Soal Vektor Matematika Kelas 10 Bimbel Jakarta Timur

Soal Vektor Matematika Kelas 10 By Bimbel Jakarta Timur, Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Vektor digambarkan dengan ruas garis yang ujungnya berupa panah untuk menunjukkan arah.

1. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Perhatikan gambar berikut!

Soal Vektor Matematika Kelas 10 gambar 1 

Vektor a jika dinyatakan dalam kombinasi vektor satuan adalah....

a. 3i + 5j

b. 5i + 3j

c. 3i - 5j

d. 5i - 3j

Pembahasan:

Arah vektor a adalah 3 satuan ke kanan dan 5 satuan ke bawah.

Arah horisontal untuk i, ke kanan bernilai positif = 3i

Arah vertikal untuk j, ke bawah bernilai negatif = -5j

3i - 5j

Jawaban : c

2. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Perhatikan gambar balok berikut!

Soal Vektor Matematika Kelas 10 gambar 2

Vektor yang mewakili CB + FE + BF adalah....

a. CF

b. FC

c. EC

d. CE 

Pembahasan:

CB + FE + BF

= CB + BF + FE

=  CF + FE

= CE

Jawaban : d

3. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Perhatikan segienam OABCDE berikut!

Soal Vektor Matematika Kelas 10 gambar 3

Jika OA = ū dan OE = ⊽, maka OA + OB + OC + OD + OE = ..... 
a. 3ū + 3⊽

b. 4ū + 2⊽

c. 4ū + 4⊽

d. 6ū + 6⊽

Pembahasan :

Perhatikan gambar

Soal Vektor Matematika Kelas 10 gambar 4

Penguraian vektor OB = OA + AB = ū + (ū + ⊽) = 2ū + ⊽

Penguraian vektor OC = OA + AB + BC = ū + (ū + ⊽) + ⊽ = 2ū + 2⊽

Penguraian vektor OD = OE + ED = ⊽ + (⊽ + ū) = 2⊽ + ū

Maka, OA + OB + OC + OD + OE 

= ū + 2ū + ⊽ + 2ū + 2⊽ + 2⊽ + ū + ⊽

= 6ū + 6⊽ 

Jawaban : d

4. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Perhatikan jajargenjang berikut!

Soal Vektor Matematika Kelas 10 gambar 5

Jika ū mewakili vektor AB, ⊽ mewakili vektor BC, dan DE : EC = 2 : 1. Maka vektor OE dinyatakan dalam ū dan ⊽ adalah....

a. ⅙ ū + ⅙ ⊽ 

b. ⅙ū + ½⊽

c. ½ū + ½⊽

d. ⅓ū + ⅓⊽

Pembahasan :

OE = OC + CE

= ½ AC + ⅓ CD

= ½ (AB + BC) + ⅓ (-ū)

= ½ū + ½⊽ - ⅓ ū 

= ⅙ū + ½⊽

Jawaban : b

5. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Perhatikan jajargenjang ABCD berikut! 

Soal Vektor Matematika Kelas 10 gambar 6

P adalah titik tengah AB dan Q membagi DP dengan perbandingan 1 : 3. Jika AB = ū dan BC = ⊽, maka AQ = .....

a. ⅛ū + ¾⊽

b. ⅛ū - ¾⊽

c. ¾ū + ⅛⊽

d. ¾ū - ⅛⊽

Pembahasan:

Tentukan dahulu vektor PD

PD = PA + AD

= -½ AB + BC

= -½ū + ⊽

Selanjutnya tentukan vektor  AQ 

 AQ = AP + PQ

= ½ū + ¾PD

= ½ū + ¾(-½ū + ⊽)

= ½ū - ³/₈ū + ¾⊽

= ⅛ū + ¾⊽

Jawaban: a

6. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika ū = i -2j + 2k, maka nilai |ū| = .....

a. 2

b. 3

c. √2

d. √3

Pembahasan : 

Soal Vektor Matematika Kelas 10 gambar 7

maka,

Jawaban : b

7. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui a = (3,-1,2), b = (2,3,-2) dan c = (3,-3,-1).  Jika ū = 2a + b - c , maka panjang  ū adalah....

a. 5

b. 5√2

c. 5√3

d. 10

Pembahasan:

ū = 2a + b - c 

= 2(3,-1,2) + (2,3,-2) - (3,-3,-1)

