Berikut adalah contoh soal dan pembahasan persamaan trigonometri sederhana
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 0,5, untuk 0°≤ x ≤ 360° !
Pembahasan:
sin x = 0,5, maka
sin x = sin 30°, 𝞪 = 30°
➢ x = 30° + k.360°
k = 0
x = 30° (memenuhi)
k = 1
x = 30° + 360° = 390° (tidak memenuhi karena > 360°)
➢ x = 180° - 30° + k.360° = 150° + k.360°
k = 0
x = 150° (memenuhi)
k = 1
x = 150° + 360° = 510° (tidak memenuhi karena > 360°)
HP = {30°, 150°}
2. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = ½√3 untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...
Pembahasan:
sin 2x = ½√3, maka
sin 2x = sin 𝝅/3, 𝞪 = 𝝅/3
➢ x = 𝝅/3 + k.2𝝅
k = 0
x = 𝝅/3 (memenuhi)
k = 1
x = 𝝅/3 + 2𝝅 (tidak memenuhi karena > 2𝝅)
➢ x = 𝝅 - 𝝅/3 + k.2𝝅 = ²/₃𝝅 + k.2𝝅
k = 0
x = ²/₃𝝅 (memenuhi)
k = 1
x = ²/₃𝝅 + 2𝝅 (tidak memenuhi karena > 2𝝅)
HP = {¹/₃𝝅, ²/₃𝝅}
3. Himpunan penyelesaian dari cos 3x = ½√2 untuk 0°≤ x ≤ 180° adalah....
Pembahasan:
cos 3x = ½√2, maka
cos 3x = cos 45°, 𝞪 = 45°
➢ 3x = 45° + k.360°
k = 0
3x = 45°
x = 15° (memenuhi)
k = 1
3x = 45° + 360° = 405°
x = 135°
k = 2
3x = 45° + 720° = 765°
x = 255° (tidak memenuhi karena > 180°)
➢ 3x = - 45° + k.360°
k = 0
3x = -45° (tidak memenuhi karena < 0)
k = 1
3x = -45° + 360° = 315°
x = 105° (memenuhi)
k = 2
3x = -45° + 720° = 675°
x = 225° (tidak memenuhi karena > 180°)
HP = {15°, 135°, 315°}
4. Himpunan penyelesaian dari 2cos 2x - 1 = 0 untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...
Pembahasan:
2cos 2x - 1 = 0
2cos 2x = 1
cos 2x = 1/2
cos 2x = cos 𝝅/3, 𝞪 = 𝝅/3
➢ 2x = 𝝅/3 + k.2𝝅
k = 0
2x = 𝝅/3
x = 𝝅/6 (memenuhi)
k = 1
2x = 𝝅/3 + 2𝝅 = 2¹/₃𝝅
x = 1¹/₆𝝅 (memenuhi)
k = 2 tidak memenuhi karena hasilnya > 2𝝅
➢ 2x = - 𝝅/3 + k.2𝝅 = ²/₃𝝅 + k.2𝝅
k = 0
2x = - ²/₃𝝅 (tidak memenuhi karena < 0)
k = 1
2x = -²/₃𝝅 + 2𝝅 = ⁴/₃𝝅
x = ²/₃ 𝝅 (memenuhi)
HP = {¹/₆𝝅, ²/₃𝝅, 1¹/₆𝝅}
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2sin²x - 1 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 360° !
Pembahasan:
2sin²x - 1 = 0
2sin²x = 1
sin²x = 1/2
sin x = ½√2
sin x = sin 45°, 𝞪 = 45°
➢ x = 45° + k.360°
k = 0
x = 45° (memenuhi)
k = 1
x = 45° + 360° = 405° (tidak memenuhi karena > 360°)
➢ x = 180° - 45° + k.360° = 135° + k.360°
k = 0
x = 135° (memenuhi)
k = 1
x = 150° + 360° = 510° (tidak memenuhi karena > 360°)
HP = {45°, 135°}
6. Tentukan himpunan penyelesaian dari tan²x - 3 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 360° !
Pembahasan:
tan²x - 3 = 0
tan²x = 3
tan x = √3
tan x = tan 60°, 𝞪 = 60°
➢ x = 60° + k.180°
k = 0
x = 60° (memenuhi)
k = 1
x = 60° + 180° = 240° (memenuhi)
k = 2 (tidak memenuhi karena > 360°)
HP = {60°, 240°}
7. Himpunan penyelesaian dari 3tan²x - 1 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...
Pembahasan:
3tan²x - 1 = 0
3tan²x = 1
tan²x = 1/3
tan x = 1/√3
tan x = ¹/₆ 𝝅, 𝞪 = ¹/₆ 𝝅
➢ x = ¹/₆ 𝝅 + k.𝝅
k = 0
x = ¹/₆ 𝝅 (memenuhi)
k = 1
x = ¹/₆ 𝝅 + 𝝅 = 1¹/₆ 𝝅 (memenuhi)
HP = {¹/₆ 𝝅, 1¹/₆ 𝝅}
8. Himpunan penyelesaian dari 4cos²x - 3 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...
Pembahasan:
4cos²x - 3 = 0
4cos²x = 3
cos²x = 3/4
cos x = ½√3
cos x = cos ¹/₆ 𝝅
➢ x = ¹/₆ 𝝅 + k.2𝝅
k = 0
x = ¹/₆ 𝝅 (memenuhi)
k = 1
x = ¹/₆ 𝝅 + 2𝝅 = 2 ¹/₆ 𝝅 (tidak memenuhi karena hasilnya > 2𝝅)
➢ x = - ¹/₆ 𝝅 + k.2𝝅
k = 0
x = - ¹/₆ 𝝅 (tidak memenuhi karena < 0)
k = 1
x = -¹/₆ 𝝅 + 2𝝅 = 1 ⁵/₆ 𝝅 (memenuhi)
HP = {¹/₆𝝅, 1⁵/₆ 𝝅}
9. Himpunan penyelesaian dari cos (2x+10)° = cos 40° untuk 0°≤ x ≤ 180° adalah....
Pembahasan:
cos (2x+10)° = cos 40°
➢ 2x+10° = 40° + k.360°
k = 0
2x+10° = 40°
2x = 30°
x = 15° (memenuhi)
k = 1
2x+10° = 40° + 360°
2x = 390°
x = 195° (tidak memenuhi)
➢ 2x+10° = -40° + k.360°
k = 0
2x+10° = -40°
2x = -50°
x = -25° (tidak memenuhi)
k = 1
2x+10° = -40° + 360°
2x = 310°
x = 155° (memenuhi)
HP = {15°, 155°}
10. Himpunan penyelesaian dari sin (x+𝝅/₃) = ½√3 untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...
Pembahasan:
sin (x+𝝅/₄) = ½√3
sin (x+𝝅/₄) = sin 𝝅/₃
➢ x+𝝅/₄ = 𝝅/₃ + k.2𝝅
k = 0
x+𝝅/₄ = 𝝅/₃
x = 𝝅/₃ - 𝝅/₄
x = ¹/₁₂ 𝝅 (memenuhi)
k = 1
x+𝝅/₄ = 𝝅/₃ + 2𝝅
x = 2¹/₁₂ 𝝅 (tidak memenuhi)
➢ x+𝝅/₄ = 𝝅 - 𝝅/₃ + k.2𝝅
x = ²/₃ 𝝅 - 𝝅/₄ + k.2𝝅
x = ⁵/₁₂ 𝝅 + k.2𝝅
k = 0
x = ⁵/₁₂ 𝝅 (memenuhi)
k = 1, x = 2⁵/₁₂ 𝝅 (tidak memenuhi)
HP = {¹/₁₂ 𝝅, ⁵/₁₂ 𝝅}
11. Himpunan penyelesaian dari sin 3x = cos x, untuk 0°≤ x ≤ 180° adalah....
Pembahasan:
sin 3x = cos x (ingat cos A = sin (90° - A))
sin 3x = sin (90° - x)
➢3x = 90° - x + k.360°
4x = 90° + k.360°
k = 0
4x = 90°
x = 22,5° (memenuhi)
k = 1
4x = 90° + 360°
4x = 450°
x = 112,5° (memenuhi)
k = 2
4x = 90° + 720°
4x = 810°
x = 202,5° (tidak memenuhi)
➢ 3x = (180 - (90° - x)) + k.360°
3x = 90° + x + k.360°
2x = 90° + k.360°
k = 0
2x = 90°
x = 45° (memenuhi)
k = 1
2x = 90° + 360°
2x = 450°
x = 225° (tidak memenuhi)
