Menentukan Rumus Barisan Aritmatika Bertingkat
Rumus urutan aritmatika digunakan untuk menghitung suku ke-n dari barisan aritmatika dan didapatkan dengan binomial newton dan faktorial. Akan tetapi karena pada tingkat sekolah menengah pertama kita belum terlalu mendalami materi tersebut, kita gunakan cara yang lebih sederhana.Untuk mengingatnya, urutan adalah daftar nomor yang diurutkan. Jumlah suku dari suatu barisan disebut deret. Urutan aritmatika atau perkembangan aritmatika adalah urutan di mana setiap suku dibuat atau diperoleh dengan menambahkan atau mengurangi bilangan yang sama dengan suku atau nilai sebelumnya. Dengan kata lain, selisih suku-suku yang berdekatan dalam barisan aritmatika adalah sama.Sebelumnya kita telah mempelajari Macam-Macam Pola Bilangan serta Barisan Dan Deret. Pada sekolah lanjutan maupun soal-soal ujian penerimaan mahasiswa dan pegawai kita juga menemukan barisan aritmatika bertingkat.Rumus umumnya bisa kita lihat pada gambar utama diatasLebih lanjut, mari perhatikan uraian berikut untuk dapat menentukan rumus suku ke- n pada barisan aritmatika bertingkat.
1. Barisan Aritmatika Tingkat I
Pada artikel Barisan Dan Deret sebenarnya kita telah membahas barisan aritmatika tingkat I. Rumus umum yang digunakan adalah Un = a + (n-1)b dimana selisih atau beda barisan kita misalkan dengan huruf b dan suku pertama kita misalkan a. Selain itu kita juga bisa menentukan rumus ke n dengan rumus dasar Un = an + b seperti berikut :
U₁ = a(1) + b = a + b
U₂ = a(2) + b = 2a + b
U₃ = a(3) + b = 3a + b
Suku pertama barisan ini adalah a+b dan selisihnya a.
 |
| Barisan Aritmatika I |
Mari kita belajar dengan contoh soal berikut
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 5, 8, 11, 14, ...
Pembahasan :
 |
| Contoh Barisan Aritmatika I |
selisih = a = 3
suku pertama = a + b = 5
3 + b = 5
b = 5 - 3
b = 2
Un = an + b
= 3n + 2
2. Tentukan suku ke 20 dari barisan 4, 9, 14, 19, ...
Pembahasan :
 |
| Contoh Barisan Aritmatika I |
selisih = a = 5
suku pertama = a + b = 4
5 + b = 4
b = 4 - 5
b = -1
Un = an + b
= 5n -1
U₂₀ = 5(20) - 1
= 100 - 1
= 99
2. Barisan Aritmatika Tingkat II
Jika kita perhatikan barisan aritmatika tingkat II memiliki selisih yang tidak tetap. Akan tetapi selisihnya memiliki pola teratur dimana selisihnya seperti membentuk barisan aritmatika tingkat satu. Selisih yang tetap ditemukan pada tingkat keduanya. Mari kita perhatikan contoh barisan -1, 1, 5, 11, 19...
 |
| Contoh Barisan Aritmatika II |
Dari penguraian di atas dapat kita lihat bahwa selisih yang tetap terdapat di tingkat kedua. Cara menentukan rumus suku ke-n pada barisan aritmatika tingkat II adalah dengan mengacu pada rumus Un = an² + bn + c.
U₁ = a(1)² + b(1) + c = a + b + c
U₂ = a(2)² + b(2) + c = 4a + 2b + c
U₃ = a(3)² + b(3) + c = 9a + 6b + c
 |
| Barisan Aritmatika II |
Pada uraian di atas kita dapatkan suku pertama adalah a+b+c, selisih pertama 3a+b dan selisih tingkat kedua adalah 2a.
Mari kita belajar dengan contoh soal berikut
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 2, 5, 10, 17, 26, ...
Pembahasan :
 |
| Contoh Barisan Aritmatika II |
Kita selesaikan dari bawah ke atas.
