Soal Pertidaksamaan Rasional By Bimbel Jakarta Timur

Pertidaksamaan Rasional adalah pertidaksamaan berbentuk pecahan di mana pembilang dan penyebutnya memuat fungsi rasional atau tidak akar. 

Penyelesaian pertidaksamaan rasional hampir mirip dengan pertidaksamaan kuadrat yaitu memfaktorkan, menentukan pembuat nol, menentukan interval yang mungkin terbentuk lalu menentukan tanda atau nilai positif negatif tiap interval dan menyesuaikan dengan ketidaksamaan soal. Pada soal dan penyelesaiannya, ada fungsi rasional yang mempunyai syarat atau aturan tertentu. Misalnya penyebut tidak boleh bernilai nol, fungsi yang memuat pembuat nol kuadrat serta fungsi definit. Untuk lebih jelasnya bisa kamu pelajari dalam contoh soal-soal dan pembahasannya berikut.

TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN-PERTIDAKSAMAAN BERIKUT !

a.{x| x < -5 atau x > 1}

b. {x| x < -1 atau x > 5}

c. {x| -5 < x < 1}

d. {x| -1 < x < 5}

Pembahasan :

Pembuat nol

x + 5=0, x=-5

x - 1=0, x=1

Intervalyang mungkin x < -5 ; -5 < x < 1; x > 1

untuk x <-5, ambil angka uji -6

(-6+5) : (-6 -1)=(-1) : (-7)=1/7

bernilai positif

untuk -5 < x < 1, ambil angka uji 0 

(0+5) : (0 -1)=5 : (-1)=-5

bernilai negatif

untuk x > 1, ambil angka uji 2

(2+5) : (2 -1)=7 : 1=7

bernilai positif

Tanda setiap interval berurutan biasanya akan berselang seling  (+) (-) (+) atau (-) (+) (-) kecuali ada syarat lain dalam ketidaksamaan.

Untuk soal ini tanda ketidaksamaan  < 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya negatif yaitu -5 < x < 1

Jawaban : c

a.{x| x < 2 atau x > 3}

b. {x| x < 2 atau x > 6}

c. {x| 2 < x < 3}

d. {x| 2 < x < 6}

Pembahasan :

Pembuat nol

x - 2=0, x=2

2x - 6=0, x=3

Interval yang mungkin x < 2 ; 2 < x < 3; x > 3

untuk x < 2, ambil angka uji 0

(0 - 2) : (2(0) -6)=(-2) : (-6)=1/3

bernilai positif

untuk 2 < x < 3, bernilai negatif

untuk x > 3, bernilai positif

Tanda ketidaksamaan soal > 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu x < 2 atau x > 3

Jawaban : a

a. {x| x ≤ -5 atau x > 4}

b. {x| x ≤ -4 atau x > 5}

c. {x| -5 ≤ x < 4}

d. {x| -4 < x ≤ 5}

Pembahasan :
Pembuat nol
5 - x=0, x=5
x + 4=0, x=-4
Interval yang mungkin x < -4 ; -4 < x ≤ 5; x ≥ 5
Karena x + 4 adalah penyebut dan penyebut tidak boleh bernilai nol maka x ≠ 4 dan tanda pada -4 tetap < atau >

untuk x < -4, ambil angka uji -5
(5 -(-5)) : (-5+4)=10 : -1=-10
bernilai negatif

untuk -4 < x ≤ 5, bernilai positif

untuk  x ≥ 5, bernilai negatif

Tanda ketidaksamaan soal ≤ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya negatif yaitu x < -4 atau x ≥ 5

Jawaban : b

a. {x| x ≤ -6 atau x > 2}

b. {x| x < 2 atau x ≥ 6}

c. {x| -6 ≤ x < 2}

d. {x| 2 < x ≤ 6}

Pembahasan :

Pembuat nol
-x + 6=0, x=6
x - 2=0, x=2
Interval yang mungkin x < 2 ; 2 < x ≤ 6; x ≥ 6

untuk x < 2 ambil angka uji 0
(-0+6) : (0-2)=6 : -2=-3
bernilai negatif

untuk 2 < x ≤ 6, bernilai positif

untuk x ≥ 6, bernilai negatif

Tanda ketidaksamaan soal ≥ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu 2 < x ≤ 6

Jawaban : d

a.{x| x < 7/3 atau x > 5/2}

b. {x| x < 5/2 atau x > 17/3}

c. {x| 7/3 < x < 5/2}

d. {x| 5/2 < x < 17/3}

Pembahasan :
Kumpulkan di sebelah kiri dan samakan penyebut

Pembuat nol
-3x + 17=0, x=17/3
2x - 5=0, x=5/2
Interval yang mungkin x < 5/2 ; 5/2 < x < 17/3; x > 17/3

untuk x < 5/2, ambil angka uji 0
(-3(0)+17) : (2(0) -5)=17 : (-5)=-17/5
bernilai negatif

untuk 5/2 < x < 17/3
bernilai positif

untuk x > 17/3
bernilai negatif

Tanda ketidaksamaan soal > 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu 5/2 < x < 17/3

Jawaban : d

a.{x| x < -4/3}

b. {x| x > -4/3}

c. {x| x < -4/3 atau x > 6}

d. {x| -4/3 < x < 6}

Pembahasan :
Kumpulkan di sebelah kiri dan samakan penyebut

Pembuat nol
3x + 4=0, x=-4/3
2x - 12=0, x=6
Interval yang mungkin x < -4/3 ; -4/3 < x < 6; x > 6

untuk x < -4/3, ambil angka uji -2
(3(-2)+4) : (2(-2)-12)=(-2) : (-16)=1/8
bernilai positif 

untuk -4/3 < x < 6, bernilai negatif

untuk x > 6, bernilai positif

Tanda ketidaksamaan soal > 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu x < -4/3 atau x > 6

Jawaban : c

a. {x| x ≤ -1 atau x > 2}

b. {x| x < -½ atau x ≥ 1}

c. {x| 1 ≤ x < 2}

d. {x| -½ < x ≤ 1}

Pembahasan :

Kumpulkan di sebelah kiri dan samakan penyebut

Pembuat nol
-2x + 2=0, x=1
2x + 1=0, x=-½
Interval yang mungkin x < -½ ; -½ < x ≤ 1; x ≥ 1


untuk x < -½ , ambil angka uji -1
(-2(-1)+2) : (2(-1)+1)=4 : (-1)=-4
bernilai negatif 

untuk -½ < x ≤ 1, bernilai positif

untuk x ≥ 1, bernilai negatif 

Tanda ketidaksamaan soal ≥ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu -½ < x ≤ 1

Jawaban : d

a.{x| x < -2 atau -1 ≤ x ≤ 5 }

b.{x| x < -2 atau x ≥ 5}

c.{x| -2 < x ≤ -1 atau x ≥ 5}

d.{x| -1 ≤ x ≤ 5}

Pembahasan :

Pembuat nol

x + 1=0, x=-1

x - 5=0, x=5

x + 2=0, x=-2

interval yang mungkin adalah x < -2; -2 < x ≤ -1; -1 ≤ x ≤ 5; x ≥ 5

untuk x < -2, ambil angka uji -3

(-3+1).(-3-5) : (-3+2) 

=(-).(-) : (-)=(-) bernilai negatif

untuk -2 < x ≤ -1, bernilai positif

untuk -1 ≤ x ≤ 5, bernilai negatif

untuk x ≥ 5, bernilai positif

Perhatikan bahwa hasilnya selang seling antara positif dan negatif. 

Tanda ketidaksamaan soal ≤ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya negatif yaitu x < -2 atau -1 ≤ x ≤ 5

Jawaban : a

a. {x| x < -2 atau x ≥ 4}

b. {x| x < -2 atau 3 < x ≤ 4}

c. {x| x ≤ -2 atau 3 ≤ x ≤ 4}

d. {x| -2 < x < 3 atau x > 4}

Pembahasan :

Pembuat nol

x - 4=0, x=4

3 - x=0, x=3

x + 2=0, x=-2

Interval yang mungkin x < -2; -2 < x < 3; 3 < x ≤ 4; x ≥ 4

untuk x < -2, ambil angka uji -3

(-3-4).(3-(-3)) : (-3+2) 

=(-).(+) : (-)=(+)

bernilai positif

untuk -2 < x < 3, bernilai negatif

untuk 3 < x ≤ 4, bernilai positif

untuk x ≥ 4, bernilai negatif

Tanda ketidaksamaan soal ≥ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu x < -2 atau 3 < x ≤ 4

Jawaban : b

a.{x| x < -13 atau -3 < x < 2}

b. {x| x < -13 atau x > 2}

c. {x| -13 < x < -3 atau x > 2}

d. {x| -13 < x < 2, x ≠ -3}

Pembahasan : 

Pembuat nol 

-x-13=0, x=-13

x + 3=0, x=-3

x - 2=0, x=2

Interval yang mungkin x < -13; -13 < x < -3; -3 < x < 2; x > 2

untuk x < -13, ambil angka uji -14

(14 - 13) : ((-14 + 3).(-14 - 2))

=(+) : ((-).(-))=(+)

bernilai positif

untuk -13 < x < -3, bernilai negatif

untuk -3 < x < 2, bernilai positif

untuk x > 2, bernilai negatif

Tanda ketidaksamaan soal < 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya negatif yaitu -13 < x < -3 atau x > 0

Jawaban : c

a.{x| x ≤ -4 atau -2 < x ≤ 0}

b.{x| -4 ≤ x < -2 atau 0 ≤ x < 4} 

c.{x| -2 < x ≤ 0 atau x > 4}

d. {x| x ≤ -4 atau -2 < x ≤ 0 atau x > 4}

Pembahasan :

Pembuat nol

x=0

x + 4=0, x=-4

x + 2=0, x=-2

x - 4=0, x=2

Interval yang mungkin x ≤ -4; -4 ≤ x < -2; -2 < x ≤ 0; 0 ≤ x < 4; x > 4

untuk x ≤ -4, ambil angka uji -5

-5(-5+4) : (-5+2).(-5-4)

=-(-) : ((-).(-))=(+)

bernilai positif

untuk -4 ≤ x < -2, bernilai negatif

untuk -2 < x ≤ 0, bernilai positif

untuk 0 ≤ x < 4, bernilai negatif

untuk x > 4, bernilai positif

Tanda ketidaksamaan soal ≤ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya negatif yaitu -4 ≤ x < -2 atau 0 ≤ x < 4

Jawaban : b

a.{x| x < -1 atau x > 4}

b. {x| x < -1 atau 3 < x < 4}

c.{x| -1 < x < 4}

d. {x| -3 < x < 4}

Pembahasan :

x² + 3x + 4 adalah definit positif, artinya akan bernilai positif untuk semua x

Definit positif dapat dilihat dengan ciri D < 0 dan a > 0

Selanjutnya cukup faktorkan

x² - 3x - 4=(x + 1) (x - 4)

Pembuat nol

x + 1=0, x=-1

x - 4=0, x=4

Interval yang mungkin x < -1; -1 < x < 4; x > 4

untuk x < -1, ambil angka uji -2

(+) : ((-2+1).(-2-4)

= (+) : ((-).(-))=(+) bernilai positif

maka untuk -1 < x < 4 bernilai negatif

dan untuk x > 4 bernilai positif

Tanda ketidaksamaan soal ≥ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu x < -1 atau x > 4

Jawaban : a

a.{x| x < -5 atau x > 4}

b. {x| x < -5 atau x > 5}

c.{x| -5 < x < 4}

d. {x| -5 < x < 5}

Pembahasan :

-x² + 4x - 5 adalah definit negatif, artinya akan bernilai negatif untuk semua x

Definit positif dapat dilihat dengan ciri D < 0 dan a < 0

Selanjutnya cukup faktorkan

x² - 25=(x + 5) (x - 5)

Pembuat nol

x + 5=0, x=-5

x - 5=0, x=5

Interval yang mungkin x < -5; -5 < x < 5; x > 5

untuk x < -5, ambil angka uji -6

(-) : ((-6+5).(-6-5)

