Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga by Bimbel Jakarta Timur

Bimbel Jakarta Timur akan membahas Tiga teorema utama yang terkait dengan segitiga adalah Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Rumus Luas Segitiga. Mari kita bahas masing-masing:

 1. Aturan Sinus:

Aturan Sinus digunakan untuk menghitung panjang sisi atau ukuran sudut dalam segitiga. Untuk segitiga ABC, dengan panjang sisi a, b, dan c, dan sudut A, B, dan C yang sesuai, aturan sinus dinyatakan sebagai berikut:

a/sin A = b/sin B = c/sin C

2. Aturan Kosinus:

Aturan Kosinus digunakan untuk menghitung panjang sisi atau ukuran sudut dalam segitiga. Untuk segitiga ABC, dengan panjang sisi a, b, dan c, dan sudut A, B, dan C yang sesuai, aturan kosinus dinyatakan sebagai berikut:

c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C

b^2 = a^2 + c^2 - 2accos B

a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A

3. Rumus Luas Segitiga:

Rumus luas segitiga menggunakan panjang alas (a) dan tinggi (h) dari segitiga dan dinyatakan sebagai berikut:

Luas = 1/2 x alas x tinggi

Apa aturan sinus dan cosinus dalam segitiga?

Aturan sinus digunakan ketika 

a) dua sudut dan satu sisi, atau

b) dua sisi dan sudut yang tidak termasuk. 

Aturan cosinus digunakan ketika

a) tiga sisi atau 

b) dua sisi dan sudut yang disertakan. 

Pelajari segitiga ABC yang ditunjukkan di bawah ini. Misalkan B adalah sudut di B.

Apa hukum sinus dan mencari luas segitiga?

Luas segitiga apa pun ditentukan oleh setengah substansi dari panjang dua sisi dikalikan sinus sudut yang disertakan.

Apakah aturan luas segitiga?

Luas segitiga didefinisikan sebagai luas total yang dibatasi oleh ketiga sisi segitiga tertentu. Pada dasarnya, ini sama dengan setengah alas dikali tinggi, yaitu A = 1/2 × alas ×ttinggi

Bagaimana cara mencari luas segitiga yang semua sisinya sama?

Untuk menghitung luas segitiga, kalikan alas (satu sisi segitiga sama sisi) dan tingginya (garis bagi tegak lurus) dan bagi dengan dua.

1. Aturan Sinus

Untuk memahami asal dari aturan sinus dalam segitiga, perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :

Aturan Sinus

Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂

Aturan Sinus 2

2. Aturan Cosinus

Perhatikan gambar berikut!

Aturan Cosinus

b²  =CD²  +  AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B=CD  ⇔ CD=a. Sin B... (2)
               a

Cos B=BD  ⇔ BD=a. Cos B... (3)
                a

AD=AB - BD=c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b²=(a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b²=a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b²=a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b²=a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:

Aturan Cosinus 2

Dari aturan cosinus tersebut  kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

               a²  =b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A=  b² + c² - a²
         Cos A=  b² + c² - a²
                             2.b.c

⇔   Cos B=  a² + c² - b²

                             2.a.c

⇔   Cos C=  a² + b² - c²

                             2.a.b

3. Luas Segitiga

Rumus Luas Segitiga

Perhatikan △ABC disamping !

Sin A=CD

                b

⇔ CD=b. sin A

Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:

½ x alas x tinggi

Dalam △ABC disamping

⇨ ½ x AB x CD
⇨  ½ x c x b.Sin A

Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :

Luas △= ½ b.c.Sin A

Luas △= ½ a.c.Sin B

Luas △= ½ a.b..Sin C

MARI BERLATIH DENGAN SOAL

1. Pada △ABC diketahui bahwa <A=30°, BC=6 cm dan AC=10 cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!

Pembahasan:

BC=a dan AC=b

   a      =   b  
Sin A     Sin B

  6    =    10  
Sin30°   Sin B

⇔ Sin B=10 x Sin30°  ⇔  Sin B=10 x ½   ⇔ Sin B=5/6
                   6                               6                      

2. Pada △PQR diketahu besar <P=60°, <R=45° dan panjang QR adalah 8√3 cm. Tentukanlah panjang sisi PQ!

Pembahasan :

QR=p dan PQ=r

menurut aturan sinus      p     =    r             ⇔    8√3     =    r   
                                   Sin P      Sin R             Sin 60°     Sin 45°

  ⇔ r=   8√3 x Sin 45°  ⇔  r=   8√3  ½√2     ⇔ r=8√2 cm
               Sin  60°                    ½√3

3.  Perhatikan  △ABC disamping !
     Berapakah panjang sisi AC?

Berapa panjang sisi AC ?

Pembahasan :

AB=c dan AC=b
besar <C=180° - (75°+ 60°)= 45°

  b    =     c  
Sin B      Sin C

  b        =    20  
Sin 60°     Sin 45°

b  = 20 x Sin 60°  =  20 x  ½√3
            Sin 45°               ½√2

b  = 20√3  x √2    =  10√6cm
        √2      √2

4. Jika diketahui suatu △ABC memiliki panjang sisi c=12√2cm, besar <A=105° dan <C=45° maka berapakah panjang sisi b?

Pembahasan :

Besar <B=180° - (105° + 45°)=30°

 b    =     c  

Sin B      Sin C

    b         =   12√2  

Sin 30°        Sin 45°

b=12√2 x Sin 30°  = 12√2 x ½   = 12 cm
           Sin 45°             ½√2

5. Ditentukan △PQR dengan panjang sisi QR=4cm, PR=10cm dan Sin Q=½. Berapakah nilai Cos P?

Pembahasan :

QR=p dan PR=q

   p     =    q           ⇔    4        =   10  

 Sin P      Sin Q            Sin P           ½    

⇔ Sin P=  4 x ½   = 1
               10           5  

⇔ Cos² P=1 - Sin² P   ⇔ Cos² P=1 - (⅕)²

⇔ Cos² P=24/25  ⇔ Cos P= ⅖√6 cm

6. Sebuah △ABC memiliki panjang AB=4 cm, BC=6 cm dan AC=8 cm. Nilai cos <ACB adalah...

Pembahasan :

Cos <ACB=BC² + AC² - AB²
                          2 x BC x AC

Cos <ACB= 6² + 8² - 4²  =36 + 64 - 16    = 84    = 7
                     2 x 6 x 8           96                96        8

7. Tentukan nilai X pada gambar segitiga dibawah!

Nilai x?

Pembahasan : 

X²=3² + 8² - 2.3.8.Cos 60°

X²  =9 + 64 - 2.24.½

X²=73 -24=49

X  =√49=7cm 

8. Ditentukan △KLM dengan KL=9cm, KM=8cm dan LM=7cm. Nilai Sin K adalah...

Pembahasan :

Cos K=KL² + KM² - LM²

                  2 x KL x KM

Cos K=  9² + 8² - 7²  =81 + 64 - 49  =  96    = 2

                 2 x 9 x 8        144               144      3

⇔ Sin² K  =1 -  Cos² K

⇔ Sin² K  =1 -  (2/3)² 

⇔ Sin² K  =1 -  4-/9=5/9

⇔ Sin  K  =√5/9   =⅓√5 

9. Sebuah segitiga sama kaki ABC dengan panjang AB=AC=8cm dan besar <ABC=30°. Berapakah panjang sisi BC?

Pembahasan : 

panjang sisi BC?

BC²  =AB² + AC² - 2xABxACx Cos A

BC²  =8² + 8² -  2 x 8 x 8 x (-½)

BC²  =64 + 64 + 64=192

BC  =√192  = 8√3 cm

10. Pada △ABC diketahui a=2√7cm, b=4cm dan c=6cm. Maka nilai Sin A adalah...

Pembahasan :

Cos A=b² + c² - a² 

                 2xbxc

Cos A= 4² + 6² - (2√7)²  = 16 + 36 - 28  = 24  =1

                    2x4x6              48                48      2

maka didapat besar <A=60°

Sin 60°= ½√3

Contoh Soal Cerita Aturan Sinus Dan Aturan Cosinus

11. Pada △ABC diketahui <ABC=60°, panjang sisi AB=12cm dan panjang sisi BC=15cm. Luas segitiga itu adalah...

Pembahasan :

Luas △ABC=½ x AB x BC x Sin <ABC

                      

                      =½ x 12 x 15 x ½√3

                      =45√3 cm²

12. Berapakah luas sebuah segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi 12cm?

Pembahasan :

Segitiga sama sisi memiliki besar sudut yang sama yaitu 60° dan semua sisi memiliki panjang yang sama sehingga luasnya didapat seperti ini

Luas △=½ x s x s x Sin α

       

              =½ x 12 x 12 x ½√3

              = 36√3 cm²

13. Berapakah luas segiempat ABCD pada gambar dibawah?

Luas segi empat ABCD ?

Pembahasan :

Luas △ABD=½ x 3 x 8 x Sin  60°=12 x ½√3= 6√3 cm² 

Untuk menghitung luas  △CBD, terlebih dahulu hitung panjang sisi BD menggunakan aturan cosinus

BD²=3² + 8² - 2 x3 x 8 x Cos  60°

BD²= 9 + 64 - 24=49

BD  =√49=7 cm

Perhatikan bahwa △CBD memiliki panjang sisi 7cm, 24 cm dan 25cm yang merupakan tripel pitagoras. Maka dapat disimpulkan bahwa △CBD adalah segitiga siku-siku sehingga luasnya adalah

Luas △CBD=½ x 7 x 24=84 cm² 

Maka luas segiempat ABCD= Luas △ABD + Luas △CBD

                                                  = 6√3 cm²  + 84 cm² 

                                                   =(6√3 + 84) cm²

14. Jika △ABC memiliki besar <A=65°, <B=55°, panjang sisi AC=6cm dan panjang sisi BC=8cm, maka luas segitiga tersebut adalah

Pembahasan : 

Luas segitiga?

Besar <C=180° - (65° + 55°)=60°

Luas △ABC=½ x AC x BC x Sin 60°

                      =½ x 6 x 8 x ½√3

                       =12√3 cm²

15. Tentukan luas segilima beraturan yang panjang jari-jarinya adalah 8 cm. 

Pembahasan : 

Perhatikan gambar dibawah ini !

Luas segi 5?

Segilima beraturan terdiri dari 5 buah segitiga yang kongruen, maka luas segilima tersebut adalah 5 kali luas segitiga AOB dimana besar <AOB=360°  =72°

                                                                           5

Luas segi-5=5 x Luas △AOB

          

                    =5 x ½ x 8 x 8 x Sin 72°

  

                    =160 x 0,951

                    =152,16 cm²

Baca Juga : Soal-soal Aturan Sinus dan Aturan Cosinus 

Baca juga : Soal Luas Segitiga Dan Segi-n Beraturan   

 

Semoga Bermanfaat

https://www.radarhot.com/2017/04/aturan-sinus-cosinus-dan-luas-segitiga.html