2a = 2
a = 2:2 = 1
3a + b = 3
3(1) + b = 3
3 + b = 3
b = 3 - 3 = 0
a + b + c = 2
1 + 0 + c = 2
c = 2 - 1 = 1
Maka rumus suku ke-n barisan tersebut adalah
Un = an² + bn + c
Un = (1)n² + (0)n + 1
Un = n² + 1
2. Tentukan suku ke 30 dari barisan 3, 5, 8, 12, 17, ...
Pembahasan :
 |
| Contoh Barisan Aritmatika II |
2a = 1
a = ½
3a + b = 2
3(½) + b = 2
³/₂ + b = 2
b = 2- ³/₂ = ½
a + b + c = 3
½+½ + c = 3
c = 3 - 1 = 2
Un = an² + bn + c
Un = ½n² + ½n + 2
U₃₀ = ½(30)² + ½(30) + 2
= 450 + 15 + 2
= 467
3. Barisan Aritmatika Tingkat III
Barisan aritmatika tingkat III memiliki selisih tetap pada tingkat ketiga. Contoh barisan aritmatika tingkat III adalah 2, 3, 3, 5, 12, 17, ...
 |
| Contoh Barisan Aritmatika III |
Cara menentukan rumus suku ke-n pada barisan aritmatika tingkat II adalah dengan mengacu pada rumus Un = an³+ bn² + cn + d.
U₁ = a(1)³ + b(1)² + c(1) + d = a + b + c + d
U₂ = a(2)³ + b(2)² + c(2) + d = 8a + 4b + 2c + d
U₃ = a(3)³ + b(3)² + c(3) + d = 27a + 3b + cb + d
 |
| Barisan Aritmatika III |
Mari kita belajar dengan contoh soal berikut
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1, 2, 6, 15, 31, ...
Pembahasan :
 |
| Contoh Barisan Aritmatika III |
6a = 2
a = ²/₆ = ¹/₃
12a + 2b = 3
12(⅓) + 2b = 3
4 + 2b = 3
2b = 3 - 4 = -1
b = -½
7a + 3b + c = 1
7(⅓) + 3(-½) + c = 1
⁷/₃ - ³/₂ + c = 1
c = 1 - ⁷/₃ + ³/₂
c = ⅙
a + b + c + d = 1
¹/₃ -½ + ⅙ + d = 1
d = 1
Un = an³ + bn² + cn + d
Un = ⅓n³ - ½n² + ⅙n + 1
2. Tentukan suku ke 12 dari barisan -4, -2, 4, 17, 40, ...
 |
| Contoh Barisan Aritmatika III |
6a = 3
a = ³/₆ = ¹/₂
12a + 2b = 4
12(½) + 2b = 4
6 + 2b = 4
2b = 4 - 6 = -2
b = -2: 2 = -1
7a + 3b + c = 2
7(½) + 3(-1) + c = 2
⁷/₂ -3 + c = 2
c = 2 - ⁷/₂ + 3
c = - ³/₂
a + b + c + d = -4
½ - 1 - ³/₂ + d = -4
d = -4
d = -4 - ½ + 1 + ³/₂
d = -2
Un = an³ + bn² + cn + d
Un = ½n³ - n² - ³/₂n - 2
U₁₂ = ½(12)³ - 12² - ³/₂(12) - 2
= 864 - 144 - 18 -2
= 700
Berdasarkan uraian di atas, jika kita ingin menentukan rumus barisan aritmatika tingkat selanjutnya bisa dilakukan dengan tahap-tahap yang sama. Misalnya pada barisan aritmatika tingkat IV memiliki rumus umum Un = an⁴ + bn³ + cn²+ dn + e dan pada barisan aritmatika tingkat V memiliki rumus umum Un = an⁵ + bn⁴ + cn³ + dn² + en + f. Begitu seterusnya untuk tingkatan yang lebih tinggi.
Demikianlah pembahasan kita tentang barisan aritmatika bertingkat. Semoga bermanfaat dan pembaca dapat memahami materi yang diberikan.
0 Komentar: