1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari 2√3 adalah....
a. x² + y² = 2√3
b. x² + y² = 6
c. x² + y² = 12
d. x² + y² = 18
Pembahasan:
Persamaan umum lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r
x² + y² = r²
x² + y² = (2√3)²
x² + y² = 12
Jawaban: c
2. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan melalui titik (-3,4) adalah....
a. x² + y² = 5
b. x² + y² = 7
c. x² + y² = 12
d. x² + y² = 25
Pembahasan:
x² + y² = r²
(-3)² + 4² = r²
9 + 16 = r²
r² = 25
Persamaan lingkaran : x² + y² = 25
Jawaban: d
a. (x+2)² + (y-5)² = 3
b. (x-2)² + (y+5)² = 3
c. (x+2)² + (y-5)² = 9
d. (x -2)² + (y+5)² = 9
Pembahasan:
Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r
(x - a)² + (y - b)² = r²
P(2,-5) dan r = 3
(x - 2)² + (y - (-5))² = 3²
(x - 2)² + (y + 5)² = 9
Jawaban: d
5. Pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x² + y² + 8x - 12y + 3 = 0 adalah...
a. P(4,-6). r = √3
b. P(-4,6), r = 3
c. P(-4,6), r = 7
d. P(-8,12), r = 9
Pembahasan:
Bentuk umum persamaan lingkaran
x² + y² + Ax + By + C = 0
P(-½A, -½B)
r² = (-½A)² + (-½B)² - C
A = 8, B = -12, C = 3
Maka P(-½(8), -½(-12)) = P(-4,6)
r² = (-4)² + 6² - 3
r² = 16 + 36 - 3 = 49
r = 7
Jawaban: c
6. Sebuah lingkaran berpusat di (7,-5) dan menyinggung garis x - 3 = 0. Persamaan lingkaran tersebut adalah...
a. x² + y² - 14x + 10y + 58 = 0
b.x² + y² + 14x - 10y + 58 = 0
c. x² + y² - 14x + 10y + 74 = 0
d. x² + y² + 14x - 10y + 74 = 0
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut
Panjang jari-jari ditunjukkan dengan jarak titik pusat (7,-5) ke garis x-3 = 0.
r = 7 - 3 = 4
maka persamaan lingkaran adalah
x² + y² - (2.7)x - (2.(-5))y + (7² + (-5)² - 4²) = 0
x² + y² - 14x + 10y + 58 = 0
Jawaban: a
7. Garis AB merupakan diameter sebuah lingkaran. Jika titik A(-3,-1) dan B(7,5), maka persamaan lingkaran tersebut adalah....
a. x² + y² - 4x - 4y - 30 = 0
b.x² + y² + 4x + 4y - 30 = 0
c. x² + y² - 4x - 4y + 30 = 0
d. x² + y² + 4x + 4y + 30 = 0
Pembahasan:
Diameternya adalah jarak titik A dan titik B
d² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²
d² = (-3 - 7)² + (-1 - 5)²
d² = 100 + 36 = 136
d = √136 = 2√38
r = d : 2 = √38
titik pusat (½ (x₁ + x₂), ½(y₁ + y₂))
P(½(-3+7), ½(-1+5))
P(2,2)
maka persamaan lingkaran adalah
x² + y² - (2.2)x - (2.2)y + (2² + 2² - √38²) = 0
x² + y² - 4x - 4y - 30 = 0
Jawaban: a
8. Persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dan melalui titik (6,-3) adalah....
a. x² + y² - 2x - 3y + 39 = 0
b. x² + y² - 4x - 6y - 39 = 0
c. x² + y² + 2x + 3y + 39 = 0
d. x² + y² + 4x + 6y - 39 = 0
Pembahasan:
Jari-jari adalah jarak titik pusat ke titik yang dilalui
r² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²
r² = (2 - 6)² + (3 - (-3))²
r² = 16 + 36
r² = 52
maka persamaan lingkaran adalah
x² + y² - (2.2)x - (2.3)y + (2² + 3² - 52) = 0
x² + y² - 4x - 6y - 39 = 0
Jawaban: b
9. Persamaan lingkaran yang berpusat di (3,5) dan menyinggung garis x - 2y = 8 adalah....
a. (x - 3)² + (y - 5)² = 40
b. (x + 3)² + (y + 5)² = 40
c. (x - 3)² + (y - 5)² = 45
d. (x + 3)² + (y + 5)² = 45
Pembahasan:
Maka persamaan lingkaran adalah
(x - 3)² + (y - 5)² = (3√5)²
(x - 3)² + (y - 5)² = 45
Jawaban: c
10. Lingkaran L mempunyai persamaan x² + y² - 10x + 12y + 45 = 0. Titik berikut yang tidak berada di dalam lingkaran adalah...
a. (6,-8)
b. (3,-4)
c. (2,-7)
d. (1,-5)
Pembahasan:
a. (6,-8)
➢ x² + y² - 10x + 12y + 45
= 6² + (-8)² - 10(6) + 12(-8) + 45
= 36 + 64 - 60 - 96 + 45
= - 11
-11 < 0, di dalam lingkaran
b. (3,-4)
➢ x² + y² - 10x + 12y + 45
= 3² + (-4)² - 10(3) + 12(-4) + 45
= 9 + 16 - 30 - 48 + 45
= - 8
-8 < 0, di dalam lingkaran
c. (2,-7)
➢ x² + y² - 10x + 12y + 45
= 2² + (-7)² - 10(2) + 12(-7) + 45
= 4 + 49 - 20 - 84 + 45
= - 8
-8 < 0, di dalam lingkaran
d. (1,-5)
➢ x² + y² - 10x + 12y + 45
= 1² + (-5)² - 10(1) + 12(-5) + 45
= 1 + 25 - 10 - 60 + 45
= 1
1 > 0, di luar lingkaran
Jawaban: d
11. Sebuah lingkaran mempunyai persamaan x² + y² + 3ax - 10y - a = 0. Jika titik (3,5) terletak pada lingkaran, maka pusat lingkaran tersebut adalah...
a. (-1,5)
b. (1,-5)
c. (-3,5)
d. (3,-5)
Pembahasan:
Substitusi titik (3,5) ke persamaan lingkaran
x² + y² + 3ax - 10y - a = 0
3² + 5² + 3a(3) - 10(5) - a = 0
9 + 25 + 9a - 50 - a = 0
9a - a = 50 - 9 - 25
8a = 16
a = 2
Maka persamaan lingkaran
x² + y² + 6x - 10y - 2 = 0
P(-½(6), -½(-10))
P(-3,5)
Jawaban: c
12. Kedudukan garis y = 2x + 7 terhadap lingkaran x² + y² = 36 adalah....
a. garis melalui pusat lingkaran
b. garis memotong lingkaran di dua titik
c. garis menyinggung lingkaran
d. garis berada di luar lingkaran
Pembahasan:
➢Dari persamaan lingkaran diketahui pusat lingkaran adalah (0,0).
Jika nilai x = 0, nilai y pada garis y = 2x + 7
y = 2(0) + 7 = 7 (bukan 0)
maka garis tidak melalui pusat lingkaran
➢Substitusi Substitusi persamaan garis y = 2x + 7 ke persamaan lingkaran x² + y² = 36
x² + (2x + 7)² = 36
x² + 4x² + 28x + 49 - 36 = 0
5x² + 28x + 13 = 0
Tentukan nilai diskriminan (D = b² - 4.a.c)
D = 28² - 4.5.13
= 784 - 260
= 524
Diskriminan > 0, garis memotong lingkaran di dua titik
Jawaban: b
13. Kedudukan garis 7x + y + 11 = 0 terhadap lingkaran x² + y² - 10x - 8y - 9 = 0 adalah....
a. garis melalui pusat lingkaran
b. garis memotong lingkaran di dua titik
c. garis menyinggung lingkaran
d. garis berada di luar lingkaran
Pembahasan:
➢ Pusat lingkaran (-½(-10), -½(-8))
P(5,4)
garis 7x + y + 11 = 0
y = -7x - 11, jika x = 5
y = -7(5) - 11 = -46 (bukan 4)
garis tidak melalui pusat
➢ x² + y² - 10x - 8y - 9 = 0
x² + (-7x - 11)² - 10x - 8(-7x-11) - 9 = 0
x² + 49x² + 154x + 121 - 10x + 56x + 88 - 9 = 0
50x² + 200x + 200 = 0 (sederhanakan dengan membagi 50)
x² + 4x + 4 = 0
D = b² - 4.a.c
D = 4² - 4.1.4
D = 16 - 16
D = 0, garis menyinggung lingkaran
Jawaban: c
14. Sebuah garis menyinggung lingkaran x² + y² = 52 di titik (6,-4). Maka persamaan garis tersebut adalah....
a. 6x - 4y = 52
b. 12x - 8y = 52
c. -6x + 4y = 52
d. -12x + 8y = 52
Pembahasan:
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² dengan titik singgung (x₁,y₁) adalah x₁x + y₁y = r²
➢ r² = 52, (x₁,y₁) = (6,-4)
6x - 4y = 52
Jawaban: a
15. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x - 6)² + (y - 1)² = 25 di titik (2,-2) adalah....
a. 2x + 3y = 4
b. 2y + 3x = 4
c. 4x + 3y = 2
d. 3x + 4y = 2
Persamaan garis singgung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² dengan titik singgung (x₁,y₁) adalah (x₁ - a)(x - a)+ (y₁ - a)(y - a)= r²
➢(2 - 6)(x - 6) + (-2 -1)(y - 1) = 25
-4x + 24 - 3y + 3 = 25
-4x - 3y = 25 - 24 - 3
-4x - 3y = - 2
➢4x + 3y = 2
Jawaban: c
16. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x² + y² - 4x + 6y - 21 = 0 di titik (-1,2) adalah....
a. 5x + 3y = 13
b. 5y - 3x = 13
c. 5x + 3y = 21
d. 5y - 3x = 21
Pembahasan:
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 dengan titik singgung (x₁,y₁) adalah x₁x + y₁y +½A(x+x₁) + ½B(y+y₁) + C = 0
➢ -1.x + 2.y + (-2)(x-1) + 3.(y+2) - 21 = 0
-x + 2y -2x + 2 + 3y + 6 - 21 = 0
- 3x + 5y - 13 = 0
5y - 3x = 13
Jawaban: b
17. Sebuah garis dengan gradien -³/₄ menyinggung lingkaran x² + y² = 16. Persamaan garis tersebut adalah....
a. 5x + 3y = 5
b. 5y + 3x = 5
c. 4x + 3y =20
d. 3x + 4y = 20
Pembahasan:
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² dengan gradien m
x² + y² = 16, maka r = 4
m = -³/₄
Jawaban: d
18. Persamaan garis singgung lingkaran (x - 3)² + (y + 7)² = 13 yang sejajar dengan garis 3y - 2x = 18 adalah....
a. 3y - 2x + 4 = 0 dan 3y - 2x + 30 = 0
b. 3y - 2x + 14 = 0 dan 3y - 2x + 40 = 0
c. 3x - 2y + 4 = 0 dan 3x - 2y + 30 = 0
d. 3x - 2y + 14 = 0 dan 3x - 2y + 40 = 0
Pembahasan:
Gradien garis 3y - 2x = 18
m = -(-2/3) = 2/3
Persamaan garis singgung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² dengan gradien m adalah
Persamaan garis singgung lingkaran adalah
19. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang dapat ditarik dari titik (-1,7) adalah....
a. x - 2y = 25 dn x + 3y = 25
b. 4x - 3y = 25 dan 3x + 4y = 25
c. 3y - 4x = 25 dan 4y + 3y = 25
d. 7x + y = 25 dan 7x - y = 25
Pembahasan:
Persamaan garis yang melalui titik (-1,7) adalah
y - 7 = m(x + 1)
y = mx + m + 7........ (1)
Persamaan garis singgung lingkaran
...... (2)
maka
m + 7 = ± r √(m²+1)
(m + 7)² = r²(m²+1)
m² +14m + 49 = 25m² + 25
0 = 24m² - 14m - 24
12m² - 7m - 12 = 0
(4m + 3) (3m - 4) = 0
m = -³/₄ dan m = ⁴/₃
Persamaan garis singgung dengan m = -³/₄ dan melalui titik (-1,7)
y = -³/₄ x - ³/₄ + 7
4y = -3x - 3 + 28
4y + 3x = 25
Persamaan garis singgung dengan m = ⁴/₃ dan melalui titik (-1,7)
y = ⁴/₃ x + ⁴/₃ + 7
3y = 4x + 4 + 21
3y - 4x = 25
Jawaban: c
20. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x - 6)² + (y - 7)² = 18 yang dapat ditarik dari titik (2,5) adalah....
a. x - y = 43
b. y - x = 43
c. y + x = - 43
d. y + x = 43
Pembahasan:
Persamaan garis yang melalui titik (2,5) adalah
y - 5 = m(x - 2)
y = mx - 2m + 5........ (1)
Persamaan garis singgung lingkaran
y - 7 = m(x - 6) ± r√(m²+1)
y = mx - 6m + 7 ± r√(m²+1) ...... (2)
maka
-2m + 5 = - 6m + 7 ± r√(m²+1)
6m - 2m + 5 - 7 = ± r√(m²+1)
4m - 2 = ± r√(m²+1)
(4m - 2)² = r² (m²+1)
16m² - 16m + 4 = 18(m²+1)
16m² - 16m + 4 = 18m²+18
0 = 2m² + 16m + 14
m² + 8m + 7 = 0
(m + 7) (m + 1) = 0
m = -7 & m = -1
Persamaan garis singgung lingkaran dengan m = -7
y = mx - 6m + 7 ± r√(m²+1)
y = -7x -6(-7) + 7 + 3√2 √(-7²+1)
y = -7x + 49 + 3√2 √50
y + 7x = 149
Persamaan garis singgung lingkaran dengan m = -1
y = mx - 6m + 7 ± r√(m²+1)
y = -1x -6(-1) + 7 + 3√2 √(-1²+1)
y = -x + 6 + 7 + 3√2 √50
y = -x + 13 + 30
y + x = 43
Jawaban: d
21. Lingkaran L : x² + y² + 2x + 6y - 8 = 0 dan lingkaran K : x² + y² - 14x - 10y + 2 = 0 kedudukannya...
a. saling berpotongan di dua titik
b. saling bersinggungan di luar
c. saling bersinggungan di dalam
d. tidak berpotongan ataupun bersinggungan
Pembahasan:
Lingkaran L : x² + y² + 2x + 6y - 8 = 0
P(-½(2),-½(6)) = P(-1,-3)
-8 = (-1)² + (-3)² - r²
-8 = 1 + 9 - r²
r² = 10 + 8 = 18
r₁ = √18 = 3√2
Lingkaran K : x² + y² - 14x - 10y + 2 = 0
P(-½(-14),-½(-10)) = P(7,5)
2 = 7² + 5² - r²
2 = 49 + 25 - r²
r² = 74 - 2 = 72
r₂ = √72 = 6√2
Jarak kedua pusat lingkaran (d)
d² = (-1- 7)² + (-3 - 5)²
d² = 64 + 64 = 128
d = √128 = 8√2
Karena d < r₁ + r₂, maka kedua lingkaran saling berpotongan di dua titik
Jawaban: a
22. Lingkaran L : x² + y² - 10x + 4y + 4 = 0 dan lingkaran K : x² + y² + 8x - 20y + 16 = 0 kedudukannya...
a. saling berpotongan di dua titik
b. bersinggungan di luar
c. bersinggungan di dalam
d. sepusat
Pembahasan:
Lingkaran L : x² + y² - 10x + 4y + 4 = 0
P(-½(-10),-½(4)) = P(5,-2)
4 = (5)² + 2² - r²
4= 25 + 4 - r²
r² = 25 + 4 - 4 = 25
r₁ = √25 = 5
Lingkaran K : x² + y² + 8x - 20y + 16 = 0
P(-½(8),-½(-20)) = P(-4,10)
16 = (-4)² + 10² - r²
16 = 16 + 100 - r²
r² = 16 + 100 - 16 = 100
r₂ = √100 = 10
Jarak kedua pusat lingkaran (d)
d² = (5 - (-4))² + (-2 - 10)²
d² = 81 + 144 = 225
d = √225 = 15
Karena d = r₁ + r₂, maka kedua lingkaran saling bersinggungan di luar
Jawaban: b
23. Salah satu titik potong lingkaran x² + y² = 25 dan lingkaran x² + y² - 14x - 8y + 45 = 0 adalah....
a. (0,5)
b. (0,7)
c. (5,0)
d. (7,0)
Pembahasan:
Substitusi persamaan lingkaran pertama ke lingkaran ke dua
x² + y² = 25
y² = 25 - x²
y = √(25 - x²)
x² + y² - 14x - 8y + 45 = 0
x² + 25 - x² - 14x - 8√(25 - x²) + 45 = 0
70 - 14x = 8√(25 - x²)
(70 - 14x)² = 64(25 - x²)
4900 - 1960x + 196x² = 1600 - 64x²
260x² - 1960x + 3300 = 0 (sederhanakan)
13x² - 98x + 165 = 0
(13x - 33) (x - 5) = 0
x₁ = 33/13 dan x₂ = 5
y₂ = √(25 - x₂²)
y₂ = √(25 - 5²) = 0
Salah satu titik potong (x₂, y₂) = (5,0)
Jawaban: c
24. Panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran x² + y² = 32 dan x² + y² - 8x + 12y - 20 = 0 adalah...
a. 2√11
b. 4√11
c. 11√2
d. 22
Pembahasan:
Lingkaran I
x² + y² = 32
P(0,0), r₁ = √32 = 4√2
Lingkaran II
x² + y² - 8x + 12y - 20 = 0
P(-½(-8),-½(12)) = P(4,-6)
-20 = 4² + (-6)² - r²
-20 = 16 + 36 - r²
r² = 16 + 36 + 20 = 72
r₂ = √72 = 6√2
Jarak kedua pusat lingkaran (d)
d² = (0 - 4)² + (0 - (-6))²
d² = 16 + 36 = 52
d = √52
GSPL² = d² - (r₂ - r₁)²
GSPL² = √52² - (6√2 - 4√2)²
GSPL² = 52 - 8 = 44
GSPL = √44 = 2√11
Jawaban: a
25. Panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran (x + 3)² + (y - 2)² = 49 dan x² + y² - 18x - 14y + 105 = 0 adalah...
a. 3
b. 5
c. 7
d. 9
Pembahasan:
Lingkaran I
(x + 3)² + (y - 2)² = 49
P(-3,2), r₁ = √49 = 7
Lingkaran II
x² + y² - 18x - 14y + 105 = 0
P(-½(-18),-½(-14)) = P(9,7)
105 = 9² + 7² - r²
105 = 81 + 49 - r²
r² = 81 + 49 - 105 = 25
r₂ = √25 = 5
Jarak kedua pusat lingkaran (d)
d² = (9 - (-3))² + (7 - 2)²
d² = 144 + 25 = 169
d = √169 = 13
GSPD² = d² - (r₂ + r₁)²
GSPD² = 13² - (5 + 7)²
GSPD² = 169 - 144
GSPD = √25 = 5
Jawaban: b