= (2.3 + 2 - 3)i + (2(-1)+3-(-3))j + (2.2+(-2)-(-1))k

= 5i + 4j + 3k

|ū|² = 5² + 4² + 3²

= 25 + 16 + 9

= 50

|ū| = √50 = 5√2

Jawaban: b

8. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui koordinat A (3, -1, 6) dan B (7, 2, -1). Vektor satuan AB adalah.....

a. 4i + 3j -7k

b. -4i -3j + 7k

c. 10i + j + 5k

d. 4i - j - 5k

Pembahasan:

AB = B - A

= (7, 2, -1) - (3, -1, 6)

= (7-3)i + (2-(-1))j + (-1-6)k

= 4i + 3j - 7k

Jawaban: a

9. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui koordinat A (-1, 2, 6), B (4, 12, 1) dan C (5, 8, -1). Titik P berada antara A dan B sehingga AP : PB = 3 : 2. Vektor satuan PC adalah....

a. 3i + j - 4k

b. 3i - j + 4k

c. 3i - 4k

d. 3i - 4j

Pembahasan:

AP : PB = 3 : 2

Koordinat P = (2A + 3B) : (3+2)

= (2(-1, 2, 6)+ 3(4, 12,1)) : 5

= ((-2,4,12) + (12,36,3)) : 5

= (-2+12, 4+36, 12+3) : 5

= (10, 40, 15) : 5

= (2, 8, 3)

PC = C - P 

= (5, 8, -1) - (2, 8, 3)

= (5-2)i + (8-8)j + (-1-3)k

= 3i - 0j - 4k

= 3i - 4k

Jawaban: c

10. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika A (a, b, 2), B (1, 3, -1) dan C (3, 7, -7) kolinear, maka nilai a + b = ....

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

Pembahasan:

Tiga buah titik misalnya A, B dan C kolinear adalah jika AB = n. BC

AB = B - A

= (1, 3, -1) - (a, b, 2)

= (1-a)i + (3-b)j + (-1-2)k

= (1-a)i + (3-b)j + (-3)k

BC = C - B

= (3, 7, -7) - (1, 3, -1)

= (3-1)i + (7-3)j + (-7-(-1))k

= 2i + 4j + (-6)k

AB = n. BC 

(2-a)i + (3-b)j + (-3)k = n [i + 4j + (-6)k]

maka

(2-a) = n.(2)

(3-b) = n. (4)

(-3) = n (-6)

didapat bahwa n = (-3) : (-6) = 1/2

(2-a) = n.(2)

2 - a = ½ . 2

2 - a = 1

a = 1

(3-b) = n. (4)

3 - b = ½ . 4

3 - b = 2

b = 1

maka a + b = 1 + 1 = 2

Jawaban: b

11. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui |a| = 3 dan |b| = 4. Jika kedua vektor membentuk sudut 60°, maka nilai perkalian a dan b adalah......

a. 2

b. 3

c. 6

d. 8

Pembahasan:

a . b = |a| . |b| . cosinus 𝛂

= 3 . 4 cosinus 60°

= 12 .  ½

= 6

Jawaban: c

12. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui a = -2i + 4j  dan b = -2i + j. Nilai sinus sudut yang dibentuk kedua vektor adalah....

a. 3/5

b. 4/5

c. 5/4

d. 5/3

Pembahasan:

|a|  = √(-2² + 4²)

= √(4 + 16)

= √20 = 2√5

|b| = √(-2² + 1²)

= √(4 + 1)

= √5 

a . b = |a| . |b| . cosinus 𝛂

(-2).(-2) + 4.1 = 2√5. √5 cosinus 𝛂

4 + 4 = 10 . cosinus 𝛂

8 = 10 . cosinus 𝛂

cosinus 𝛂 = 8 : 10

= 4/5

Untuk menentukan nilai sinus, dapat menggunakan identitas trigonometri atau segitiga siku-siku.