HP = {45°, 112,5°, 225°}
12. Nilai x yang memenuhi 2 cos² (x/2) = 1, untuk 0°≤ x ≤ 2𝝅 adalah...
Pembahasan:
2 cos² (x/2) = 1
cos² (x/2) = 1/2
cos (x/2) = ½√2
cos (x/2) = cos 𝝅/4
➢ x/2 = 𝝅/4 + k.2𝝅
k = 0
x/2 = 𝝅/4
x = 𝝅/2 (memenuhi)
k = 1
x/2 = 𝝅/4 + 2𝝅
x = 2½ 𝝅 (tidak memenuhi)
➢ x/2 = -𝝅/4 + k.2𝝅
k = 0
x/2 = - 𝝅/4
x = - 𝝅/2 (tidak memenuhi)
k = 1
x/2 = -𝝅/4 + 2𝝅
x = -½ 𝝅 + 4𝝅
x = 3½ 𝝅 (tidak memenuhi)
HP = {𝝅/2}
13. Nilai x yang memenuhi √3 tan 2x = 1, untuk 0°≤ x ≤ 𝝅 adalah...
Pembahasan:
√3 tan 2x = 1
tan 2x = 1/√3
tan 2x = tan 𝝅/6
2x = 𝝅/6 + k.𝝅
k = 0
x = ¹/₁₂ 𝝅 (memenuhi)
k = 1
2x = 𝝅/6 + 𝝅 = ⁷/₆ 𝝅
x = ⁷/₁₂ 𝝅 (memenuhi)
k = 2
2x = 𝝅/6 + 2𝝅 = ¹³/₆ 𝝅
x = ¹³/₁₂ 𝝅 (tidak memenuhi)
HP = {¹/₁₂ 𝝅, ⁷/₁₂ 𝝅}
14. Himpunan penyelesaian dari cos (2x - 10)° = sin 20°, untuk 0°≤ x ≤ 360° adalah....
Pembahasan:
cos (2x - 10)° = sin 20°
cos (2x - 10)° = cos 70°
2x - 10° = 70°
2x = 80° + k.360° atau 2x = -80° + k.360°
➢ 2x = 80° + k.360°
k = 0
2x = 80°
x = 40° (memenuhi)
k = 1
2x = 80° + 360°
2x = 440°
x = 220° (memenuhi)
➢ 2x = -80° + k.360°
k = 0, x = -40° (tidak memenuhi)
k = 1
2x = -80° + 360° = 280°
x = 140° (memenuhi)
k = 2
2x = -80° + 720° = 640°
x = 320° (memenuhi)
HP = {40°, 140°, 220°, 320°}
15. Himpunan penyelesaian dari tan (2x +𝝅/6) = 1, untuk 0°≤ x ≤ 𝝅 adalah...
Pembahasan:
tan (2x +𝝅/6) = 1
tan (2x +𝝅/6) = tan 𝝅/₄
2x +𝝅/6 = 𝝅/₄ + k.𝝅
k = 0
2x +𝝅/6 = 𝝅/₄
2x = ¹/₁₂ 𝝅
x = ¹/₂₄ 𝝅 (memenuhi)
k = 1
2x +𝝅/6 = 𝝅/₄ + 𝝅
2x = ¹/₁₂ 𝝅 + 𝝅 = ¹³/₁₂ 𝝅
x = ¹³/₂₄ 𝝅 (memenuhi)
k = 2
2x +𝝅/6 = 𝝅/₄ + 2𝝅
2x = ¹/₁₂ 𝝅 + 2𝝅 = ²⁵/₁₂ 𝝅
x = ²⁵/₂₄ 𝝅 (tidak memenuhi)
HP = {¹/₂₄ 𝝅, ¹³/₂₄ 𝝅}
16. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = cos 𝝅/6 untuk 0°≤ x ≤ 𝝅 adalah...