= (-) : ((-).(-))=(-) bernilai negatif

maka untuk -5 < x < 5 bernilai positif

dan untuk x > 5 bernilai negatif

Tanda ketidaksamaan soal < 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya negatif yaitu x < -5 atau x > 5

Jawaban : b

a.{x| x ≤ -2 atau 1 < x ≤ 4}

b. {x| x ≤ -2 atau x ≥ 4}

c. {x| -2 ≤ x < 1 atau 1 < x ≤ 4}

d. {x| -2 ≤ x < 1 atau x ≥ 4}

Pembahasan :

Faktorkan

x² - 2x - 8=(x + 2) (x - 4)

x² - 2x + 1=(x - 1)² 

Pembuat nol

x + 2=0, x=-2

x - 4=0, x=4

x - 1=0, x=1

Interval yang mungkin x ≤ -2; -2 ≤ x < 1; 1 < x ≤ 4; x ≥ 4

Karena x - 1 berbentuk kuadrat, maka angka 1 terbagi di dua interval dengan tanda yang sama

untuk x ≤ -2, ambil angka uji -3

(-3 + 2) (-3 - 4) : (-3 -1)²

=(-) (-) : (-)²=(+) bernilai positif

maka untuk -2 ≤ x < 1 bernilai negatif

untuk 1 < x ≤ 4 juga bernilai negatif

untuk x ≥ 4 bernilai positif

Tanda ketidaksamaan soal ≤ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya negatif yaitu -2 ≤ x < 1 atau 1 < x ≤ 4. Atau dapat juga ditulis  -2 ≤ x ≤ 4 dan x ≠ 1 karena 1 bukan penyelesaian.

Jawaban : b

a. {x| x < -3 atau 0 < x < 3}

b. {x| x < -3 atau x > 3}

c. {x| -3 < x < 0 atau x > 3}

d.{x| x < -3 atau 0 < x < 3 atau x > 3}

Pembahasan :

Faktorkan

x² + 3x=x(x + 3)

x² - 6x + 9=(x - 3)²

Pembuat nol

x=0

x + 3=0, x=-3

x - 3=0, x=3

Interval x < -3; -3 < x < 0; 0 < x < 3; x > 3

untuk x < -3, ambil angka uji -4

-4 (-4 + 3) : (-4 - 3)²

=(-) (-) : (-)²=(+) bernilai positif

maka untuk -3 < x < 0 bernilai negatif

untuk 0 < x < 3 bernilai positif

karena (x - 3) berbentuk kuadrat, maka untuk x > 3 juga bernilai positif

Tanda ketidaksamaan soal > 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu x < -3 atau 0 < x < 3 atau x > 3

Jawaban : d

a.{x| x ≤ -6 atau -3 < x ≤ 1} 

b. {x| -6 ≤ x < -3 atau 1 ≤ x < 3}

c. {x| -3 < x ≤ 1 atau x > 3}

d. {x| x ≤ -6 atau -3 < x ≤ 1 atau x > 3}

Pembahasan :

Samakan penyebut dan faktorkan

Pembuat nol

x + 6=0, x=-6

x - 1=0, x=1

x + 3=0, x=-3

x - 3=0, x=3

Interval x ≤ -6; -6 ≤ x < -3; -3 < x ≤ 1; 1 ≤ x < 3; x > 3

untuk x ≤ -6, ambil angka uji -7

(-7 + 6) (-7 - 1) : [(-7 + 3) (-7 - 3)]

=(-) (-) : [(-) (-)]=(+) bernilai positif

untuk -6 ≤ x < -3 bernilai negatif

untuk -3 < x ≤ 1 bernilai positif

untuk 1 ≤ x < 3 bernilai negatif

untuk x > 3 bernilai positif

Tanda ketidaksamaan soal ≤ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya negatif yaitu -6 ≤ x < -3 atau -6 ≤ x < -3

Jawaban : b

a.{x| -1 < x < 2}

b.{x| 2 < x < 6}

c.{x| x < -1 atau x > 3}

d. {x| -1 < x < 3}

Pembahasan : 

Kumpulkan di satu ruas (kiri) lalu samakan penyebut 

Pembuat nol

x - 3=0, x=3

x + 1=0, x=-1

Interval x < -1; -1 < x < 3; x > 3

Pembilang adalah konstanta bernilai negatif

untuk x < -1, ambil angka uji -2

-12 : [(-2 - 3) (-2 + 1)]

=(-) : [(-) (-)]=(-) bernilai negatif

untuk -1 < x < 3 bernilai positif

untuk x > 3 bernilai negatif

Tanda ketidaksamaan soal ≥ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu -1 < x < 3

Jawaban : d

a.{x| x < -1 atau -½ ≤ x < 0 atau x ≥ 5}

b.{x| x < -1 atau -½ ≤ x < 0 atau 0 < x ≤ 5}

c. {x| -1 < x ≤ -½ atau 0 < x ≤ 5} 

d.{x| -½ ≤ x < 0 atau x ≥ 5}

Pembahasan :

Faktorkan 

2x² - 9x - 5= (2x + 1) (x - 5) 

x³ + x²=  x²(x + 1)

Pembuat nol

2x + 1=0, x=-½

x - 5=0, x=5

x²=0, x=0

x + 1=0, x=-1

Interval x <  -1; -1 < x ≤ -½; -½ ≤ x < 0; 0 < x ≤ 5; x ≥ 5

untuk x < -1, ambil angka uji -2

(2(-2)+1) (-2-5) : [(-2)²(-2+1)]

=(-) (-) : [(+)(-)]=(-) bernilai negatif

untuk -1 < x ≤ -½ bernilai positif

untuk -½ ≤ x < 0 bernilai negatif

untuk 0 < x ≤ 5 juga bernilai negatif

untuk x ≥ 5 bernilai positif

Tanda ketidaksamaan soal ≤ 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya negatif yaitu x < -1 atau -½ ≤ x < 0 atau 0 < x ≤ 5

Jawaban : b

a.{x| x < -5 atau 3,5 < x < 5}

b. {x| x < -√5 atau √5 < x < 3,5}

c. {x|-5 < x < 3,5 atau x > 5}

d. {x|-√5 < x < √5 atau x > 3,5}

Pembahasan :

Pembuat nol

2x - 7=0, x=3,5

x + √5=0, x=-√5

x - √5=0, x=√5

Interval x < -√5; -√5 < x < √5; √5 < x < 3,5; x > 3,5

untuk interval x < -√5, ambil angka uji -3

(2(-3)-7) : [(-3+√5)(-3-√5)]

=(-) : [(-) (-)]=(-) bernilai negatif

untuk -√5 < x < √5 bernilai positif

untuk √5 < x < 3,5 bernilai negatif

untuk  x > 3,5 bernilai positif

Tanda ketidaksamaan soal > 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu -√5 < x < √5 atau x > 3,5

Jawaban : d

a.{x| x < -2 atau 0 < x < 2}

b.{x| -2 < x < 0 atau x > 2}

c.{x| -4 < x < 2 dan x ≠ 0}

d. {x| -2 < x < 2 dan x ≠ 0}

Pembahasan :

Pembuat nol

x²=0, x=0

-x² + 2x - 4=definit negatif

x²+4=definit positif

x + 2=0. x=-2

x - 2=0, x=2

Interval x < -2; -2 < x < 0; 0 < x < 2; x > 2

untuk x < -2, ambil angka uji -3

(-3)²(-) : [(+) (-3+2)(-3-2)]

=(+)(-) : [(+) (-)(-)]=(-) bernilai negatif

untuk -2 < x < 0 bernilai positif

untuk 0 < x < 2 bernilai positif

untuk x > 2 bernilai negatif

Tanda ketidaksamaan soal > 0, maka penyelesaian pada interval yang hasilnya positif yaitu -2 < x < 0 atau 0 < x < 2, dapat dituliskan -2 < x < 2 dan x ≠ 0.

https://www.radarhot.com/2020/08/soal-pertidaksamaan-rasional.html