Identitas trigonometri

sin²𝛂 + cos²𝛂 = 1

sin²𝛂 + (4/5)² = 1

sin²𝛂 + 16/25 = 1

sin²𝛂 = 1 - 16/25

sin²𝛂 = 9/25

sin 𝛂 = 3/5

Jawaban: b

13. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Sebuah segitiga ABC dengan koordinat A(1, 3, -1), B(3, 5, 0) dan C(-1, 4, 1). Besar <ABC adalah....

a. 30°

b. 45°

c. 90°

d. 135°

Pembahasan:

Vektor yang mengapit <ABC adalah AB dan BC, maka

AB . BC = |AB| . |BC| . cos <ABC

AB = B - A

= (3-1)i + (5-3)j + (0 -(-1))k

= 2i + 2j + k

|AB| = √(2² + 2² + 1²)

= √(4 + 4 + 1)

= √9 = 3

BC = C - B

= (-1-3)i + (4-5)j + (1-0)k

= -4i - j + k

|BC| = = √(-4² + (-1)² + 1²)

= √(16 + 1 + 1)

= √18 = 3√2 

AB . BC = |AB| . |BC| . cos <ABC

2.(-4) + 2.(-1) + 1.1 = 3.3√2. cos <ABC

- 8 - 2 + 1 = 9√2 . cos <ABC

-9 = 9√2 . cos <ABC

cos <ABC = -9 : 9√2 

= -1/√2  = -½√2 

<ABC = 135°

Jawaban: d

14. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui  serta a dan b tegak lurus. Nilai x yang memenuhi adalah....

a. -2

b. -1

c. 1

d. 2

Pembahasan :

a dan b tegak lurus, 

maka 𝛂 = 90° dan cosinus 90° = 0

a . b = |a| . |b| . cosinus 𝛂

3.x + (-5).2 + (-2)(-2) = |a| . |b| . 0

3x - 10 + 4 = 0

3x = 10 - 4 = 6

x = 6 : 3 = 2

Jawaban : d

15. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika maka panjang proyeksi vektor a pada b adalah.....

a. √3

b. √6

c. 2√3

d. 3√2

Pembahasan :

Jika panjang proyeksi vektor a pada b dimisalkan |c|, maka

Soal Vektor Matematika Kelas 10 gambar 8

|c| = (-1.2) + (3.2) + (2.4)

            √(2²+2²+4²)

= -2+6+8

      √24

=  12  

   2√6

=√6

Jawaban: b

16. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Panjang proyeksi vektor a = 2i + pj -4k pada vektor b = 8i + 4j - k adalah 4. Nilai p adalah....

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

Pembahasan :

a .  b = 2.8 + p.4 + (-4).(-4)

= 16 + 4p + 16

= 32 + 4p

|b| = √(8²+4²+(-1)²)

= √(64+16+1)

= √81 = 9

|c| = a .  b

         |b|

  4 = 32 + 4p

           9 

9.4 = 32 + 4p

36 - 32 = 4p

4 = 4p

p = 4 : 4 = 1  

Jawaban: a

17. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika koordinat A (-1,3,1), B (1,3,4) dan C (5,5,4), maka panjang proyeksi vektor AB pada AC adalah....

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

Pembahasan :

AB = (1-(-1))i + (3-3)j + (4-1)k

= 2i + 3k

AC = (5-(-1))i + (5-3)j + (4-1)k

= 6i + 2j + 3k

AB . AC = 2.6 + 0.2 + 3.3

= 12 + 9

= 21

|AC| = √(6²+2²+3²)

= √(36+4+9)

= √49 = 7

Panjang proyeksi vektor AB pada AC 

= AB . AC 

              

     |AC| 

= 21

    7

= 3

Jawaban: c

18. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui vektor a = i - √3j + 3k dan b = 3i + √3j + xk. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 3/2, maka nilai x = ..... 

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

Pembahasan :

a .  b = 1.3 + (-√3).√3 + 3.x

= 3 - 3 + 3x

= 3x

|b| = √(3²+√3²+x²)

= √(9+3+x²)

= √(12+x²)

|c| = a .  b

         |b|

  3 =      3x      

  2    √(12+x²)   

kuadratkan kedua ruas

9 =    9x²  

4    12+x²

12+x² = 4x²

12 = 4x² - x²

12 = 3x²

x² = 4

x = 2

Jawaban: b

19. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika vektor u = 3i + 4j dan vektor v = 2i - 4j, maka proyeksi ortogonal vektor u pada v adalah....

a. i + 2j

b. i - 2j

c. -i + 2j

d. -i - 2j

Pembahasan :