Pembahasan:
sin 2x = cos 𝝅/6
sin 2x = sin (𝝅/2 - 𝝅/6)
sin 2x = sin 𝝅/3
➢ 2x = 𝝅/₃ + k.2𝝅
k = 0
2x = 𝝅/3
x = 𝝅/6 (memenuhi)
k = 1
2x = 𝝅/₃ + 2𝝅 = ⁷/₃ 𝝅
x = ⁷/₆ 𝝅 (tidak memenuhi)
➢ 2x = 𝝅 - 𝝅/₃ + k.2𝝅
2x = ²/₃ 𝝅 + k.2𝝅
k = 0
2x = ²/₃ 𝝅
x = ¹/₃ 𝝅 (memenuhi)
k = 1
2x = ²/₃ 𝝅 + 2𝝅
x = ¹/₃ 𝝅 + 𝝅 (tidak memenuhi)
HP = {¹/₆ 𝝅, ¹/₃ 𝝅}
17. Himpunan penyelesaian dari 4 sin²x - 4 sin x - 3 = 0, untuk -𝝅 ≤ x ≤ 𝝅 adalah....
Pembahasan:
4 sin²x - 4 sin x - 3 = 0
(2 sin x - 3) (2 sin x + 1) = 0
2 sin x - 3 = 0 atau 2 sin x + 1 = 0
sin x = 3/2 (tidak memenuhi) atau
sin x = -1/2
sin x = sin (-𝝅/6)
➢ x = -𝝅/6 + k.2𝝅
k = 0
x = -𝝅/6 (memenuhi)
k = 1
x = -𝝅/6 + 2𝝅 = ¹¹/₆ 𝝅 (tidak memenuhi)
➢ x = 𝝅-𝝅/6 + k.2𝝅
k = 0
x = ⁵/₆ 𝝅 (memenuhi)
k = 1, x = 1⁵/₆ 𝝅 (tidak memenuhi)
HP = {-¹/₆ 𝝅, ⁵/₆ 𝝅}
18. Himpunan penyelesaian dari 2 cos²x - cos x - 1 = 0, untuk 0°≤ x ≤ 360° adalah....
Pembahasan:
2 cos²x - cos x - 1 = 0
(2 cos x + 1) (cos x - 1) = 0
2 cos x + 1 = 0 atau cos x - 1 = 0
cos x = -1/2 atau cos x = 1
cos x = cos 120° atau cos x = cos 0°
➢ cos x = cos 120°
x = 120° + k.360°
k = 0, x = 120° (memenuhi)
x = -120° + k.360°
k = 0, x = -120° (tidak memenuhi)
k = 1, x = 240° (memenuhi)
➢ cos x = cos 0°
x = 0° + k.360°
k = 0, x = 0° (memenuhi)
k = 1, x = 360° (memenuhi)
HP = {0°, 120°, 240°, 360°}
19. Himpunan penyelesaian dari 2 cos²x = 2 + sin x, untuk 0°≤ x ≤ 360° adalah....
Pembahasan:
2 cos²x = 2 + sin x
2 cos²x - 2 - sin x = 0
2(cos²x - 1) - sin x = 0
-2sin²x - sin x = 0
-sin x (2 sin x + 1) = 0
- sin x = 0 atau 2sin x = -1
sin x = 0 atau sin x = -1/2
sin x = sin 0° atau sin x = sin (-30°)
➢ sin x = sin 0°
x = 0 + k.360°
k = 0, x = 0° (memenuhi)
k = 1, x = 360°(memenuhi)
x = 180° + k.360°
k = 0, x = 180° (memenuhi)
k = 1, x = 540° (tidak memenuhi)
➢ sin x = sin(-30°)
x = -30° + k.360°
k = 0, x = -30° (tidak memenuhi)
k = 1, x = 330° (memenuhi)
x = 180°-(-30°) + k.360° = 210° + k.360°
k = 0, x = 210° (memenuhi)
HP = {0°, 210°, 330°, 360°}
20. Himpunan penyelesaian dari tan x - tan²x = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2𝝅 adalah....
Pembahasan:
tan x - tan²x = 0
tan x (1 - tan x) = 0
tan x = 0 atau 1 - tan x = 0
tan x = 0 atau tan x = 1
➢ tan x = 0
tan x = tan 0
x = 0 + k.𝝅
k = 0
x = 0 (memenuhi)
k = 1
x = 𝝅 (memenuhi)
k = 2
x = 2𝝅 (memenuhi)
➢ tan x = 1
tan x = tan 𝝅/4
x = 𝝅/4 + k.𝝅
k = 0
x = 𝝅/4 = ¹/₄ 𝝅 (memenuhi)
k = 1
x = 𝝅/4 + 𝝅 = 1¹/₄ 𝝅 (memenuhi)
HP = {0, ¹/₄ 𝝅, 𝝅, 1¹/₄ 𝝅, 2𝝅}