½ 𝝅 (tidak memenuhi)

➢ x/2 = -𝝅/4 + k.2𝝅

k = 0

x/2 = - 𝝅/4 

x = - 𝝅/2 (tidak memenuhi)

k = 1

x/2 = -𝝅/4 + 2𝝅

x = -½ 𝝅 + 4𝝅

x = 3½ 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {𝝅/2}

13. Nilai x yang memenuhi √3 tan 2x = 1, untuk 0°≤ x ≤ 𝝅 adalah...

Pembahasan:

√3 tan 2x = 1

tan 2x = 1/√3

tan 2x = tan 𝝅/6

2x = 𝝅/6 + k.𝝅

k = 0

x = ¹/₁₂ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

2x = 𝝅/6 + 𝝅 = ⁷/₆ 𝝅

x = ⁷/₁₂ 𝝅 (memenuhi)

k = 2

2x = 𝝅/6 + 2𝝅 = ¹³/₆ 𝝅

x = ¹³/₁₂ 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {¹/₁₂ 𝝅, ⁷/₁₂ 𝝅}

14. Himpunan penyelesaian dari cos (2x - 10)° = sin 20°, untuk 0°≤ x ≤ 360° adalah....

Pembahasan:

cos (2x - 10)° = sin 20°

cos (2x - 10)° = cos 70°

2x - 10° = 70°

2x = 80° + k.360° atau 2x = -80° + k.360° 

➢ 2x = 80° + k.360°

k = 0

2x = 80°

x = 40° (memenuhi)

k = 1

2x = 80° + 360°

2x = 440°

x = 220° (memenuhi)

➢ 2x = -80° + k.360°

k = 0, x = -40° (tidak memenuhi)

k = 1

2x = -80° + 360° = 280°

x = 140° (memenuhi)

k = 2

2x = -80° + 720° = 640°

x = 320° (memenuhi)

HP = {40°, 140°, 220°, 320°}

15. Himpunan penyelesaian dari tan (2x +𝝅/6) = 1, untuk 0°≤ x ≤ 𝝅 adalah...

Pembahasan:

tan (2x +𝝅/6) = 1

tan (2x +𝝅/6) = tan 𝝅/₄

2x +𝝅/6 = 𝝅/₄ + k.𝝅

k = 0

2x +𝝅/6 = 𝝅/₄

2x = ¹/₁₂ 𝝅

x = ¹/₂₄ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

2x +𝝅/6 = 𝝅/₄ + 𝝅

2x = ¹/₁₂ 𝝅 + 𝝅 = ¹³/₁₂ 𝝅

x = ¹³/₂₄ 𝝅 (memenuhi)

k = 2

2x +𝝅/6 = 𝝅/₄ + 2𝝅

2x = ¹/₁₂ 𝝅 + 2𝝅 = ²⁵/₁₂ 𝝅

x = ²⁵/₂₄ 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {¹/₂₄ 𝝅, ¹³/₂₄ 𝝅}

16. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = cos 𝝅/6 untuk 0°≤ x ≤ 𝝅 adalah...

Pembahasan:

sin 2x = cos 𝝅/6

sin 2x = sin (𝝅/2 - 𝝅/6)

sin 2x = sin 𝝅/3

➢ 2x = 𝝅/₃ + k.2𝝅

k = 0

2x = 𝝅/3

x = 𝝅/6 (memenuhi)

k = 1

2x = 𝝅/₃ + 2𝝅 = ⁷/₃ 𝝅

x = ⁷/₆ 𝝅 (tidak memenuhi)

➢ 2x = 𝝅 - 𝝅/₃ + k.2𝝅

2x = ²/₃ 𝝅 + k.2𝝅

k = 0

2x = ²/₃ 𝝅 

x = ¹/₃ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

2x = ²/₃ 𝝅 + 2𝝅

x = ¹/₃ 𝝅 + 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {¹/₆ 𝝅, ¹/₃ 𝝅}

17. Himpunan penyelesaian dari 4 sin²x - 4 sin x - 3 = 0, untuk -𝝅 ≤ x ≤ 𝝅 adalah....

Pembahasan:

4 sin²x - 4 sin x - 3 = 0

(2 sin x - 3) (2 sin x + 1) = 0

2 sin x - 3 = 0 atau 2 sin x + 1 = 0

sin x = 3/2 (tidak memenuhi) atau 

sin x = -1/2

sin x = sin (-𝝅/6)

➢ x = -𝝅/6 + k.2𝝅

k = 0

x = -𝝅/6 (memenuhi)

k = 1

x = -𝝅/6 + 2𝝅 = ¹¹/₆ 𝝅 (tidak memenuhi)

➢ x = 𝝅-𝝅/6 + k.2𝝅

k = 0

x = ⁵/₆ 𝝅 (memenuhi)

k = 1, x = 1⁵/₆ 𝝅 (tidak memenuhi)

HP = {-¹/₆ 𝝅, ⁵/₆ 𝝅}

18. Himpunan penyelesaian dari 2 cos²x - cos x - 1 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 360° adalah....

Pembahasan:

2 cos²x - cos x - 1 = 0

(2 cos x + 1) (cos x - 1) = 0

2 cos x + 1 = 0 atau  cos x - 1 = 0

cos x = -1/2 atau cos x = 1

cos x = cos 120° atau cos x = cos 0°

➢ cos x = cos 120°

x = 120° + k.360°

k = 0, x = 120° (memenuhi)

x = -120° + k.360°

k = 0, x = -120° (tidak memenuhi)

k = 1, x = 240° (memenuhi)

➢ cos x = cos 0°

x = 0° + k.360°

k = 0, x = 0° (memenuhi)

k = 1, x = 360° (memenuhi)

HP = {0°, 120°, 240°, 360°}

19. Himpunan penyelesaian dari 2 cos²x = 2 + sin x, untuk 0°≤ x ≤ 360° adalah....

Pembahasan:

2 cos²x = 2 + sin x

2 cos²x - 2 - sin x = 0

2(cos²x - 1) - sin x = 0

-2sin²x - sin x = 0

-sin x (2 sin x + 1) = 0

- sin x = 0 atau 2sin x = -1

sin x = 0 atau sin x = -1/2

sin x = sin 0° atau sin x = sin (-30°)

➢ sin x = sin 0°

x = 0 + k.360°

k = 0, x = 0° (memenuhi)

k = 1, x = 360°(memenuhi)

x = 180° + k.360°

k = 0, x = 180° (memenuhi)

k = 1, x = 540° (tidak memenuhi)

➢ sin x = sin(-30°)

x = -30° + k.360°

k = 0, x = -30° (tidak memenuhi)

k = 1, x = 330° (memenuhi)

x = 180°-(-30°) + k.360° = 210° + k.360°

k = 0, x = 210° (memenuhi)

HP = {0°, 210°, 330°, 360°}

20. Himpunan penyelesaian dari tan x - tan²x = 0, untuk  0 ≤ x ≤ 2𝝅 adalah....

Pembahasan:

tan x - tan²x = 0

tan x (1 - tan x) = 0

tan x = 0 atau 1 - tan x = 0

tan x = 0 atau tan x = 1

➢ tan x = 0

tan x = tan 0

x = 0 + k.𝝅

k = 0

x = 0 (memenuhi)

k = 1

x = 𝝅 (memenuhi)

k = 2

x = 2𝝅 (memenuhi)

➢ tan x = 1

tan x = tan 𝝅/4

x = 𝝅/4 + k.𝝅

k = 0

x = 𝝅/4 = ¹/₄ 𝝅 (memenuhi)

k = 1

x = 𝝅/4 + 𝝅 = 1¹/₄ 𝝅 (memenuhi)

HP = {0, ¹/₄ 𝝅, 𝝅, 1¹/₄ 𝝅, 2𝝅}