Soal Vektor Matematika Kelas 10 gambar  9

u . v = 3.2 + 4.(-4)

= 6 - 16 = -10

|v|² = 2² + (-4)²

= 4 + 16 = 20

Proyeksi ortogonal vektor u pada v 

= -10  . (2i - 4j)

     20

= -i + 2j

Jawaban: c

20. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui tiga buah vektor u = (3,-1,2), v = (1,3,3), dan w = (1,-1,2). Proyeksi ortogonal vektor u  + v pada w adalah...

a. (2, -2, 4)

b. (-2, 2, 4)

c. (3, -3, 6)

d. (-3, 3, -6)

Pembahasan :

u  + v = (3+1, -1+3, 2 + 3)

= (4, 2, 5)

(u  + v) . w = 4.1 + 2.(-1) + 5.2

= 4 - 2 + 10 = 12

|w|² = 1² + (-1)² + 2²

= 1 + 1 + 4

= 6

Proyeksi ortogonal vektor u  + v pada w 

=  12  . (1,-1,2)

    6

= (2, -2, 4)

Jawaban: a

21. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Diketahui panjang vektor a, b dan (a + b) berturut-turut adalah 6, 8 dan 2√13. Sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b besarnya ....

a. 30°

b. 60°

c. 120°

d. 150°

Pembahasan :

|a + b|² = |a|² + |b|² + 2.|a|.|b|.cos 𝚹

(2√13)² = 6² + 8² + 2.6.8.cos 𝛉

52 = 36 + 64 + 96.cos 𝛉

52 - 36 - 64 = 96.cos 𝛉

- 48 = 96.cos 𝛉

cos 𝛉 = -48/96 = -0,5

𝛉 = 120°

Jawaban: c

22. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Jika |a|, |b| dan |a + b|berturut-turut adalah 6, 2√3 dan 2√21, maka nilai |a - b| adalah....

a. √3

b. 2√3

c. 3√2

d. √2

Pembahasan :

|a + b|² = |a|² + |b|² + 2.|a|.|b|.cos 𝚹

(2√21)² = 6² + (2√3)² + 2.6.2√3.cos 𝛉

84 = 36 + 12 + 24√3.cos 𝛉

84 - 36 - 12 = 24√3.cos 𝛉

36 = 24√3.cos 𝛉

cos 𝛉 = 36/24√3 

= ½√3

𝛉 = 30°

|a - b|² = |a|² + |b|² - 2.|a|.|b|.cos 𝚹

|a - b|² = 6² + (2√3)² + 2.6.2√3.cos 30°

=36 + 12 - 24√3.½√3

=48 - 36

= 12

|a - b| = √12 = 2√3

Jawaban: b

23. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Dua buah vektor p dan q membentuk sudut 45°. Jika panjang vektor p = 4 dan q = 5√2, maka nilai |p x q| = .....

a. 10

b. 10√2

c. 20

d. 20√2

Pembahasan :

|p x q| = |p|.| q| . sin 𝛉

= 4 . 5√2 . ½√2

= 20

Jawaban: c

24. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Hasil perkalian silang dari vektor a = 2i - 3k dan vektor b = i + 2j + 4k adalah....

a. 6i - 12j - 4k

b. 6i - 11j + 5k

c. 6i - 11j - 5k

d. 6i - 11j - 4k

Pembahasan :

= (0i-3j+4k) - (0k-6i+8j)

= 6i - 11j - 4k

Jawaban: d

25. Soal Vektor Matematika Kelas 10 : Segitiga ABC mempunyai koordinat A (2, -4, 1), B (3, 1, 5) dan C (3, 3, 2). Luas segitiga tersebut adalah.....

a. 9

b. 10

c. 11

d. 12

Pembahasan :

AB = B - A

= (3-2)i + (1-(-4))j + (5-1)k

= i + 5j + 4k

BC = C - B

= (3-3)i + (3-1)j + (2-5)k

= 2j - 3k

Luas ABC = ½ |AB| . |BC| . sin B

= ½ |AB x BC|

= |(-15i+0j +2k) - (0k+8i-3j)|

= |(-15-8) + (0-(-3)) + (2 -0)|

= |-23+3+2| = 18

Luas ABC = ½ . 18 = 9

Jawaban: a

Demikian soal-soal tentang vektor matematika dengan pembahasannya. 

Semoga bermanfaat